【正文】 ④全面總結(jié)了傳統(tǒng)的多元金融波動模型的建?？蚣芎腿毕?這為第五章聯(lián)合傳統(tǒng)多元GARCH模型和Copula函數(shù)建模奠定了基礎(chǔ)。上述兩種金融波動模型和Copula函數(shù)聯(lián)合建模的思路對于豐富與完善多元金融波動模型、更好地擬合金融資產(chǎn)的波動和相依特征具有一定的積極意義。在本文，作者嘗試將金融波動模型與Copula函數(shù)相結(jié)合構(gòu)建新的多元金融波動模型以更好地刻畫多元金融資產(chǎn)的波動特征。而多元正態(tài)分布和多元t分布在刻畫多元變量的相依結(jié)構(gòu)方面仍存在著一定的缺陷。這實際上意味著的各邊緣分布也須服從一元正態(tài)分布，而本章前面的研究已表明：基于一元正態(tài)分布假設(shè)的一元金融波動模型對各邊緣分布的尖峰厚尾特征的刻畫能力是較弱的； ③多元t分布假設(shè)不僅要求標準化殘差服從相關(guān)系數(shù)矩陣為單位矩陣、自由度為v的t Copula函數(shù)，而且要求的各邊緣分布也須服從自由度為v的一元標準t分布。但實證研究往往表明標準化殘差的分布并不符合多元正態(tài)和多元t分布假設(shè)，這也就意味著建立在其基礎(chǔ)之上的多元GARCH模型可能存在著較大的模型設(shè)定誤差，而這種誤差對于精度要求較高的金融風(fēng)險管理和金融資產(chǎn)定價可能會帶來較大的風(fēng)險： ①在多元正態(tài)分布假設(shè)下，標準化殘差的不相關(guān)與獨立等價。本文對此不再贅述。由于多元隨機波動模型估計更為復(fù)雜且耗時，因此在實踐中較少被使用。 Kroner(1995)）對方差――協(xié)方差矩陣的設(shè)定如下：DCC多元GARCH模型（Engle amp。根據(jù)Bauwens, Laurent amp。通常我們假設(shè)服從不相關(guān)的多元標準正態(tài)分布（或多元t分布），即：，那么的條件方差。同時，為了分散與化解系統(tǒng)風(fēng)險，也需要對多個金融資產(chǎn)進行組合，實現(xiàn)風(fēng)險對沖或套利，這就需要對多維金融資產(chǎn)的波動特征和相依結(jié)構(gòu)有更深入、全面和準確的了解，因此可以將前面所研究的一元金融波動模型（含一元ARCH模型族和一元隨機波動模型族）推廣到多變量情形――多元金融波動模型。從一元隨機波動模型和一元GARCH績效來看，隨機波動模型略佳于GARCH模型。再從波動持續(xù)性參數(shù)結(jié)果來看。該結(jié)論也可從表25中MSSV各模型估計結(jié)果中得到驗證。從各金融波動模型（圖2圖26和圖29）估計得到的條件標準差時序圖中可以看出，上海股市的波動具有明顯的周期特征和狀態(tài)轉(zhuǎn)換特征。從表24中可以看出，無論是假設(shè)標準化殘差服從一元標準正態(tài)分布還是一元標準t分布，考慮杠桿效應(yīng)的SVHS模型和SVJPR模型的DIC值都低于不考慮杠桿效應(yīng)的隨機波動模型，而從杠桿效應(yīng)參數(shù)來看，各模型參數(shù)的均值和95％置信范圍都小于0，說明均值方程的標準化殘差和波動方程的標準化殘差存在著顯著的負相關(guān)性，上海股市的確存在著明顯的杠桿效應(yīng)。分析DIC值的結(jié)構(gòu)，我們可以發(fā)現(xiàn)SVt模型的對數(shù)似然函數(shù)均值高于SVNormal模型，而和均低于SVNormal模型，說明與GARCH模型類似，基于厚尾分布的隨機波動模型更適合于描述上證指數(shù)收益率的尖峰厚尾特征。同時也可以從隨機波動模型估計得到的波動時序圖中可以看出，其體現(xiàn)出了一定的周期性，因此我們也可以考慮使用包含了馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移的模型來刻畫波動的這種周期性和狀態(tài)相依特征，這有望降低波動的持續(xù)性。同時我們也可以發(fā)現(xiàn)，各SVt模型估計得到的自由度參數(shù)v都高于各GARCH(1,1)t模型估計得到的自由度參數(shù)。對于GARCH模型我們一般使用極大似然估計法進行估計，而在本文中我們使用MCMC方法對隨機波動模型進行估計。