【文章內(nèi)容簡介】 9? ? ? ? ?? ?9 9 5 7 4 4 1 9 9 1 0 0 9 9 0 0? ? ? ? ? ?? ?9 9 5 7 4 4 1 9 9 1 0 2 1 0 0 9 8? ? ? ? ? ?? ?9 9 5 7 4 4 9 9 9 9 2 1 9 8? ? ? ? ? ? 18．（本題 6分）當(dāng) 時， 求 的值． 1m??22699mmm???1m??第三章 分式 ● 主要內(nèi)容與知識定位： 本章從內(nèi)容上講有兩條線：一是分式的概念、分式的性質(zhì)和四則運算；二是分式方程及其應(yīng)用。從知識上講它與前面的整式及其運算、一元一次方程、因式分解，后面的反比例函數(shù)有密切聯(lián)系，具有承上啟下的作用。 分式可以看作學(xué)生學(xué)習(xí)了整式之后對代數(shù)式的進(jìn)一步研究，與整式一樣，分式也是表示具體情景中數(shù)量關(guān)系的模型，分式方程則是表示這些數(shù)量之間相等關(guān)系的模型。所以第一點應(yīng)該突出其模型思想和符號感。 分式實際上是分?jǐn)?shù)的代數(shù)化，所以學(xué)習(xí)方法上的銜接應(yīng)是突出類比思想，運用類比得到關(guān)于分式的一些知識。 分式的運算廣泛的運用到分解因式的知識，所以應(yīng)繼續(xù)關(guān)注因式分解的螺旋上升，培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理和代數(shù)式恒等變形的能力。 ● 設(shè)計思路： 從本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容可以看出：分式、分式方程是解決實際問題的一種模型；它與分?jǐn)?shù)、分解因式、一元一次方程等有密切聯(lián)系；可以培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力與代數(shù)恒等變形能力，為此，教材特別注意突出以下三個方面。 密切分式與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，突出分式、分式方程的模型思想。提高學(xué)生解決實際問題的興趣與能力，使學(xué)生在數(shù)學(xué)思考、解決問題等方面都得到發(fā)展。 突出合情推力能力的培養(yǎng)，注重自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)方法的形成。 注重運算法則建立的過程和運算算理的理解程度，適當(dāng)降低分式運算的難度。分式的運算與分?jǐn)?shù)極其類似，因此適當(dāng)控制難度、注重運算法則建立的過程和對算理的理解程度是本章學(xué)習(xí)的主要任務(wù)。 ● 疑難問題分析： 本章的整體設(shè)計與傳統(tǒng)的教材有很大不同。并不是直接給出分式的例子和概念，而是從各種具體情景中讓學(xué)生自己得到分式模型，學(xué)生根據(jù)已有的經(jīng)驗?zāi)芎芸斓贸鲞@是新的一類的代數(shù)式。 關(guān)于法則 分式的大多數(shù)性質(zhì)都可以類比分?jǐn)?shù)的性質(zhì)得到，教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，大膽質(zhì)疑，歸納出分式的基本性質(zhì)和運算法則。 對于性質(zhì)和運算法則，不要要求學(xué)生嚴(yán)格敘述性質(zhì)或法則，只要他能做就行了。不要追求統(tǒng)一。 分式的加減 教材通過行程問題引入分式的加減運算，既體現(xiàn)了加減運算的意義，又讓學(xué)生經(jīng)歷了從實際問題建立模型的過程，發(fā)展學(xué)生有條理的思考及代數(shù)表達(dá)能力。 分式的加減運算是比較難的運算之一，應(yīng)放開讓學(xué)生去思考，對于學(xué)生出現(xiàn)的常見錯誤，不要簡單的加以否定，要引導(dǎo)他們找到錯誤的根源。 另外可以引導(dǎo)學(xué)生對沒有把握的運算進(jìn)行某種檢驗，加強對運算結(jié)果的合理反思，提高學(xué)生的元認(rèn)知能力。如 （特殊值檢驗法） 化簡代數(shù)式： （ 4y + 3） (5y – 2) 解： （ 4y + 3） (5y – 2) =4y + 3 + 5y – 2 = y + 1 檢驗：令 y = 2 ， 用計算器計算 原式＝７ 化簡式＝３ 原式 ≠ 化簡式 ， 說明本次化簡運算一般是錯誤的 。 