【文章內容簡介】 的條件期望值來代替滯后的波動值，但這有可能會喪失一部分方差的信息。另一種馬爾可夫轉換金融波動模型便是將馬爾可夫轉換模型與隨機波動模型相結合構建馬爾可夫轉換隨機波動模型（MSSV），國外這方面的研究包括So,Lam,Li(1998)、Smith(2002)、Kalimipalli（2004）和Hwang(2007)等。但目前國內尚無文獻探討MSSV模型的特征與建模方法，本文擬填補此空白并在國外模型基礎上進行適當推廣。MSSVNormal模型的基本框架是： （公式215）這里的（=1或者2）是一個與狀態(tài)相關的變量，不失一般性，令，那么狀態(tài)1和狀態(tài)2波動對數值的無條件期望值和分別為：，且滿足：。通過上述設定就將波動狀態(tài)劃分為一個低波動狀態(tài)（波動對數值的無條件期望為）和一個高波動狀態(tài)（波動對數值的無條件期望為），波動按照馬爾可夫轉換過程在低波動狀態(tài)和高波動狀態(tài)之間轉換。而馬爾可夫轉換過程的概率矩陣P可表示為： （公式216）其中。那么則有： （公式2－17）這其中的和便被稱為預測概率（predictive probability），而公式217中的和被稱為過濾概率（filtered probability），其與預測概率的主要區(qū)別就在于所依賴的信息集不同，其計算公式如下：其中： 對于起始時刻，我們可以用無條件概率(unconditional probability)進行替代：在時刻不斷迭代上述兩個步驟直至迭代結果滿足收斂標準時就可以得到模型的估計值。這樣通過一個馬爾可夫轉換過程就可以刻畫隨機波動的狀態(tài)轉換特征。我們也可以將MSSV模型推廣到一元t分布下，MSSVt模型表達式如下：與上一節(jié)ARCH模型族估計不同的是，本章中隨機波動模型的估計采用的均是貝葉斯統計中的MCMC方法。下文將分析貝葉斯統計和MCMC方法。 隨機波動模型估計的貝葉斯方法 隨機波動模型的估計方法綜述隨機波動模型在初期的應用范圍遠沒有ARCH模型族寬廣，主要原因就在于其似然函數沒有公式解析式，經典的極大似然估計方法并不適用于隨機波動模型。為此學者們陸續(xù)提出了一些替代的估計方法，主要包括廣義矩GMM方法（Anderson and Sorensen(1996), Melino and Turnbull(1990)）、有效矩EMM方法（Efficient Moment Methods, Gallant amp。 Tauchen(1997) Ying Gu amp。 Eriz Zivot(2006)）、擬極大似然估計（quasimaximum likelihood, Harvey, et al,（1994））、模擬極大似然估計方法（simulated maximum likelihood, Danielsson(1994)、Durham（2004,2006,2007））、經驗特征函數法(empirical characteristic function, Knight(2002))和貝葉斯MCMC方法（Jacquier，et al.(1994)，Kim amp。 Nelson(1998)）等。而Jacquier et al.(1994) ，Anderson et al,(1999)等的研究均表明：MCMC方法較其它方法效果更佳，相對誤差最小，是估計效率最高的方法之一，該結論也被隨后的研究陸續(xù)證實。這是因為MCMC方法在估計隨機波動模型時具有如下優(yōu)點（Johannes amp。 Polson（2005））：（1）MCMC方法是建立在條件模擬基礎之上的，這樣就避免了對目標函數進行優(yōu)化或者非條件模擬的問題。從實踐來看，對于類似SV模型這樣似然函數很難精確表達的模型進行估計，MCMC模型的計算速度上要快于傳統方法。更為重要的是，MCMC推斷是建立在對模型參數和潛在變量的后驗分布的精確估計基礎之上的，而其它方法往往是建立在近似推斷基礎之上的，這為我們得到參數的精確估計奠定了良好的基礎；（2）在估計模型參數的同時，MCMC可以很方便的估計潛在的波動率的平滑估計值（smoothed estimated），這是因為MCMC方法在估計模型參數的同時也將潛在變量納入了參數估計的空間（Jacquier et al,1994），而其它方法往往需要使用其它的過濾準則（filters），這無疑加大了估計的難度；（3）MCMC方法可以更為方便的評估估計風險和模型風險。估計風險是在估計參數或狀態(tài)變量是出現的內生不確定性，而模型風險是模型選擇和確認時出現的風險，在MCMC框架下這兩種風險可以較其它方法更方便的進行評估。