圖27和圖28分別給出了SVNormal模型和SVt模型估計得到的參數(shù)后驗概率圖，從圖中可以看出，各模型參數(shù)的后驗分布非常接近于正態(tài)分布，這意味著模型的參數(shù)具有非常良好的統(tǒng)計性質(zhì)，說明MCMC方法可以較好地估計SVNormal模型。 Shephard和Jun Yu(2005)等的設(shè)定，并結(jié)合上證指數(shù)收益率的實際統(tǒng)計特征，我們假設(shè)隨機波動模型的各參數(shù)服從如下先驗分布：其中假設(shè)波動對數(shù)值的無條件期望服從期望值為0，標準差為5的正態(tài)分布，對于波動杠桿效應(yīng)的參數(shù)，我們假設(shè)其服從(1,1)上的均勻分布。由于缺乏作空機制，機構(gòu)投資者在下跌過程中無法獲利，那么其最優(yōu)的投資策略便是在拋售后在低位買進，因此在下跌過程中機構(gòu)投資者出現(xiàn)的大量拋售行為會造成下跌過程更加迅速。從表23中可以看出，除EGARCHNormal模型外，TARCHNormal模型、EGARCHt模型和TARCHt模型的杠桿效應(yīng)參數(shù)在5%的顯著性水平下都較為顯著，體現(xiàn)出了明顯的杠桿效應(yīng)，即上海股市對負沖擊的反應(yīng)大于對正沖擊的反應(yīng)，股市上漲過程較慢而下跌過程相對較快。GARCH(1,1)，尾部分布的厚尾特征較強。這意味著上海股票市場波動對外部沖擊的反應(yīng)函數(shù)是以一個相對較慢的速度遞減，外部沖擊對上海股票市場波動的影響具有相當大的持續(xù)性，波動體現(xiàn)出了較強的長期記憶性。當收益率在某一樣本時間斷內(nèi)波動較大時，這個時間段內(nèi)的條件標準差也會顯著變大。從各GARCH模型的估計結(jié)果來看，我們可以發(fā)現(xiàn)GARCH模型族具有如下特點：（1）GARCH(1,1)模型可以較好的描述金融資產(chǎn)收益率的波動隨時間變化而變化及波動聚集的統(tǒng)計特征。3. 表中KS檢驗值是對標準化殘差的擬合優(yōu)度檢驗，當服從一元標準正態(tài)分布或者一元標準t分布時，其分布函數(shù)服從[0,1]區(qū)間上的均勻分布。再從檢驗ARCH效應(yīng)的LM檢驗結(jié)果來看，拒絕殘差序列不存在ARCH效應(yīng)的原假設(shè)。這從殘差的自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）圖（圖23）中也可以清楚的看出。接下來考察上證綜合指數(shù)的自相關(guān)結(jié)構(gòu)，通過觀測日收益率的自相關(guān)函數(shù)（ACF）和偏自相關(guān)函數(shù)（PACF），并結(jié)合LjungBox Q統(tǒng)計量，我們發(fā)現(xiàn)上證綜合在第3階、第12階和第15階存在著顯著的自相關(guān)性。來看，日收益率并不服從正態(tài)分布，這從圖22的收益率分布柱狀圖中也可以明顯看出，上證指數(shù)日收益率時間序列體現(xiàn)出明顯的尖峰厚尾特征。而從JB檢驗結(jié)果 JB檢驗是檢驗變量是否服從正態(tài)分布的常用統(tǒng)計檢驗方法之一。從圖中可以看出，上證指數(shù)的波動具有明顯的時變和聚集效應(yīng)特征，而且波動在某些特定時間段相當劇烈。 樣本數(shù)據(jù)在本小節(jié)我將們以上證指數(shù)為例實證研究GARCH模型和SV模型。特別的，當先驗值的概率分布較為扁平(flat)時，極大似然估計值和貝葉斯后驗估計值是一致統(tǒng)計量，那么此時AIC準則同DIC準則一致（Spiegelhalter，et al,(2002)，Jun Yu et al(2004)）。與AIC和BIC準則類似，DIC準則由兩部分組成，第一部分測量模型的擬合優(yōu)度，而第二部分則是作為模型復(fù)雜程度增加的懲罰系數(shù)。AIC和BIC均需要知道模型中未知參數(shù)和狀態(tài)的個數(shù)。假設(shè)是模型的對數(shù)似然函數(shù)值，k是模型參數(shù)的個數(shù)，t是時間序列長度，那么：。對于基于貝葉斯方法的模型選擇問題，學(xué)者們提出了若干檢驗準則，其中被公認為的較佳準則是貝葉斯因素（Bayes factor）方法（Kass amp。因此我們不能直接采用Winbugs中的命令從中抽樣。