【文章內(nèi)容簡介】 個復(fù)制的q是一個常量bj,j=1,2.(在某些情況下，每次復(fù)制都是隨機的；并217。(j)且假定它是常數(shù)能簡化討論。)與計算的時間t，重復(fù)的q的數(shù)量可以表示為[tbj]；為了簡單起見，我們放棄了[.]和對tbj比率的探討，并且假設(shè)它們都是整數(shù)。若這兩個有效估計的計算時間為t，則：8229。229。q ib1 b1217。(1) b2 b2^(2)重慶大學(xué)統(tǒng)計建模與R軟件課程報告 方差減少技術(shù)t tqit i=1 和t i=1對于更大的t，這些趨向于正態(tài)分布的均值為q，而標(biāo)準(zhǔn)差為s1b1t和s2b2t因此，對于更大的t，第一次估計值優(yōu)先第二次，當(dāng)s 1b1s 2b22 2（1）時。(1)為減少方差和計算要求提供了一個堅實的基礎(chǔ)。通過前面的討論中得出了(l)，同時以結(jié)果的方差和每次工作的時間作為衡量效率是很有道理。利用效率為比較基礎(chǔ)，低方差估計應(yīng)該只有在方差比2s1b1s2小于工作比b2時才有效。同樣，一個高方差估計實際上可能在需要更少的時間來產(chǎn)生時才有效。簡而言之，減少方差是能夠提高計算效率的。對偶變量查閱文獻可知，對偶變量是一個在金融定價問題上最簡單、最廣泛使用的技術(shù)方法。以下我用一個簡單的例子說明。前面我們已經(jīng)介紹了布萊克斯科爾斯定價模型。在布萊克斯科爾斯模型中股票價格遵循一個符合對數(shù)的正態(tài)擴散，該終端的股票價格獨立復(fù)制在風(fēng)險中性測度即可來自于公式(STi)=S0e(r(1/2)s2)T+sTZi,i=1,L,n,S0是當(dāng)前股票價格，r是無風(fēng)險利率，s是股票波動性，T是期權(quán)到期日，{Zi}是獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布?；趎次重復(fù)，一個跳躍的無偏估計量的期權(quán)價格為K[1]229。=i1229。=i1e max{0,ST(i)K}217。C=1nnCi186。1nrTn在這樣的情況下，對偶變量方法是基于Zi符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的觀察數(shù)據(jù)，并且(Zi也如此。由（2）我們可知價格公式為STi)，我們將Zi帶入公式可以得到對偶的樣本，從而得到期末的股價分布情況。同樣地，每個max{0,SK}:Ci=erT:(i)T是一種無偏估計量的期權(quán)價格，因此，9重慶大學(xué)統(tǒng)計建模與R軟件課程報告 方差減少技術(shù)229。 2217。CAV=:1nCi+Cini=1導(dǎo)致我們選擇CAV的決定性因素是因為隨機輸入的n對對偶序列{（Zi ）i}比2n,Z號，則輸出的更可能是較有規(guī)律。事實上，一個大的Zi可以引起一的大的ST正如一個小的Zi導(dǎo)致一個小的ST一個比較效率更精確的論點。因為Ci和Ci有相同的方差，C+Ci 1Var[ i ]={Var[Ci]+Cov[Ci,Ci]}217。獨立樣本的分布更有規(guī)律。特別需要指出的是，對偶序列的樣本平均值總等于0，而在有限多個獨立樣本均值幾乎是肯定不等于0的。如果輸入更多的正常信(i):(i):::2 2: 217。 217。因此，如果Cov[Ci,Ci]163。Var[Ci]，則我們可以得到Var[CAV]163。Var[C]。然而，CAV是C的兩次復(fù)制，所以我們必須說明計算要求的差異。由于Zi的每次復(fù)制引也就是，Cov[Ci,Ci]186。E[f(Zi)f(Zi)]E[f(Zi)]E[f(Zi)]163。0217。 217。起的時間變化是微不足道的一小部分 (這通常會視情況而定，因為定價是一個更217。 217。為復(fù)雜的選擇)，那么產(chǎn)生CAV所需時間大約只是產(chǎn)生C的一半。從而為了提高效率，我們要求217。 217。2Var[CAV]163。Var[C]: :其中，前面公式Cov[Ci,Ci]163。Var[Ci]，簡化要求為Cov[Ci,Ci]163。0我們就很容易就遇到的情況進行論證。我們規(guī)定f使得Ci=f(Zi)；f是從Zi到股票價格和期權(quán)股票價格到期權(quán)盈利貼現(xiàn)的映射。做為兩組增加的公式，f是單調(diào)的，所以是一個標(biāo)準(zhǔn)不等的E[f(Zi)f(Zi)]163。E[f(Zi)]E[f(Zi)],:因此我們可以推斷對偶變量是有用的。10時間t從0到1間計算了2=64個點作為畫圖的基準(zhǔn)點。（對于MC方法來說每重慶大學(xué)統(tǒng)計建模與R軟件課程報告 數(shù)據(jù)模擬4 數(shù)據(jù)模擬以下所有結(jié)果均為MATLAB編程的運行結(jié)果。所涉及的原理見前面的敘述，詳細(xì)程序見附錄。三種方法的期權(quán)價格模擬（程序見附錄A）參數(shù)定義：樣本數(shù)M有10，100，1000，10000，100000五個循環(huán)。假設(shè)期權(quán)到期日T=1。6個點的值都是M個樣本數(shù)的均值）現(xiàn)在期權(quán)價值S0=100。