乘法公式 、 因式分解 、 分式計算 、 無理式計算都可用上述的特殊 值檢驗法 。 關(guān)于有理數(shù)運算基礎(chǔ)和計算器的功能的認(rèn)識： 列分式方程 為了引出分式方程的概念，教材設(shè)置了幾個實例，讓學(xué)生經(jīng)歷“實際問題 —分式方程模型 —求解 —解釋解的合理性”的數(shù)學(xué)化過程，發(fā)展學(xué)生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)應(yīng)用意識。 從實際問題到分式方程模型的轉(zhuǎn)換是本章的教學(xué)難點之一，經(jīng)驗表明，學(xué)生分析此類問題時會遇到較多的困難，老師應(yīng)給學(xué)生足夠的時間閱讀題目，引導(dǎo)學(xué)生明確題目的“ 事理 ”，感受題目的“ 文理 ”把握題目“ 算理 ”，教學(xué)中要帶著學(xué)生讀懂題，可以把一個題目掰開、揉碎，讓學(xué)生慢慢過這個關(guān)，這應(yīng)引起老師的足夠重視。 關(guān)于分式方程的增根 對于分式方程的增根，應(yīng)作淡化處理，只要讓學(xué)生知道解分式方程有時會產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗就行了，不要對增根本身和與增根有關(guān)的題目進(jìn)行研究和處理。 近來從一些比較權(quán)威的數(shù)學(xué)雜志上發(fā)現(xiàn)，不少老師對增根的概念也有許多錯誤認(rèn)識，如： 在 2022年第 1—2期上的 《 一場關(guān)于取值的對話 》 一文中 ， 竟然出現(xiàn)了 “ 一個方程連根都沒有 ， 哪還談什么增根不增根呢 ？ ”這種嚴(yán)重的邏輯錯誤 。 從邏輯上看 ， 只有增根是根的屬概念 （ 或下位概念 ） 時 ， 才可以說 “ 一個方程連根都沒有 ， 哪還談什么增根不增根呢 ？ ” 這種話 。 比如 ， 正方形是矩形的屬概念 ， 我們才可以說： “ 這個圖形連矩形都不是 ， 還談什么正方形呢 ？ ” 那么方程的增根和根是什么關(guān)系呢 ？ 光從字面上理解 ， “ 增根 ” 中有一個 “ 根 ” 字 ， 好象是根的屬概念 。 其實不然 ， 方程的增根和根沒有什么本質(zhì)的和必然的聯(lián)系 ， 因為它們描述了完全不同的兩個事件 。 一個方程 ， 要么有根要么無根 ， 沒有第三種情況存在 。 而增根是方程求解過程中出現(xiàn)的一種現(xiàn)象 ， 它是方程經(jīng)過非同解變形后某個方程的根 ， 和原方程并無必然聯(lián)系 。 10x??2x?? ?? ?1 2 0xx? ? ?1 1x?2 22x?1x? 只要你肯 ， 連整式方程也會產(chǎn)生增根 ， 例如： 解方程： 解：方程兩邊同乘以 ， 得 經(jīng)檢驗： 是原方程得增根 所以原方程得根為 整式方程也可以有增根 10x ??2x?? ? ? ?1 2 0xx? ? ?1 1x ? 2 2x ?2x?1x?解方程： = 解：移項 ， 得 = 0 通分 ， 得 = 0 整理 ， 得 = 0 ① 分子取 0， 得 x + 5 = 0 ② 即 x = 5 說明 ： 從 ① 式到 ② 式是此解法的關(guān)鍵 。 ① 式中 ， 如分子與分母沒有含未知數(shù)的公因式 ， 那就能夠做到分子取 0時保證分母不得 0；然后根據(jù)分式值為 0的條件 ， 把分式等于 0的式子改寫為分子等于 0的式子 ， 即完成了分式方程向整式方程的轉(zhuǎn)化 ， 而且符合方程的同解變形原理的精神 ， 不會有增根或丟根的現(xiàn)象發(fā)生 。 分式方程也可以沒有增根 x5 27?xx527?x)2( 7)2(5 ???xx xx)2()5(2??xxx● 教學(xué)評價建議： 最后再次強調(diào)，本章的學(xué)習(xí)突出分式和分式方程的模型思想；關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改變。本章內(nèi)容是轉(zhuǎn)變學(xué)生學(xué)習(xí)方式的良好素材，與現(xiàn)實生活密切聯(lián)系、與分?jǐn)?shù)理論可類比學(xué)習(xí)、分式方程的解法具有開放性，甚至可作為研究性學(xué)習(xí)的素材。 05年中考涉及題目： 18．（本題 6分）當(dāng) 時， 求 的值． 1m?? 2 2699mmm???第四章 相似圖形 ● 主要內(nèi)容與知識定位： 本章較為系統(tǒng)的研究線段的比、成比例線段、形狀相同的圖形，相似多邊形、位似圖形等，探索并體驗相似在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用。 