正是基于此，在本文中我們對隨機波動模型的估計均是建立在MCMC方法基礎之上。在下小節(jié)我們將詳細介紹隨機波動模型估計的MCMC方法與基于此基礎之上的DIC準則。 隨機波動模型估計的MCMC方法與DIC準則統計學上主要有兩大種推斷的方法，一種是經典統計推斷方法，另一種便是貝葉斯（Bayes）方法，《論有關概率問題的求解》中提出。這兩種統計推斷方法的區(qū)別主要體現在兩方面：（1）經典統計推斷方法視未知參數為真實且固定的值，參數的估計值可以由樣本數據構造。我們通常使用極大似然函數估計法，也就是通過最大化目標函數的似然函數值進行估計，并且利用擬合的模型做出統計推斷。而貝葉斯方法將參數視為一個隨機變量，所有關于參數的推斷都是以概率的形式出現，然后利用貝葉斯公式，從先驗分布得到后驗分布并利用后驗分布進行統計推斷。該點曾經是經典統計學派和貝葉斯學派爭論的主要焦點，但越來越多的經典學派統計學家已開始接受貝葉斯學派的觀點，將未知變量看作隨機變量；（2）貝葉斯學派認為一個事件的概率可以是人們根據經驗對該事件發(fā)生可能性做出的個人信念，可以利用先驗概率合理地確定先驗分布。而經典學派則認為不能輕率地使用先驗概率（茆詩松等（1998））。貝葉斯學派的基本思路是：假設是模型所需估計的參數， 是樣本觀測值，是觀測到數據之前關于變量的先驗信息，則有： （公式220）在觀測到的數據以后形成的關于的看法則根據的是的后驗概率密度：根據全概率公式和公式220便可得： （公式221）上式便被稱為貝葉斯定理。這個在給定樣本下的條件分布被稱為的后驗分布，它在樣本給定情況下集中了樣本與先驗分布中關于的一切信息，其比先驗分布更接近于實際情況，因此使用后驗分布可以更好地推斷變量的統計性質。但是，在利用貝葉斯方法進行統計推斷時通常需要在高維度的概率分布上計算積分，這往往會遇到較大的計算困難。若使用解析計算或者數值計算方法來求解幾乎很難實現，并且估計的精度也難以得到保證。而MCMC（Markov Chain Monte Carlo, 馬爾可夫鏈蒙特卡洛）方法則可以較好的解決這個問題。MCMC方法是建立在CliffordHammersley定理基礎之上，該定理認為聯合分布可以由參數的完全條件分布所決定。MCMC方法將馬爾可夫鏈和蒙特卡洛積分方法結合在一起，主要特征在于將所希望估計的參數與無法觀測到的狀態(tài)變量設置為隨機變量，并假設它們服從某種特定的概率分布。然后利用多次重復的遞推抽取樣本的方法來構建一長串的馬爾可夫鏈，通過模擬參數與狀態(tài)變量的樣本分布，在大樣本條件下將收斂至目標的實際分布。這樣，MCMC方法就可以將復雜的聯合分布分解為其條件分布的集合，而這些條件分布是低維的并且相對容易抽樣，這樣就有效解決了高維的積分問題。正是由于MCMC方法的發(fā)展和Winbugs軟件 Winbugs軟件是貝葉斯學派自行開發(fā)的一種專門用于Beyes統計推斷特別是MCMC估計的統計軟件，其可在。的應用，使得原來復雜異常的數值計算問題如今變得相對簡單，參數后驗分布的模擬也更趨方便，所以貝葉斯統計學派再度得到重視和復興。MCMC常見的算法包括吉布斯抽樣（Gibbs Sampling）、MetropolisHastings算法和這兩種方法的綜合等。吉布斯抽樣是最簡單也是最常用的MCMC方法，其要求可以從條件分布的全集中直接抽樣。例如給定，我們可以進行如下抽樣： 如果很難直接從和中完全抽樣，例如模型中含有p個未知參數時，那我們可以利用CliffordHammersley定理按照如下步驟抽樣：1. 抽樣 2. 抽樣 …p．抽樣 p+1. 抽樣 如此重復迭代G次，這樣就可以產生一個吉布斯樣本，如果G 充分大，那么在一定的條件下參數會收斂于其真實分布。一般在實踐中，我們會放棄掉一定的樣本數m（稱為burnin樣本 放棄掉burnin樣本的主要目的在于確保所抽取的吉布斯樣本統計特征與從聯合分布中抽取的樣本統計調整足夠接近。），然后利用剩下的G－m個樣本，就可以對參數的統計性質進行推斷。由于吉布斯抽樣要求從條件分布的全集中抽樣，因此往往需要假設參數服從某些標準的連續(xù)分布，如正態(tài)分布，t分布，Beta分布、Gamma分布等，或者某些離散分布，如二項（Binomial）分布等。而當參數具有非線性性質，或者參數的條件分布未知，或者條件分布已知但很難進行抽樣時，吉布斯抽樣方法往往也存在著一定的困難，此時宜采用MetropolisHastings算法。其主要特征在于引入了接受準則(acceptance criterions)來確保算法能夠產生正確的條件分布。吉布斯抽樣可以看出是MetropolisHastings的一個特例，即接受概率始終為1的情況（Johannes and Polson（2005)）。