【文章內(nèi)容簡介】 9? ? ? ? ?? ?9 9 5 7 4 4 1 9 9 1 0 0 9 9 0 0? ? ? ? ? ?? ?9 9 5 7 4 4 1 9 9 1 0 2 1 0 0 9 8? ? ? ? ? ?? ?9 9 5 7 4 4 9 9 9 9 2 1 9 8? ? ? ? ? ? 18．（本題 6分）當 時， 求 的值． 1m??22699mmm???1m??第三章 分式 ● 主要內(nèi)容與知識定位： 本章從內(nèi)容上講有兩條線：一是分式的概念、分式的性質(zhì)和四則運算；二是分式方程及其應(yīng)用。從知識上講它與前面的整式及其運算、一元一次方程、因式分解，后面的反比例函數(shù)有密切聯(lián)系，具有承上啟下的作用。 分式可以看作學生學習了整式之后對代數(shù)式的進一步研究，與整式一樣，分式也是表示具體情景中數(shù)量關(guān)系的模型，分式方程則是表示這些數(shù)量之間相等關(guān)系的模型。所以第一點應(yīng)該突出其模型思想和符號感。 分式實際上是分數(shù)的代數(shù)化，所以學習方法上的銜接應(yīng)是突出類比思想，運用類比得到關(guān)于分式的一些知識。 分式的運算廣泛的運用到分解因式的知識，所以應(yīng)繼續(xù)關(guān)注因式分解的螺旋上升，培養(yǎng)學生代數(shù)推理和代數(shù)式恒等變形的能力。 ● 設(shè)計思路： 從本章的學習內(nèi)容可以看出：分式、分式方程是解決實際問題的一種模型；它與分數(shù)、分解因式、一元一次方程等有密切聯(lián)系；可以培養(yǎng)學生的合情推理能力與代數(shù)恒等變形能力，為此，教材特別注意突出以下三個方面。 密切分式與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，突出分式、分式方程的模型思想。提高學生解決實際問題的興趣與能力，使學生在數(shù)學思考、解決問題等方面都得到發(fā)展。 突出合情推力能力的培養(yǎng)，注重自主探索、合作交流的學習方法的形成。 注重運算法則建立的過程和運算算理的理解程度，適當降低分式運算的難度。分式的運算與分數(shù)極其類似，因此適當控制難度、注重運算法則建立的過程和對算理的理解程度是本章學習的主要任務(wù)。 ● 疑難問題分析： 本章的整體設(shè)計與傳統(tǒng)的教材有很大不同。并不是直接給出分式的例子和概念，而是從各種具體情景中讓學生自己得到分式模型，學生根據(jù)已有的經(jīng)驗?zāi)芎芸斓贸鲞@是新的一類的代數(shù)式。 關(guān)于法則 分式的大多數(shù)性質(zhì)都可以類比分數(shù)的性質(zhì)得到，教學中，要引導(dǎo)學生獨立思考，大膽質(zhì)疑，歸納出分式的基本性質(zhì)和運算法則。 對于性質(zhì)和運算法則，不要要求學生嚴格敘述性質(zhì)或法則，只要他能做就行了。不要追求統(tǒng)一。 分式的加減 教材通過行程問題引入分式的加減運算，既體現(xiàn)了加減運算的意義，又讓學生經(jīng)歷了從實際問題建立模型的過程，發(fā)展學生有條理的思考及代數(shù)表達能力。 分式的加減運算是比較難的運算之一，應(yīng)放開讓學生去思考，對于學生出現(xiàn)的常見錯誤，不要簡單的加以否定，要引導(dǎo)他們找到錯誤的根源。 另外可以引導(dǎo)學生對沒有把握的運算進行某種檢驗，加強對運算結(jié)果的合理反思，提高學生的元認知能力。如 （特殊值檢驗法） 化簡代數(shù)式： （ 4y + 3） (5y – 2) 解： （ 4y + 3） (5y – 2) =4y + 3 + 5y – 2 = y + 1 檢驗：令 y = 2 ， 用計算器計算 原式＝７ 化簡式＝３ 原式 ≠ 化簡式 ， 說明本次化簡運算一般是錯誤的 。 乘法公式 、 因式分解 、 分式計算 、 無理式計算都可用上述的特殊 值檢驗法 。 