高三數(shù)學(xué)離散型隨機(jī)變量的期望與方差(編輯修改稿)
2024-12-16 00:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (4 ＋ 1 ＋ 0 ＋ 1 ＋ 4) ＝ 2 ， ∴ E ( ξ ＋ 2)2＝ E ( ξ2＋ 4 ξ ＋ 4) ＝ Eξ2＋ 4 Eξ ＋ 4 ＝ 11 ＋ 12 ＋ 4 ＝ 27. D (2 ξ － 1) ＝ 4 Dξ ＝ 8 ， σ ( ξ － 1) ＝ D ( ξ － 1 ) ＝ Dξ ＝ 2 . ξ 是隨機(jī)變量，則 η ＝ f ( ξ ) 一般仍是隨機(jī)變量，在求 η 的均值和方差時(shí)，熟練應(yīng)用均值和方差的性質(zhì)，可以避免再求 η 的分布列帶來的繁瑣運(yùn)算． 1 ．設(shè) ξ ～ B (10 0 ， p ) ，求 p 為何值時(shí)， D (2 ξ－ 1) 取得 最大值？ 【解析】 ∵ ξ ～ B (1 00 ， p ) ， ∴ Dξ ＝ 100 p (1 － p ) ， ∴ D (2 ξ － 1) ＝ 4 Dξ ＝ 4 100 p (1 － p ) ＝－ 400[( p －12)2－14] ＝－ 400( p －12)2＋ 100 ， ∴ p ＝12時(shí)， D (2 ξ － 1) 取得最大值． 均值與方差的實(shí)際應(yīng)用 現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對(duì)甲項(xiàng)目每投資十萬元，一年 后利潤(rùn)是 萬元、 萬元、 萬元的概率分別為1113；已知乙項(xiàng)目的利潤(rùn)與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中，價(jià)格下降的概率都是 p (0 ＜ p＜ 1) ，設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行兩次獨(dú)立的調(diào)整． 設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為X ，對(duì)乙項(xiàng)目每投資十萬元， X 取 0 、 1 、 2時(shí)，一年后相應(yīng)利潤(rùn)是 萬元、 萬元、 萬元．隨機(jī)變量 X 1 ， X 2 分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬元一年后的利潤(rùn)． (1) 求 X 1 ， X 2 的概率分布列和均值 EX 1 ， EX 2 ； (2) 當(dāng) EX 1 ＜ EX 2 時(shí)，求 p 的取值范圍． 【思路點(diǎn)撥】 (1) 求分布列，應(yīng)先確定 X 2的取值，再求 X 2 的取值對(duì)應(yīng)的概率； (2) 由 EX 1 ＜ EX 2 ，找出關(guān)于 p 的不等式，即可求出 p 的范圍． 【解析】 (1) 方法一： X 1 的概率分布列為 X 1 1.17 P 16 12 13 EX 1 ＝ 16＋ 12＋ 13＝ . 由題設(shè)得 X ～ B (2 ， p ) ，即 X 的概率分布列為 X 0 1 2 P (1 － p )2 2 p (1 － p ) p2 故 X 2 的概率分布列為 X 2 P (1 － p ) 2 2 p (1 － p ) p 2 所以 X2的均值為 EX2＝ (1 － p )2＋ 2 p (1 － p ) ＋ p2 ＝ (1 － 2 p ＋ p2) ＋ ( p － p2) ＋ p2 ＝－ p2－ p ＋ . 由 Ex1＜ Ex2得 p2＋ 0 .1 p － ＜ 0 且 0 ＜ p＜ 1 ∴ 0 ＜ p ＜ . 方法二： X1的概率分布列為 X1 P 16 12 13 EX1＝ 16＋ 12＋ 13＝ . 設(shè) Ai表示事件 “ 第 i 次調(diào)整，價(jià)格下降 ” (i＝ 1,2) ， 則 P ( X ＝ 0) ＝ P ( A1) P ( A2) ＝ (1 － p )2， P ( X ＝ 1) ＝ P ( A 1 ) P ( A 2 ) ＋ P ( A 1 ) P ( A 2 ) ＝ 2 p (1－ p ) ， P ( X ＝ 2) ＝ P ( A 1 ) P ( A 2 ) ＝ p2. 故 X 2 的概率分布列為 X 2 P (1 － p )2 2 p (1 － p ) p2 所以 X2的均值為 EX2＝ (1 － p )2＋ 1 .25 2 p (1 － p ) ＋ p2 ＝ (1 － 2 p ＋ p2) ＋ ( p － p2) ＋ p2 ＝－ p2－ p ＋ . (2) 由 EX1＜ EX2，得－ p2－ p ＋ ＞ ， 整理得 ( p ＋ )( p － ) ＜ 0 ， 解得－ ＜ p ＜ . 因?yàn)?0 ＜ p ＜ 1 ，所以當(dāng) EX1＜ EX2時(shí)， p 的取值范圍是 0 ＜ p ＜ . 【 方法點(diǎn)評(píng)】 1. DX 表示隨機(jī)變量 X 對(duì)EX 的平均偏離程度， DX 越大表明平均偏離程度越大，說明 X 的取值越分散；反之，DX 越小， X 的取值越集中在 EX 附近，統(tǒng)計(jì)中常用 DX 來描述 X 的分散程度． ? 2．隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定． ? 2．有甲、乙兩個(gè)建材廠，都想投標(biāo)參加某重點(diǎn)建設(shè)，為了對(duì)重點(diǎn)建設(shè)負(fù)責(zé)，政府到兩建材廠抽樣檢查，他們從中各抽取等量的樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度指數(shù)如下： ξ 110 120 125 130 135 P η 100 115 125 130 145P ? 其中 ξ和 η分別表示甲、乙兩建材廠材料的抗拉強(qiáng)度，在使用時(shí)要求抗拉強(qiáng)度不低于 120的條件下，比較甲、乙兩建材廠材料哪一種穩(wěn)定性較好． 【解析】 首先看兩建材廠的材料的抗拉強(qiáng)度的數(shù)學(xué)期望，然后再比較它們的方差． Eξ ＝ 1 10 ＋ 12 0 ＋ 125 ＋130 ＋ 135 ＝ 125 ， Eη ＝ 100 0. 1 ＋ 1 1 5 ＋ 125 ＋130 ＋ 145 ＝ 125 ， Dξ ＝ (1 10 － 125 )2＋ (120 － 125)2＋ (125 － 125)2＋ (130 － 125)2＋ (135 － 125)2＝ 50 ， Dη ＝ (10 0 － 125 )2＋ (1 15 － 125)2＋ (125 － 125)2＋ (130 － 125)2＋ (145 － 125)2＝
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