導數(shù)的幾何意義(編輯修改稿)
2024-08-14 22:34 本頁面
【文章內容簡介】 線方程． 解： (1) 由 y ＝13x3得 Δ y ＝13( x ＋ Δ x ) －13x3 ＝13[3 x2Δ x ＋ 3 x ( Δ x )2＋ ( Δ x )3] ， Δ yΔ x＝13[3 x2＋ 3 x (Δ x ) ＋ (Δ x )2] ， limΔ x →0 Δ yΔ x＝ x2. ∴ f ′( x ) ＝ x2， f ′( 2) ＝ 4 ， ∴ 點 P 處的切線的斜率等于 4. ( 2) 在點 P 處的切線方程是 y －83＝ 4( x － 2) , 即 12 x － 3 y － 16 ＝ 0. [例 2] 已知拋物線 y＝ 2x2＋ 1，求 (1)拋物線上哪一點的切線的傾斜角為 45176。 ？ (2)拋物線上哪一點的切線平行于直線 4x－ y－ 2＝ 0? (3)拋物線上哪一點的切線垂直于直線 x＋ 8y－ 3＝ 0? [ 自主解答 ] 設點的坐標為 ( x0， y0) ，則 Δ y ＝ 2( x0＋ Δ x )2＋ 1 － 2 x20－ 1 ＝ 4 x0Δ x ＋ 2(Δ x )2. ∴Δ yΔ x＝ 4 x0＋ 2Δ x . 當 Δ x 無限趨近于零時，Δ yΔ x無限趨近于 4 x0. 即 f ′( x0) ＝ 4 x0. (1) ∵ 拋物線的切線的傾斜角為 45176。 ， ∴ 斜率為 tan 45176。 ＝ 1. 即 f ′( x0) ＝ 4 x0＝ 1 得 x0＝14，該點為 (14，98) ． (2) ∵ 拋物線的切線平行于直線 4 x － y － 2 ＝ 0 ， ∴ 斜率為 4. 即 f ′( x0) ＝ 4 x0＝ 4 得 x0＝ 1. 該點為 (1,3) ． (3) ∵ 拋物線的切線與直線 x ＋ 8 y － 3 ＝ 0 垂直， ∴ 斜率為 8. 即 f ′( x0) ＝ 4 x0＝ 8 ，得 x0＝ 2 ，該點為 (2,9) ． 解決此類問題的步驟為： (1)先設切點坐標 (x0， y0)； (2)求導數(shù) f′(x)； (3)求切線的斜率 f′(x0)； (4)由斜率間的關系列出關于
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