關(guān)于有理數(shù)運算基礎(chǔ)和計算器的功能的認識： 列分式方程 為了引出分式方程的概念，教材設(shè)置了幾個實例，讓學生經(jīng)歷“實際問題 —分式方程模型 —求解 —解釋解的合理性”的數(shù)學化過程，發(fā)展學生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)應(yīng)用意識。 從實際問題到分式方程模型的轉(zhuǎn)換是本章的教學難點之一，經(jīng)驗表明，學生分析此類問題時會遇到較多的困難，老師應(yīng)給學生足夠的時間閱讀題目，引導(dǎo)學生明確題目的“ 事理 ”，感受題目的“ 文理 ”把握題目“ 算理 ”，教學中要帶著學生讀懂題，可以把一個題目掰開、揉碎，讓學生慢慢過這個關(guān)，這應(yīng)引起老師的足夠重視。 關(guān)于分式方程的增根 對于分式方程的增根，應(yīng)作淡化處理，只要讓學生知道解分式方程有時會產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗就行了，不要對增根本身和與增根有關(guān)的題目進行研究和處理。 近來從一些比較權(quán)威的數(shù)學雜志上發(fā)現(xiàn)，不少老師對增根的概念也有許多錯誤認識，如： 在 2022年第 1—2期上的 《 一場關(guān)于取值的對話 》 一文中 ， 竟然出現(xiàn)了 “ 一個方程連根都沒有 ， 哪還談什么增根不增根呢 ？ ”這種嚴重的邏輯錯誤 。 從邏輯上看 ， 只有增根是根的屬概念 （ 或下位概念 ） 時 ， 才可以說 “ 一個方程連根都沒有 ， 哪還談什么增根不增根呢 ？ ” 這種話 。 比如 ， 正方形是矩形的屬概念 ， 我們才可以說： “ 這個圖形連矩形都不是 ， 還談什么正方形呢 ？ ” 那么方程的增根和根是什么關(guān)系呢 ？ 光從字面上理解 ， “ 增根 ” 中有一個 “ 根 ” 字 ， 好象是根的屬概念 。 其實不然 ， 方程的增根和根沒有什么本質(zhì)的和必然的聯(lián)系 ， 因為它們描述了完全不同的兩個事件 。 一個方程 ， 要么有根要么無根 ， 沒有第三種情況存在 。 而增根是方程求解過程中出現(xiàn)的一種現(xiàn)象 ， 它是方程經(jīng)過非同解變形后某個方程的根 ， 和原方程并無必然聯(lián)系 。 10x??2x?? ?? ?1 2 0xx? ? ?1 1x?2 22x?1x? 只要你肯 ， 連整式方程也會產(chǎn)生增根 ， 例如： 解方程： 解：方程兩邊同乘以 ， 得 經(jīng)檢驗： 是原方程得增根 所以原方程得根為 整式方程也可以有增根 10x ??2x?? ? ? ?1 2 0xx? ? ?1 1x ? 2 2x ?2x?1x?解方程： = 解：移項 ， 得 = 0 通分 ， 得 = 0 整理 ， 得 = 0 ① 分子取 0， 得 x + 5 = 0 ② 即 x = 5 說明 ： 從 ① 式到 ② 式是此解法的關(guān)鍵 。 ① 式中 ， 如分子與分母沒有含未知數(shù)的公因式 ， 那就能夠做到分子取 0時保證分母不得 0；然后根據(jù)分式值為 0的條件 ， 把分式等于 0的式子改寫為分子等于 0的式子 ， 即完成了分式方程向整式方程的轉(zhuǎn)化 ， 而且符合方程的同解變形原理的精神 ， 不會有增根或丟根的現(xiàn)象發(fā)生 。 分式方程也可以沒有增根 x5 27?xx527?x)2( 7)2(5 ???xx xx)2()5(2??xxx● 教學評價建議： 最后再次強調(diào)，本章的學習突出分式和分式方程的模型思想；關(guān)注學生學習方式的改變。本章內(nèi)容是轉(zhuǎn)變學生學習方式的良好素材，與現(xiàn)實生活密切聯(lián)系、與分數(shù)理論可類比學習、分式方程的解法具有開放性，甚至可作為研究性學習的素材。 05年中考涉及題目： 18．（本題 6分）當 時， 求 的值． 1m?? 2 2699mmm???