【文章內(nèi)容簡介】 ()協(xié)方差的性質(zhì)?。?）COV(X，Y)=COV(Y，X)； ?。?）COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)，（a，b是常數(shù)）； ?。?）COV(X1+X2，Y)=COV(X1，Y)+COV(X2，Y)。 由協(xié)方差定義，可以看出COV(X，X)=D(X)，COV(Y，Y)=D(Y) ( )對于n維隨機(jī)向量（X1,X2,….Xn），記=E[(XiE（Xi）)（XjE(Xj)）](i=1,2,…,n) ()C={}則稱矩陣C為(X1, ,X2,….Xn）的協(xié)方差矩陣。協(xié)方差矩陣C為正定（非負(fù)定）對稱陣，即。第三章 MUSIC算法 MUSIC算法的提出多重信號分類（MUSIC）算法是Schmidt等人在1979年提出的。這一算的提出開創(chuàng)了空間譜估計(jì)算法研究的新時代，促進(jìn)了特征結(jié)構(gòu)類算法的興起和發(fā)展，該算法已成為空間譜估計(jì)理論體系中的標(biāo)志性算法。此算法提出之前的有關(guān)算法都是針對陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行直接處理，而MUSIC算法的基本思想則是見任意陣列輸出數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，從而得到與信號分類相對應(yīng)的信號子空間和與信號分量相正交的噪聲子空間，然后利用這兩個子空間的正交性構(gòu)造空間譜函數(shù)，通過譜峰搜索，檢測信號的DOA。正是由于MUSIC算法在特定的條件下具有很高的分辨力、估計(jì)精度及穩(wěn)定性，從而吸引了大量的學(xué)者對其進(jìn)行深入的研究和分析?？偟膩碚f，它用于陣列的波達(dá)方向估計(jì)有以下一些突出的優(yōu)點(diǎn)：(1)多信號同時測向能力(2)高精度測向(3)對天線波束內(nèi)的信號的高分辨測向(4)可適用于短數(shù)據(jù)情況(5)采用高速處理技術(shù)后可實(shí)現(xiàn)實(shí)時處理 為了分析推導(dǎo)的方便，現(xiàn)將波達(dá)方向估計(jì)問題中的數(shù)學(xué)模型作理想狀態(tài)的假設(shè)如下：(1)各待測信號源具有相同的極化、且互不相關(guān)的。一般考慮信號源為窄帶的，且各信號源具有相同的中心頻率。待測信號源的個數(shù)為D。(2)天線陣列是由M(MD)個陣元組成的等間距直線陣，各陣元特性相同，各向同性，陣元間隔為d，并且陣元間隔不大于最高頻率信號半波長。(3)天線陣列處于各信號源的遠(yuǎn)場中，即天線陣列接收從各信號源傳來的信號為平面波。(4)各陣元上有互不相關(guān)，與各待測信號也不相關(guān)，方差為的零均值高斯白噪聲。(5)各接收支路具有完全相同的特性。1d2 3 M圖31 等距線陣與遠(yuǎn)場信號設(shè)由第k（k=1，2，…D）個信號源輻射到天線陣列的波前信號為，前面已假設(shè)為窄帶信號，則可以表示為以下形式： （） 式中是的復(fù)包絡(luò)，是信號的角頻率。前面已經(jīng)假設(shè)D個信號具有相同的中心頻率，所以有： （） 式中c是電磁波波速，是公用的信號波長。設(shè)電磁波通過天線陣列尺寸所需的時間為，則根據(jù)窄帶假設(shè)，有如下近似： （） 故延遲后的波前信號為： （）所以，若以第一個陣元為參考點(diǎn)，則t時刻等間距直線陣中的第m(m=1，2，…M)個陣元對第k個信號源的感應(yīng)信號為： （） 其中，為第m個陣元對第k個信號源的影響，前面以假設(shè)各陣元無方向性，所以可取。為第k個信號源的方位角，表示由第m個陣元與第1個陣元間的波程差所引起的信號相位差。計(jì)及測量噪聲和所有信號源來波，第m個陣元的輸出信號為： （） 其中是測量噪聲，所有標(biāo)號為m表示該量屬于第m個陣元，所有標(biāo)號為k表示該量屬于第k個信號源。設(shè) （） 為第m個陣元對第k個信號源的響應(yīng)函數(shù)。則第m個陣元的輸出信號為： （）其中是第k個信號源在陣元上的信號強(qiáng)度。運(yùn)用矩陣的定義，可以得到更為簡潔的表達(dá)式： X=AS+N （ ）式中 （） （） = （） （） （） 對進(jìn)行N點(diǎn)采樣，要處理的問題就變成了通過輸出信號的采樣估計(jì)出信號源的波達(dá)方向角。由此，可以很自然的將陣列信號看作是噪聲干擾的若干空間諧波的疊加，從而將波達(dá)方向估計(jì)問題與譜估計(jì)聯(lián)系起來。對陣列輸出x作相關(guān)處理，得到其協(xié)方差矩陣： （） 其中，H表示矩陣共軛轉(zhuǎn)置。前面已假設(shè)信號與噪聲互不相關(guān)、且噪聲為零均值白噪聲，因此將式()代入式()，可以得到： = = （）式中 （） 稱為信號的相關(guān)矩陣。 （） 是噪聲的相關(guān)矩陣，是噪聲功率，I是M*M階的單位矩陣。