根據Bayes和MCMC的估計原理，并利用EulerMaruyama方程，我們可以將隨機波動模型重新進行表述。以基于正態(tài)分布假設的SV模型為例，SVNormal模型（公式2－9）、SVJPENormal模型（公式2－11）模型和SVHSNormal模型（公式2－12）模型可分別表述如下：SVNormal模型：SVJPENormal模型：SVHSNormal模型：這樣表述有利于我們在Winbugs中編程估計。基于一元t分布等厚尾分布的隨機波動模型也可按相同方法進行表述對于一元SVt模型而言，我們假設標準化的殘差服從一元標準t分布(0,1,v)，但是在Winbugs中的t分布程序命令dt(mu,var,v)，其方差與t分布自由度密切相關。因此我們不能直接采用Winbugs中的命令從中抽樣。按照前面討論的一元t分布與一元正態(tài)分布的關系，我們可以用一個逆伽瑪分布和正態(tài)分布的乘積來代替一元t分布，這樣進行的MCMC方法抽樣結果更加準確可靠。隨機波動模型估計的另一個難點問題便是各模型績效比較的準則。對于基于貝葉斯方法的模型選擇問題，學者們提出了若干檢驗準則，其中被公認為的較佳準則是貝葉斯因素（Bayes factor）方法（Kass amp。 Raftery（1995））。然而對于SV模型而言，模型中的未知參數和狀態(tài)過多，這會導致貝葉斯因素的計算相當困難與復雜，特別是當維數較多與樣本數據較長時。對于在模型比較中常用的AIC準則和BIC準則 AIC準則和BIC準則是計量經濟學中最常用的判斷統計模型性質優(yōu)良與否的指標。假設是模型的對數似然函數值，k是模型參數的個數，t是時間序列長度，那么：。從表達式中可以看出，AIC準則和BIC準則都引入了對增加更多參數的懲罰，BIC準則對參數增加的懲罰力度更大。當進行模型績效比較時，AIC值或者BIC值越小越好。而言，其對SV模型的估計與比較也不適用。AIC和BIC均需要知道模型中未知參數和狀態(tài)的個數。然而對于SV模型這樣的具有多層模型(hierarchical model)特點的模型，其模型中包含了長度與樣本長度相同的未知波動狀態(tài)，而且些波動狀態(tài)并不是相互獨立的，而是服從一個一階的馬爾可夫過程，因此模型參數的精確個數很難確定。所以，AIC和BIC并不能精確地比較各SV模型的績效。在評估SV模型績效方面近年來被廣泛使用的方法是DIC準則（Deviance Information Criterion），其由Dempster(1974)首先提出，并由Spiegelhalter, et al(2002)發(fā)展成為評估貝葉斯類模型績效的準則。與AIC和BIC準則類似，DIC準則由兩部分組成，第一部分測量模型的擬合優(yōu)度，而第二部分則是作為模型復雜程度增加的懲罰系數。用公式可以表達如下： （公式222）這里的代表貝葉斯模型的參數，則代表模型有限參數的個數。與AIC值和BIC值類似，DIC值越小說明模型的擬合程度越高。實際上，DIC可以看作是AIC準則的一般化，即，這里用極大似然估計得到的參數值代替貝葉斯估計得到的的后驗估計值。特別的，當先驗值的概率分布較為扁平(flat)時，極大似然估計值和貝葉斯后驗估計值是一致統計量，那么此時AIC準則同DIC準則一致（Spiegelhalter，et al,(2002)，Jun Yu et al(2004)）。我們也可以看出DIC準則同BIC準則也有密切的聯系。值得關注的是，Winbugs需要使用參數的后驗均值計算DIC值，這就需要保證模型迭代結果要達到收斂。關于DIC進一步的研究介紹可參看Spiegelhalter，et al,(2002)和Andreas Berg,et al,(2004)。 樣本數據在本小節(jié)我將們以上證指數為例實證研究GARCH模型和SV模型。上證指數是上海股市最具代表性的市場指數，其樣本包含了A股和B股。由于上海股市發(fā)展初期并不規(guī)范而且波動相對較為劇烈，因此我們舍棄掉了最初幾年的數據，選取1996年1月1日至2006年12月31日上證指數的收盤價，并計算其對數收益率，數據來源于通達信交易軟件。上證指數的日對數收益率時序可見圖21。從圖中可以看出，上證指數的波動具有明顯的時變和聚集效應特征，而且波動在某些特定時間段相當劇烈。表21給出了樣本期內收益率的基本統計特征值，在樣本期內上證指數收益率的均值大于0，這說明大陸股市目前正處于成長發(fā)展期，國民經濟的快速增長為股市運行提供了良好的基本面，而且由于股市缺乏做空機制，所以盡管歷史上曾經數次出現大的波折，但就總體而言股市仍出現明顯的上