【文章內(nèi)容簡介】 別為90%、80%，現(xiàn)用AA2分別表示甲、乙兩廠的藥品，B表示合格品，試求：P(A1)、P(A2)、P(B|A1)、P(B|A2)、P(A1B)和P(B)。解：由題中已知條件可得P(A1)=，P(A2)=，P(B|A1)=，P(B|A2)=，P(A1B)= P(A1)P(B|A1)= =，P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2) =+=。19．某地為甲種疾病多發(fā)區(qū)，其所轄的三個(gè)小區(qū)A1，A2，A3的人口比例為9∶7∶4，據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲種疾病在這三個(gè)小區(qū)的發(fā)病率依次為4‰，2‰，5‰，求該地甲種疾病的發(fā)病率。解：設(shè)以AAA3表示病人分別來自小區(qū)AAA3，以B表示患甲種疾病。則由題意知P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(B|A1)=，P(B|A2)=，P(B|A3)=，則該地甲種疾病的發(fā)病概率為P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)==‰。20．若某地成年人中肥胖者（A1）占有10％，中等者（A2）占82％，瘦小者（A3）占8％，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血壓病的概率分別為20％，10％，5％。（1）求該地成年人患高血壓的概率；（2）若知某人患高血壓病，他最可能屬于哪種體型？解：設(shè)B={該地成年人患高血壓}，則由題意知P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(B|A1)=，P(B|A2)=，P(B|A3)=， （1）該地成年人患高血壓的概率為P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)==；（2）若已知某人患高血壓病，他屬于肥胖者（A1）、中等者（A2）、瘦小者（A3）體型的概率分別為P(A1|B)= P(A2|B)= P(A3|B)= 因?yàn)? P(A2|B) P(A1|B) P(A3|B)故若知某人患高血壓病，他最可能屬于中等體型。21．三個(gè)射手向一敵機(jī)射擊。若一人射中，；若兩人射中，；若三人射中，則敵機(jī)必被擊落。（1）求敵機(jī)被擊落的概率；（2）已知敵機(jī)被擊落，求該機(jī)是三人擊中的概率。解：設(shè)AAA3分別表示第一個(gè)射手、第二個(gè)射手、第三個(gè)射手射中敵機(jī)；B0、BBB3分別表示無人射中、一人射中、兩人射中、三人射中敵機(jī)；C表示敵機(jī)被擊落。則AAA3相互獨(dú)立，且由題意可得P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=P(B0)= P()=P() P() P()= =P(B1)= P()===++=P(B2)= P()===++=P(B3)= P()=P(A1) P(A2) P(A3)= =P(C|B0)=0，P(C|B1)=，P(C|B2)=，P(C|B3)=1（1）敵機(jī)被擊落的概率為P(C)=P(C|B0)P(B0)+P(C|B1)P(B1)+P(C|B2)P(B2)+P(C|B3)P(B3)=0+++1=； （2）所求概率為P(B3|C)=。五、思考與練習(xí) （一）填充題 1．若P(A)=，P(B)=，則（1）若A和B獨(dú)立，則P(A+B)= ， P(B－A)= ；（2）若A和B互不相容，則P(A+B)= ，P(B－A) = ；（3）若A 204。 B，則 P(A+B)= ，P(B－A)= 。2. 如果A與B相互獨(dú)立，且P(A)= P(B)= ，則P()= 。3．在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A至少出現(xiàn)1次的概率為，則在每次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率是 。 （二）選擇題1. 下列說法正確的是（ ）A. 任一事件的概率總在(0,1)之內(nèi) B. 不可能事件的概率不一定為0C. 必然事件的概率一定為1 D. 以上均不對(duì)。2．以A表示事件“甲種藥品暢銷，乙種藥品滯銷”，則其A的對(duì)立事件為（ ） A. 甲，乙兩種藥品均暢銷 B. 甲種藥品滯銷，乙種藥品暢銷 C. 甲種藥品滯銷” D. 甲種藥品滯銷或乙種藥品暢銷3. 有100張從1到100號(hào)的卡片，從中任取一張，取到卡號(hào)是7的倍數(shù)的概率為（ ）A. B. C. D. 4. 