第四章 相似圖形 ● 主要內(nèi)容與知識定位： 本章較為系統(tǒng)的研究線段的比、成比例線段、形狀相同的圖形，相似多邊形、位似圖形等，探索并體驗相似在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用。 本章內(nèi)容的知識定位于用直觀方式來研究圖形的相似，直觀、操作仍是重要的活動方式，并不要求證明。這與過去的體系不一樣，要求也低。 本章之后，直觀幾何和操作幾何幾乎告一段落，（下面開始證明了）所以同時體現(xiàn)了逐步綜合運用以前所學過的研究圖形的各種方法的趨勢。這是學習本章應(yīng)該重點關(guān)注的一個問題。 ● 設(shè)計思路： 本章立足學生已有的生活經(jīng)驗，初步的數(shù)學活動經(jīng)歷和已經(jīng)掌握的有關(guān)數(shù)學內(nèi)容，從觀察和分析生活中大量存在的相似圖形入手，逐步探索相似圖形的本質(zhì)屬性，體會其應(yīng)用價值和豐富內(nèi)涵，同時將相似、位似，與已經(jīng)認識的圖形與坐標、簡單作圖、估測等內(nèi)容巧妙的結(jié)合在一起，體現(xiàn)綜合應(yīng)用的趨勢。 本章所涉及的素材包含了大量與圖形相似有關(guān)的現(xiàn)實背景，在編寫中，力圖反映數(shù)學在建筑、藝術(shù)等方面的廣泛應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)學豐富的文化價值。整個設(shè)計力圖引導(dǎo)學生觀察、分析生活現(xiàn)實和數(shù)學現(xiàn)實中相似現(xiàn)象，總結(jié)圖形相似的有關(guān)特征并自覺地應(yīng)用到現(xiàn)實之中，逐步形成正確的數(shù)學觀。 ● 疑難問題分析： 線段的比的引入 ： 本章通過具問題情景， 使學生認識線段的比和成比例線段等概念，進一步發(fā)展學生從數(shù)學角度提出問題，分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學生應(yīng)用數(shù)學的意識。 關(guān)于比例的主要性質(zhì)： 傳統(tǒng)教材中比例的主要性質(zhì)講的比較復(fù)雜，新教材突出了比值 k的研究方法，主要目的是為了減輕學生的負擔。減輕負擔又兩條道路：一是剪掉一些內(nèi)容，二是用數(shù)學內(nèi)部更本質(zhì)的東西來處理知識。如比例的主要性質(zhì)用 y=kx基本上能包打天下，即把比例運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算。 黃金分割： 黃金分割是 《 標準 》 明確提出的內(nèi)容，加強了對黃金分割的教學要求。教學時應(yīng)通過建筑、藝術(shù)上的實例了解黃金分割，體會其蘊含的文化價值。 第 3節(jié) 形狀相同的圖形的設(shè)計意圖： 本節(jié)通過豐富的實例讓學生認識現(xiàn)實生活中的相似圖形，其中既包括三維相似，也包括平面相似，但并沒有明確“相似圖形”的概念，而是僅僅滲透相似圖形的基本含義。 本節(jié)讓學生看了許多圖形，并讓學生動手去放大圖形，給了老師和學生很多余地去創(chuàng)生教材。 第 4節(jié) 相似多邊形應(yīng)注意的問題： 1）在前面三節(jié)特例研究的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學生歸納出相似多邊形的本質(zhì)特征。 2）相似多邊形的定義既是最基本、最重要的判定方法，也是最本質(zhì)、最重要的性質(zhì)，應(yīng)使學生充分認識這一點。 3）黑板的內(nèi)外邊框是否是相似多邊形是一個很精彩的例子，因為它和學生很接近，而且黑板的邊框很窄，人們往往憑直觀會認為這兩個矩形相似，這個問題能夠?qū)Ω拍钇鸬胶芎玫膹娀饔谩? 第 6節(jié) 探索三角形相似的條件 本節(jié)采用直觀手段探