第三章行列式(編輯修改稿)
2025-08-16 16:56 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 11211表示的 n階行列式 是指 代數(shù)和 ? ?nnnjjjnjjjjjj aaa?? ?212121 21)()1( ?, 其中求和號是對 n個(gè) 數(shù)碼的所有的排列求和 , 共有 n!項(xiàng) 。? (j1j2… jn)表示排列 j1j2… jn的反序數(shù) . 或者說 , n階行列式是所有可能的取自不同行不同列上的 n個(gè)元素的乘積 nnjjj aaa ?21 21 的代數(shù)和 , 當(dāng) j1j2… jn是偶排列 時(shí) , 這一項(xiàng)的符號為正 , 否則這一項(xiàng)的符號為負(fù) . ?例 1 一 . n階行列式的有關(guān)定義 : 把 n階行列式 nnnnnnaaaaaaaaaD???????212222111211?的行變?yōu)榱?(或者列變?yōu)樾?)后得到的行列式 nnnnnnaaaaaaaaaD???????212221212111??稱為原行列式 D的 轉(zhuǎn)置行列式 . 二 . n階行列式的性質(zhì) 引理 設(shè) i1i2… in和 j1j2… jn都是 n個(gè)數(shù)碼的排列 ,則 nnjjj aaa ?21 21是 n階行列式中的一項(xiàng) , 這一項(xiàng)的符號是 )()( 2121)1( nn jjjiii ?? ?? ??命題 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 . 命題 交換行列式的兩行 (或兩列 )的位置 , 則行列式的絕對值不變而符號改變 . 推論 如果一個(gè)行列式的兩行 (或兩列 )完全相同 , 則這個(gè)行列式等于零 . 命題 把一個(gè)行列式的某一行 (列 )的所有元素乘以同一個(gè)數(shù) k, 等于用 k乘這個(gè)行列式 . 推論 一個(gè)行列式中某一行 (列 )中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外邊 . 推論 如果一個(gè)行列式中有一行 (列 )的所有元素都是零 , 那么這個(gè)行列式等于零 . 推論 如果一個(gè)行列式有兩行 (列 )的對應(yīng)元素成比例 , 那么這個(gè)行列式等于零 . 二 . n階行列式的性質(zhì) 命題 設(shè)某行列式的第 i行的所有元素都是兩項(xiàng)之和 , 則 : ????nnnnininiiiinaaacbcbcbaaa???????????21221111211對于列也有類似的性質(zhì) . nnnniniinnnnniniinaaacccaaaaaabbbaaa?????????????????212111211212111211?命題 把行列式的某一行 (列 )的元素乘以同一數(shù)后加到另一行 (列 )的對應(yīng)元素上 , 行列式不變 . ?例 2,例 3 三 . 行列式例題 例 1 根據(jù)行
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