設(shè)A和B互不相容,且P(A)0，P(B)0，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. P(B|A)0 B. P(A)=P(A|B) C. P(A|B)=0 D. P(AB)=P(A)P(B) （三）計(jì)算題1．設(shè)Ω={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4}，B={3，4，5}。試求下列事件:（1）；（2）+B。2．某城市的電話號(hào)話由0，1，2，…，9這10個(gè)數(shù)字中任意8個(gè)數(shù)字組成，試求下列電話號(hào)碼出現(xiàn)的概率：（1）數(shù)字各不相同的電話號(hào)碼（事件A）；（2）不含2和7的電話號(hào)碼（事件B）；（3）5恰好出現(xiàn)兩次的電話號(hào)碼（事件C）。3．一部五卷的文集，按任意次序放到書架上去，試求下列事件的概率： （1）第一卷出現(xiàn)在兩邊； （2）第一卷及第五卷出現(xiàn)在兩邊； （3）第一卷或第五卷出現(xiàn)在兩邊； （4）第三卷正好在正中。4．電路由電池A與兩個(gè)并聯(lián)的電池B、C串聯(lián)而成，設(shè)電池A、B、C是否損壞相互獨(dú)立，，求電路發(fā)生間斷的概率。5. 設(shè)一醫(yī)院藥房中的某種藥品是由三個(gè)不同的藥廠生產(chǎn)的，其中一廠、二廠、三廠生產(chǎn)的藥品分別占1/1/1/2。已知一廠、二廠、三廠生產(chǎn)藥品的次品率分別是7%，5%，4%?，F(xiàn)從中任取一藥品，試求（1）該藥品是次品的概率；（2）若已知任取的藥品是次品，求該次品是由三廠生產(chǎn)的概率。6．盒中放有12個(gè)乒乓球，其中有9個(gè)球是新球。第一次比賽從盤中任取3個(gè)來用，比賽后仍放回盒中；第二次比賽時(shí)又從盒中任取3個(gè)。（1）求第二次取出的球都是新球的概率；（2）若已知第二次取出的球都是新球，求第一次取到的都是新球的概率。六、思考與練習(xí)參考答案 （一）填充題1. （1），；（2），；（3），2. 3. （二）選擇題1. C； 2. D； 3. A； 4 .C （三）計(jì)算題1. ={1, 5，6, 7}，={1, 2，6, 7}，則（1）={1, 6, 7}；（2）+B={1，3，4，5，6，7}2．（1）（2）（3）3. （1）=；（2）=；（3）=；或=；或=（4）=4．已知 P()=，P()=，P()= 且A、B、C相互獨(dú)立 則所求概率P()=P()+P()－P()= P()+P()P()－P()P()P()=+－=5. 令A(yù)={該藥品是次品}；Bk={藥品是由k廠生產(chǎn)的}，k=1，2，3。由題意知 P(B1)=, P(B2)=，P(B3)=，P(A|B1)=，P(A|B2)=，P(A|B3)=，（1）P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|P2)P(B2)+P(A|B3)P(B3) =++=（2）6．令A(yù)k={第一次比賽任取3球中有k個(gè)新球}，k=0，1，2，3；B={第二次取出的球都是新球}。由題意得 P(Ak)=， P(B|Ak)=，k=0，1，2，3。（1）（2）=第三章 隨機(jī)變量及其分布一、 學(xué)習(xí)目的和要求1. 理解隨機(jī)變量及其分布函數(shù)的概念；2. 熟練掌握離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布及性質(zhì)；3. 熟練掌握常用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X)及其性質(zhì)；4. 熟練掌握二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布等的性質(zhì)及概率計(jì)算；5. 了解隨機(jī)變量函數(shù)的分布；6. 了解隨機(jī)向量及分布函數(shù)的概念、性質(zhì)；7. 掌握離散型隨機(jī)向量和連續(xù)型隨機(jī)向量及其分布；8. 掌握二維隨機(jī)向量的數(shù)字特征；9. 了解契比曉雪夫不等式和大數(shù)定律及其意義；10. 掌握中心極限定理及其應(yīng)用；11. 了解用Excel計(jì)算二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布等常用分布的概率。二、內(nèi)容提要（一）隨機(jī)變量及常用分布1. 離散型隨機(jī)變量及常用分布名 稱定 義性質(zhì)或背景備 注分布律P{X=xk}=pk，k=1,2,… 或Xx1 x2 … xk …Pp1 p2 … pk …1. pk ≥0，k=1,2,…2. 