吉布斯抽樣可以看出是MetropolisHastings的一個特例，即接受概率始終為1的情況（Johannes and Polson（2005)）。），然后利用剩下的G－m個樣本，就可以對參數(shù)的統(tǒng)計性質(zhì)進行推斷。MCMC常見的算法包括吉布斯抽樣（Gibbs Sampling）、MetropolisHastings算法和這兩種方法的綜合等。然后利用多次重復(fù)的遞推抽取樣本的方法來構(gòu)建一長串的馬爾可夫鏈，通過模擬參數(shù)與狀態(tài)變量的樣本分布，在大樣本條件下將收斂至目標的實際分布。若使用解析計算或者數(shù)值計算方法來求解幾乎很難實現(xiàn)，并且估計的精度也難以得到保證。而經(jīng)典學(xué)派則認為不能輕率地使用先驗概率（茆詩松等（1998））。這兩種統(tǒng)計推斷方法的區(qū)別主要體現(xiàn)在兩方面：（1）經(jīng)典統(tǒng)計推斷方法視未知參數(shù)為真實且固定的值，參數(shù)的估計值可以由樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造。估計風(fēng)險是在估計參數(shù)或狀態(tài)變量是出現(xiàn)的內(nèi)生不確定性，而模型風(fēng)險是模型選擇和確認時出現(xiàn)的風(fēng)險，在MCMC框架下這兩種風(fēng)險可以較其它方法更方便的進行評估。這是因為MCMC方法在估計隨機波動模型時具有如下優(yōu)點（Johannes amp。 Tauchen(1997) Ying Gu amp。我們也可以將MSSV模型推廣到一元t分布下，MSSVt模型表達式如下：與上一節(jié)ARCH模型族估計不同的是，本章中隨機波動模型的估計采用的均是貝葉斯統(tǒng)計中的MCMC方法。通過上述設(shè)定就將波動狀態(tài)劃分為一個低波動狀態(tài)（波動對數(shù)值的無條件期望為）和一個高波動狀態(tài)（波動對數(shù)值的無條件期望為），波動按照馬爾可夫轉(zhuǎn)換過程在低波動狀態(tài)和高波動狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換。但是將馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型和GARCH模型相結(jié)合（MSGARCH）則有可能面臨嚴重的路徑依賴問題，Gray(1996) 和Klaassen(2002)提出用滯后方差的條件期望值來代替滯后的波動值，但這有可能會喪失一部分方差的信息。將馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型和金融波動模型相結(jié)合最早可追溯于Cai(1994)和Hamilton amp。一個很自然的選擇便是將馬爾可夫轉(zhuǎn)換（Markov Switching）模型和金融波動模型相結(jié)合，利用金融波動模型刻畫金融資產(chǎn)波動的時變和聚集等特征，利用馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型刻畫金融波動的狀態(tài)轉(zhuǎn)換特征。條件波動的高持續(xù)性意味著外界對波動的沖擊不會很快消失，當前的信息對未來一段時間內(nèi)的條件波動率仍具有顯著的影響。SVHSt模型可表述如下： (公式2－13)同理，SVJPEt也可表述如下： （公式2－14） 馬爾可夫轉(zhuǎn)換隨機波動模型盡管一元金融波動模型在刻畫一元金融資產(chǎn)的波動特征方面取得了重要的進展，但是在以往的研究中學(xué)者一般均假定金融資產(chǎn)的波動是一個連續(xù)的單一狀態(tài)，也就是說假定波動的統(tǒng)計特征在研究樣本期內(nèi)不發(fā)生結(jié)構(gòu)性變化。P500指數(shù)數(shù)據(jù)（從1980年1月至1987年12月）和CRSP數(shù)據(jù)（從1986年1月至1995年12月）研究發(fā)現(xiàn)，SVHS模型績效優(yōu)于SVJPE模型，而Durham(2006)利用Samp。從這個意義上說，HS模型較JPE模型更符合金融理論。那么SVt模型可表述如下： （公式2－10）另一個方向則是考慮杠桿效應(yīng)，也就是說均值方程中的標準化殘差和波動方程中的標準化殘差是相關(guān)的。 