復雜網(wǎng)絡上動力系統(tǒng)同步的研究進展(編輯修改稿)
2025-08-14 19:40 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 完全網(wǎng)絡 :耦合矩陣的特征值只有 0和－ N 特征值比 )/(s in4 2 Nkk ?? ??)/(s in4 21 N?? ?? 4m a x ???)/(s in/1/ 21m a x N??? ?1221 ????? ?N??? ? NN ??? ? 1m a x ??0 0? ?N?1m a x / ??1/ 1m a x ???復雜網(wǎng)絡上動力學系統(tǒng)同步的特點 小世界網(wǎng)絡上的相和頻率同步； 小世界網(wǎng)絡上動力學系統(tǒng)的精確同步； 小世界網(wǎng)絡的快速響應和相干振動現(xiàn)象； 無標度網(wǎng)絡的精確同步 。 小世界網(wǎng)絡上的相和頻率同步 Hong， Choi和 Kim在 WS型小世界網(wǎng)絡的每一個節(jié)點上放置一個振子，節(jié)點 i上的狀態(tài)由位相 描述，網(wǎng)絡上 N振子系統(tǒng)的動力學方程是： i?ijjiiikKt ???? ??? ???)s i n (2)(? Ni ,2,1 ??(17) K是耦合強度， Λi是與節(jié)點 i相連接的節(jié)點的集合， ωi是節(jié)點 i的固有頻率，它們依據(jù)分布函數(shù) g(ω)隨機取值。 網(wǎng)絡上耦合振子系統(tǒng)運動的整體行為由以下兩個參數(shù)表示： ????????? ??Nji jeNm11 ????????????? ??NjijicNNq })(e x p {)1(2 2??… 對時間求平均； [… ] 對各種可能的固有頻率取值的實現(xiàn)方式求平均； c是一個足夠大的常數(shù)。 當達到相和頻率同步時， m → 1， q → 1；反之 m → 0，q → 0。 ?][ (19) (18) 重連概率為 P～ P＝ 1時幾乎相同的同步結(jié)果。 取 k＝ 3，固有頻率取自方差為 1的高斯分布函數(shù) 耦合強度、重連概率空間中的相同步臨界曲線 不同耦合強度下實現(xiàn)相同步和頻率同步的馳豫時間 當重連概率增加到 ，網(wǎng)絡的同步就達到了“ 飽和 ” ，再次表明當 P＝ P＝ 1接近的同步效果 Hong， Choi和 Kim還研究了熱噪聲和相的隨機淬火對相同步的影響 ， 當存在熱噪聲時 ， 網(wǎng)絡上 N振子系統(tǒng)的動力學方程是： )()s i n()( tJt ijjiiii????? ???? ???? Ni ,2,1 ??)39。(2)39。()( ttTtt ijji ?? ????這里 J是耦合強度； ωi依據(jù)高斯分布隨機取值，高斯分布的方差為 ζ2，當所有振子的頻率相同 (ζ2=0)時，系統(tǒng)沒有隨機淬火，系統(tǒng)退化為經(jīng)典的 XY自旋模型； ηi表示熱噪聲，即平均值為零的白噪聲，其相關性為： (20) 噪聲幅值 T(=0)可認為是波爾茲曼常數(shù)為 1(kB=1)的系統(tǒng)的溫度。 (21) (a)ζ2=， (b)ζ2=。 當沒有隨機淬火時，如果系統(tǒng)的溫度很低，即使重連概率很小，系統(tǒng)也能實現(xiàn)相同步；但是，當存在隨機淬火時，即使系統(tǒng)溫度很低，也只有在重連概率比較大的情況下系統(tǒng)才能實現(xiàn)相同步。即隨機淬火不利于網(wǎng)絡的相同步。 