本章內(nèi)容的知識定位于用直觀方式來研究圖形的相似，直觀、操作仍是重要的活動方式，并不要求證明。這與過去的體系不一樣，要求也低。 本章之后，直觀幾何和操作幾何幾乎告一段落，（下面開始證明了）所以同時體現(xiàn)了逐步綜合運用以前所學(xué)過的研究圖形的各種方法的趨勢。這是學(xué)習(xí)本章應(yīng)該重點關(guān)注的一個問題。 ● 設(shè)計思路： 本章立足學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，初步的數(shù)學(xué)活動經(jīng)歷和已經(jīng)掌握的有關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容，從觀察和分析生活中大量存在的相似圖形入手，逐步探索相似圖形的本質(zhì)屬性，體會其應(yīng)用價值和豐富內(nèi)涵，同時將相似、位似，與已經(jīng)認(rèn)識的圖形與坐標(biāo)、簡單作圖、估測等內(nèi)容巧妙的結(jié)合在一起，體現(xiàn)綜合應(yīng)用的趨勢。 本章所涉及的素材包含了大量與圖形相似有關(guān)的現(xiàn)實背景，在編寫中，力圖反映數(shù)學(xué)在建筑、藝術(shù)等方面的廣泛應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)豐富的文化價值。整個設(shè)計力圖引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析生活現(xiàn)實和數(shù)學(xué)現(xiàn)實中相似現(xiàn)象，總結(jié)圖形相似的有關(guān)特征并自覺地應(yīng)用到現(xiàn)實之中，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀。 ● 疑難問題分析： 線段的比的引入 ： 本章通過具問題情景， 使學(xué)生認(rèn)識線段的比和成比例線段等概念，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生從數(shù)學(xué)角度提出問題，分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。 關(guān)于比例的主要性質(zhì)： 傳統(tǒng)教材中比例的主要性質(zhì)講的比較復(fù)雜，新教材突出了比值 k的研究方法，主要目的是為了減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)。減輕負(fù)擔(dān)又兩條道路：一是剪掉一些內(nèi)容，二是用數(shù)學(xué)內(nèi)部更本質(zhì)的東西來處理知識。如比例的主要性質(zhì)用 y=kx基本上能包打天下，即把比例運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算。 黃金分割： 黃金分割是 《 標(biāo)準(zhǔn) 》 明確提出的內(nèi)容，加強了對黃金分割的教學(xué)要求。教學(xué)時應(yīng)通過建筑、藝術(shù)上的實例了解黃金分割，體會其蘊含的文化價值。 第 3節(jié) 形狀相同的圖形的設(shè)計意圖： 本節(jié)通過豐富的實例讓學(xué)生認(rèn)識現(xiàn)實生活中的相似圖形，其中既包括三維相似，也包括平面相似，但并沒有明確“相似圖形”的概念，而是僅僅滲透相似圖形的基本含義。 本節(jié)讓學(xué)生看了許多圖形，并讓學(xué)生動手去放大圖形，給了老師和學(xué)生很多余地去創(chuàng)生教材。 第 4節(jié) 相似多邊形應(yīng)注意的問題： 1）在前面三節(jié)特例研究的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納出相似多邊形的本質(zhì)特征。 2）相似多邊形的定義既是最基本、最重要的判定方法，也是最本質(zhì)、最重要的性質(zhì)，應(yīng)使學(xué)生充分認(rèn)識這一點。 3）黑板的內(nèi)外邊框是否是相似多邊形是一個很精彩的例子，因為它和學(xué)生很接近，而且黑板的邊框很窄，人們往往憑直觀會認(rèn)為這兩個矩形相似，這個問題能夠?qū)Ω拍钇鸬胶芎玫膹娀饔谩? 第 6節(jié) 探索三角形相似的條件 本節(jié)采用直觀手段探