Tiao(2004)和Carnero et al(2004)等。在下面小節(jié)中我們將專門探討隨機波動模型的估計方法。而參數(shù)則反映了波動對數(shù)值的標準差。與ARCH模型族相比，隨機波動模型中包含了兩個隨機過程來描述金融資產(chǎn)，一個用來描述收益率的變化，一個用來描述波動的變化。這是因為：在GARCH模型中隱含著資產(chǎn)收益率和波動過程具有確定性的聯(lián)系，而這很難從理論上得到嚴格的證實（Durham(2006,2007)），特別是隨著對金融風(fēng)險管理要求的提高，以及以金融資產(chǎn)波動率基礎(chǔ)的金融衍生品的層出不窮，對準確刻畫金融資產(chǎn)的波動過程提出了更高的要求。我們還可以將厚尾分布與杠桿效應(yīng)組合在一起形成EGARCHt模型和TARCHt模型及EGARCHGED模型和TARCHGED模型等，這樣就可以同時刻畫金融資產(chǎn)收益率的厚尾分布特征和杠桿效應(yīng)。 另一種常用的描述杠桿效應(yīng)的GARCH模型便是TARCH模型，TARCH(1，1)Normal模型可表述如下： （公式2－8）其中是一個虛擬變量，當時，否則。GARCH模型族中包括若干種可以描述這種杠桿效應(yīng)的模型，主要包括Nelson(1991)提出的指數(shù)GARCH(Exponential GARCH,EGARCH)模型和Zakoian et al(1993)提出的門限ARCH（Threshold ARCH，TARCH）模型等。此時GARCH模型的對數(shù)似然函數(shù)可表示為：這里的參數(shù)，當時，GED分布就變成了正態(tài)分布。那么，GARCHt模型的對數(shù)似然函數(shù)假設(shè)服從自由度為v、規(guī)模參數(shù)為的t分布，那么的密度函數(shù)可表示為： ，那么，取規(guī)模參數(shù)，則我們就可以得到均值為0，方差為1的標準化t變量，其密度函數(shù)可表示為：。例如假設(shè)標準差化殘差服從自由度為v的一元標準t分布，則有： （公式2－6）這里標準化的殘差服從自由度為v，期望值為0，方差為1的標準化t分布，為了更清楚的說明t分布與服從正態(tài)分布的差別，我們可以將改寫為：其中服從一元標準正態(tài)分布，服從逆伽瑪（Inverse Gamma）分布，即，那么就服從自由度為v的t分布。無條件峰度值大于3意味著GARCH(1,1)Normal模型的峰度厚度比正態(tài)分布更厚，可以更好的刻畫金融時間序列的尖峰厚尾特征。反之，波動具有更長時間記憶性特征。如果投資者觀測到前期條件方差變大，或者收益率也發(fā)生較大變化，那么投資者會預(yù)期下期的條件方差也可能變大。在GARCH模型中，條件方差為過去殘差項平方和滯后期條件異方差的線性組合，這不僅使得條件異方差的設(shè)定更具彈性，同時也使得模型的參數(shù)估計更為簡便，因為一個高階的ARCH模型可由一個低階的GARCH模型來描述，從而達到了簡化模型參數(shù)的目的。 一元GARCH模型分析為了減少模型的參數(shù)以及放寬對參數(shù)的限制，Bollerslev（1986）提出了GARCH模型，其核心思想是用一個或兩個的滯后值來替代許多的滯后值，這樣不僅可以精簡模型參數(shù)的個數(shù)，而且可以使得條件方差的結(jié)構(gòu)更具一般性。這意味著ARCH(1)Normal模型的分布尾部比正態(tài)分布更厚，從而可以更好地刻畫金融時間序列尖峰厚尾的統(tǒng)計特征。而為了保證模型的殘差為一平穩(wěn)過程,我們還需限制參數(shù)。假設(shè)本期收益率的條件方差受上期殘差項的影響，并且這種變化具有時間依賴性。事實上，金融資產(chǎn)收益率的波動往往存在著波動聚集（volatility clustering）現(xiàn)象，即如果本期價格有較大幅度的變化，那么緊接下來的交易日往往也會出現(xiàn)較大幅度的波動。ARCH模型族的發(fā)展是時間序列研究領(lǐng)域的一個重要創(chuàng)新，其將對金融波動的研究帶入了一個新的階段。金融波動模型按照波動函數(shù)建模的性質(zhì)可以大致分為兩類：第一類是用確定的函數(shù)來刻畫t時刻的波動率，這方面主要的模型包括自回歸條件異方差（Autoregressive Condi