相同步臨界曲線 O:同步區(qū)域， D:非同步區(qū)域 小世界網(wǎng)絡上動力學系統(tǒng)的精確同步 長程連接網(wǎng)絡 (1996 ， Gade)：設有 N個獨立的節(jié)點，每個節(jié)點都隨機的與其它 k個節(jié)點相連接，允許節(jié)點的重連和自連。耦合振子滿足的動力學方程是： ????jjjii txfIktx ))(()1( ,1(22) 設 λ0是耦合矩陣對應于特征向量 e=(1 1 … 1 )T的特征值，其它 N－ 1個特征值 λi， i=1,2,…,N － 1，其順序是 ，設映射 f的李雅普諾夫指數(shù)是 λ 121 ???? N??? ?那么網(wǎng)絡同步狀態(tài)穩(wěn)定的條件是：只有 | λ0eλ |1 ，其它 | λieλ |1，對所有 i=1,2,…,N － 1都成立。因此，只要耦合矩陣的非 λ0的絕對值最大的特征值小于一常數(shù)，即 | λ1|e λ， 同步狀態(tài)就是穩(wěn)定的。 Gade發(fā)現(xiàn)對于長程連接 | λ1|與 成正比。 中程連接網(wǎng)絡 (近鄰耦合網(wǎng)絡 )(1999 ， Gade和 胡進錕 )：與長程連接網(wǎng)絡不同，其同步能力取決于節(jié)點每一邊鄰居的數(shù)目與總節(jié)點數(shù)的比值，而不是這一數(shù)目本身。 k/1NW型小世界網(wǎng)絡 (2022 ， Gade和 胡進錕 )：網(wǎng)絡的同步能力與長程連接網(wǎng)絡相似，是由與某個節(jié)點耦合的長程節(jié)點數(shù)決定，即 | λ1|與 成正比， p是加邊概率。 pN/1不是 與某個節(jié)點耦合的節(jié)點數(shù)與網(wǎng)絡總節(jié)點數(shù)的比 而是其 數(shù)目決定了同步的穩(wěn)定性 汪小帆、陳關榮關于（ NW型）小世界網(wǎng)絡同步的結(jié)論 對于一定的節(jié)點數(shù)目 N，當加邊的概率 p從 0到1變化時，耦合矩陣次最大特征值降到 N 對于一定的加邊的概率 p ，節(jié)點數(shù)目 N增加到時，耦合矩陣次最大特征值降到 ????加邊概率、節(jié)點數(shù)目空間中的相同步臨界曲線 Barahona和 Pecora得出的 (NW型 )小世界網(wǎng)絡的同步性質(zhì) (a) (b) (a)隨機網(wǎng)絡 (點劃線 )、近鄰耦合網(wǎng)絡 (方塊 (數(shù)值模擬 )和實線 (理論分析 ))和小世界網(wǎng)絡 (點線 )的拉普拉斯算子的特征值比同 f的變化關系， f表示網(wǎng)絡的邊數(shù)與同樣節(jié)點數(shù)目的完全網(wǎng)絡的邊數(shù)的比值 (b)在同樣的網(wǎng)絡規(guī)模下不同的網(wǎng)絡實現(xiàn)同步所要求的邊數(shù)比 f， 祁豐、侯中懷和辛厚文給出了鐘擺模型的小事界網(wǎng)絡同步能力分析 祁豐、侯中懷和辛厚文研究了一種與小世界網(wǎng)絡相似的網(wǎng)絡的運動規(guī)律。該網(wǎng)絡的模型是：滿足自由邊界條件的最近鄰耦合網(wǎng)絡，隨機地加入 M條捷徑，捷徑數(shù)與總的可能的捷徑數(shù)的比是 q=2M/(N－ 1)(N－ 2)。在每個節(jié)點上放置一個受迫阻尼鐘擺，鐘擺所滿足的運動方程是： ? ???????mnmnmnnnnn tm g lml )(s i n39。s i n2 ?????????? ???θn表示第 n個節(jié)點上鐘擺的擺角， n=0,1,… ,N－ 1，N=128 (23) 當 q＝ ，系統(tǒng)處于時空混沌狀態(tài)；當
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