01分布P{X=1}=p, P{X=0}=q，或X0 1Pq p二項(xiàng)分布n=1的特例：B(1,p)( 一重貝努里試驗(yàn))EX=pD(X)=pq二項(xiàng)分布B(n,p)P{X= k}= ， k=0,1,… ,nX為n重貝努里試驗(yàn)中A事件發(fā)生的次數(shù)EX=np D(X)=npq泊松分布P(l)P{X=k}=，k＝0,1,2,… , l0是常數(shù)二項(xiàng)分布泊松近似公式(l≈np) (n很大，p較小) EX=l D(X)= l超幾何分布P{X=k}= k=1,2,…,min(M,n)無放回產(chǎn)品抽樣試驗(yàn)當(dāng)N→+∞時(shí)，時(shí)， EX= 2. 連續(xù)型隨機(jī)變量及常用分布名 稱定 義性質(zhì)或背景備 注密度函數(shù)f(x)對(duì)任意ab有P{aX≤b}=1. f(x)≥02. 3. 對(duì)任意常數(shù)a，有P{X= a}=0等價(jià)定義：對(duì)X的分布函數(shù)有F(x)=,﹣∞＜x＜+∞正態(tài)分布N (m, s2)f (x) = ﹣∞x+∞P{aX≤b}=E(X)=mD(X)= s2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N (0, 1)j(x) = ﹣∞x+∞1. F(﹣x)=1－F(x)2. F(x)可查表計(jì)算其中F(x)是分布函數(shù)E(X)=0D(X)= 1指數(shù)分布E(l)常用作“壽命”分布l0為常數(shù)E(X)=1/l D(X)=1/ l2均勻分布U[a，b]直線上幾何概率模型的分布描述E(X)= (a+b)/2 D(X)=(ba)2/12對(duì)數(shù)正態(tài)分布LN()f(x) =若X服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布LN()，則lnX～N()韋布爾分布W(m, a, b)f(x)= m =1且a=0時(shí)為指數(shù)分布；m =分布函數(shù)為F(x)=，(xa)3. 隨機(jī)變量的分布函數(shù)類 型定 義性 質(zhì)備 注通用定義F(x)＝P{X≤x}，﹣∞＜x＜+∞1. 0≤F(x)≤1。2. F(﹣∞)=0 , F(+∞)=1 3. F(x)對(duì)x單調(diào)不減4. F(x)為右連續(xù)P{aX≤b}=F(b)－F(a)離散型XF(x)=,﹣∞＜x＜+∞連續(xù)型XF(x)=,﹣∞＜x＜+∞f(x)=F162。(x) P{aX≤b}=（二）隨機(jī)變量的數(shù)字特征類 型定 義性 質(zhì)備 注數(shù)學(xué)期望E(X)離散型 E(X)=1. E(C)＝C（C為常數(shù)）2. E(CX)＝CE(X)3. E(X177。Y)＝E(X)177。E(Y)4. 若X、Y相互獨(dú)立,則E(XY)＝E(X)E(Y)描述隨機(jī)變量所有可能取值的平均水平連續(xù)型 E(X)=方差D(X)D(X) =E[(X－E(X))2]1. D(C)＝0（C為常數(shù)）2. D(CX)＝C2D(X)3. 若X、Y相互獨(dú)立,則D(X177。Y)＝D(X)+D(Y)4. D(X) = E(X2)－(EX)2描述隨機(jī)變量取值相對(duì)于均值的平均離散程度標(biāo)準(zhǔn)差s(X)協(xié)方差cov(X, Y)Cov(X,Y)=E[(X－E(X))(Y－E(Y))]=E(XY)－E(X)E(Y)1. Cov(aX,bY)= abCov(X, Y)2. Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y) +Cov(X2,Y)3. X與Y獨(dú)立222。 Cov(X, Y)=04. D(X177。Y)＝D(X)+D(Y)177。2Cov(X, Y)描述X與Y的偏差的關(guān)聯(lián)程度相關(guān)系數(shù)rXY1. |rXY|≤1；2. |rXY|=1219。存在常數(shù)a、b使得P{Y=aX+b}=1；3. X與Y獨(dú)立222。X與Y不相關(guān)， 反之不一定成立。 描述X與Y間線性相關(guān)程度；rXY =0，稱X與Y不相關(guān)；（三）隨機(jī)變量函數(shù)的分布類 型X的分布函數(shù)Y=g(X)的分布數(shù)學(xué)期望公式離散型XX的分布律P{X=xk}=pk，k=1,2,…Y的分布律為P{Y=g(xk)} =pk，k=1，2，…。若有某些g(xi)相等，則對(duì)其作適當(dāng)?shù)牟㈨?xiàng)，即對(duì)應(yīng)概率相加連續(xù)型XX的密度為fX (x)分布函數(shù)法：FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}Y=g(X)的密度：fY(y)=F′Y(y)定理公式法：若y=g(x)在fX (x)非零區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)，h(y)是y=g(x)的反函數(shù)（四）二維隨機(jī)向量及分布1. 二維離散型隨機(jī)向量名 稱定 義性質(zhì)或試驗(yàn)背景備 注聯(lián)合分布律1