股息生息率q=0；期權(quán)到期日之前的無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利利率r=；年度資產(chǎn)價格波動sigma=；行權(quán)價格K=100；看漲期權(quán)或看跌期權(quán)的隨機數(shù)為絕對值小于等于1的隨機數(shù)。運行結(jié)果為：圖1圖1分別畫出三種方法（crudeMC,antitheticMC,Blsprice）下的歐11重慶大學(xué)統(tǒng)計建模與R軟件課程報告 數(shù)據(jù)模擬氏期權(quán)價格。時間方向上有N=2^6=64個點，也就是有64個期權(quán)價格。我們以Blsprice（布萊克斯克爾斯期權(quán)定價公式）根據(jù)六個變量（S0,K,r,Time,sigma,q）計算得出的期權(quán)價格作為精確解，圖中紅色L表示?？梢杂^察得出隨著時間的延長，期權(quán)價格逐漸上升。上升的價格中包含貨幣的時間價值和股票價格波動性（一般情況下時間越長波動性越大），這與現(xiàn)實生活中的情況是吻合的。同時也觀察得出用crudeMC（原始蒙特卡洛方法，即不帶任何方差減少技術(shù)的MC方法，圖中用藍(lán)色—表示）模擬得出的期權(quán)價格和Blsprice得出的價格差距不大，說明crudeMC方法的確能夠有效模擬期權(quán)價格的變化趨勢。圖中用黑色表示antitheticMC方法?？偟膩碚fcrudeMC方法和antitheticMC方法都較好地逼近精確解Blsprice。從該圖中可以看出crudeMC方法和antitheticMC方法都能很好的模擬期權(quán)的價格。下面：比較程序所用時間Time_crude_antithetic= 其中行表示不同樣本數(shù)M=（10,100,1000,10000,100000）次模擬所花的時間。第一列表示的是crudeMC方法，第二列表示的是antitheticMC方法?？梢钥闯鲇胏rudeMC和antitheticMC所花的時間都差不多。下面計算隨著M值得增加所花時間增加的倍數(shù)。Time_ratio= Time_ratio中的元素是由Time_crude_antithetic中后行元素除以前行元素所得到的結(jié)果。Time_ratio說明隨著M值的增加，時間大致也是成10倍地增加。標(biāo)準(zhǔn)誤差分析（程序見附錄A）誤差分析采用了兩個誤差。一個是最大絕對值誤差，一個是RMS（RMS 表示rootmeansquare）相對誤差。同時所有誤差都是以布萊克斯科爾斯期權(quán)定價公式計算得出的結(jié)果為精確值。CiC229。=i1( C i)2RMS=1MM217。i同時所作的圖形是以loglog函數(shù)，對于該函數(shù)的具體說明如下：iyi=Cxa12重慶大學(xué)統(tǒng)計建模與R軟件課程報告 數(shù)據(jù)模擬兩邊同時取對數(shù)可得：logyi=alogxi+logC即：Y=logC+aX其中：Y=logyi,X=logxi有了前面的推導(dǎo)，我們已知Error=CM12，因此誤差應(yīng)該是按照1/2階收斂的。圖2畫的是歐式看漲期權(quán)的各種誤差趨勢圖，其參數(shù)設(shè)置為MM；T=1。N=2^6。S0=100。q=0。r=。sigma=。K=100。call_put=1。其中Error_inf_c=norm(w1Blsprice,inf)。crudeMC方法的最大絕對值誤差Error_inf_a=norm(w2Blsprice,inf)。antitheticMC方法的最大絕對值誤差RMS_relative_error_c=sqrt(mean(((w1Blsprice)./Blsprice).^2))。crudeMC方法的RMS相對誤差RMS_relative_error_a=sqrt(mean(((w2Blsprice)./Blsprice).^2))。antitheticMC方法的RMS相對誤差Reference畫的是M,M.^(1/2)。它展示的是理論上的1/2收斂階。13重慶大學(xué)統(tǒng)計建模與R軟件課程報告 數(shù)據(jù)模擬圖2圖2畫的是誤差的loglogplot。從圖2可以看出四種誤差均是1/2階收斂的，同時通過比較可以得到以下結(jié)論：1：最大絕對值誤差都比RMS相對誤差要大；2：不管是最大絕對值誤差還是RMS相對誤差，由antitheticMC得到的誤差均要比由crudeMC得到的誤差要小。單從誤差分析這方面可以說明使用antitheticvariate方差減小技術(shù)還是有用的。只是效果只好了一點點。對于這樣的結(jié)論當(dāng)然不是我們最想要的那個結(jié)果，因此我們需要進一步論證使用antitheticvariate方差減小技術(shù)的效果。方差減少技術(shù)效果分析（程序見附錄B）參數(shù)定義：n=100；評估一個期權(quán)的次數(shù) q=0；股息率m=10000；仿真試驗的數(shù)量,每一個基于n次重復(fù)?？偞螖?shù)=m*n.Sigma=[,]；年度資產(chǎn)價格波動率Ratio=[,]；比率=S0/KT=；期權(quán)的有效期限 K=100；期權(quán)行使權(quán)的價格r=；期權(quán)存續(xù)期內(nèi)連續(xù)復(fù)利計算的無風(fēng)險利率call_put=1；期權(quán)看漲看跌指標(biāo)，1表示看漲期權(quán)。2表示看跌期權(quán)alpha=16