實(shí)際應(yīng)用中，通常無法直接得到，能使用的只有樣本的協(xié)方差矩陣： （）是的最大似然估計(jì)，當(dāng)采樣數(shù)時，它們是一致的，但實(shí)際情況中將由于樣本數(shù)有限而造成誤差。根據(jù)矩陣特征分解的理論，可以對陣列協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解。首先考慮理想情況，即無噪聲的情況： （） 對于均勻線陣，矩陣A是由式()所定義的范德蒙德矩陣，只要滿足： （） 則，它的各列相互獨(dú)立，這樣，若為非奇異矩陣（，各信號源兩兩不相干），且MD，則有： （） 由于，所以有： （） 即是Hermite矩陣，它的特征值都是實(shí)數(shù)。又由于是正定的，因此矩陣是半正定的，它有D個正特征值和MD個零特征值。再考慮有噪聲存在的情況 （） 由于0，為滿秩陣，所以有M個正實(shí)特征值，分別對應(yīng)于M個特征向量。又由于是Hermite矩陣，所以各特征向量是相互正交的，即： （） 與信號有關(guān)的特征值只有D個，分別等于矩陣的各特征值與之和，其余的MD個特征值為，也就是說，是R的最小特征值，它是MD維的。對應(yīng)的特征向量，i=1,2，…，M中，也有D個是與信號有關(guān)的，另外MD個是與噪聲有關(guān)的，在下一節(jié)里，將利用以上這些特征分解的性質(zhì)求出信號源的波達(dá)方向。 MUSIC算法的原理及實(shí)現(xiàn)通過對陣列協(xié)方差矩陣的特征分解，可以得到如下結(jié)論：將矩陣的特征值進(jìn)行從小到大的排序，即 （） 其中D個較大的特征值對應(yīng)于信號，MD個較小的特征值對應(yīng)于噪聲。矩陣的屬于這些特征值的特征向量也分別對應(yīng)于信號和噪聲，因此，可以把的特征值(特征向量)劃分為信號特征值(特征向量)與噪聲特征值(特征向量)。設(shè)是矩陣的第i個特征值，是與個相對應(yīng)的特征向量，則有： （） 再設(shè)是的最小特征值 i=D+1，D+2，…M （） 將 （）代入上式，可得： （） 將上式右邊展開與左邊比較，可得： （） 因是D*D維的滿秩矩陣，存在；而同樣存在，則上式兩邊同乘以后變成： （） 于是有 i=D+1，D+2，…，M （） 上式表明：噪聲特征值所對應(yīng)的特征向量(稱噪聲特征向量)，與矩陣A的列向量正交，而A的各列是與信號源的方向相對應(yīng)的。這就是利用噪聲特征向量求解信號源方向的出發(fā)點(diǎn)。用各噪聲特征向量為列，構(gòu)造一個噪聲矩陣： （） 定義空間譜： = （） 該式中分母是信號向量和噪聲矩陣的內(nèi)積，當(dāng)和的各列正交時，該分母為零，但由于噪聲的存在，它實(shí)際上為一最小值，因此有一尖峰。由該式，使變化，通過尋找波峰來估計(jì)到達(dá)角。MUSIC算法的實(shí)現(xiàn)步驟：(1)根據(jù)N個接收信號矢量得到下面協(xié)方差矩陣的估計(jì)值： （） 對上面得到的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解 （） (2)按特征值的大小順序，把與信號個數(shù)D相等的特征值和對應(yīng)的特征向量看作信號部分空間，把剩下的MD個特征值和特征向量看作噪聲部分空間。得到噪聲矩陣： i=D+1，D+2，…，M （） （） (3)使變化，按照式 （）來計(jì)算譜函數(shù)，通過尋求峰值來得到波達(dá)方向的估計(jì)值。 MUSIC算法的改進(jìn)在模型準(zhǔn)確的前提下，MUSIC算法對DOA的估計(jì)理論上可以達(dá)到任意高的分辨率。但是，MUSIC算法研究的信號僅僅限于非相關(guān)的信號，當(dāng)信號源是相關(guān)信號或者相隔比較近的小信噪比信號時，MUSIC算法的估計(jì)性能惡化，甚至完全失效。本節(jié)簡單介紹一下通過對MUSIC算法數(shù)據(jù)陣的共軛重構(gòu)提出的一種改進(jìn)的MUSIC算法。做一變換矩陣J,J是M階反單位矩陣，稱為轉(zhuǎn)換矩陣，即 （）令Y=JX*,其中X*是X的復(fù)共軛，則數(shù)據(jù)矩陣Y的協(xié)方差矩陣為 （）由Rx和Ry之和得到共軛重構(gòu)后的矩陣 （）根據(jù)矩陣?yán)碚?，矩陣Rx，Ry和R具有相同的噪聲子空間。對R進(jìn)行特征分解求出其特征值及對應(yīng)的特征向量，根據(jù)估計(jì)的信號源數(shù)可以從特征向量中分出噪聲子空間，用新的噪聲子空間構(gòu)造空間譜，通過尋求峰值來得到波達(dá)方向的估計(jì)值。第四章 MUSIC算法的DOA估計(jì)仿真 MUSIC算法的基本仿真模擬2個獨(dú)立窄帶信號分別以20176。，60176。的方向入射到均勻線陣上，信號間互不相關(guān)，與噪聲相互獨(dú)立，噪聲為理想高斯白噪聲，陣元間距為入射信號波長的1／2，信噪比為20dB，陣元數(shù)為10，采樣快拍次數(shù)為200。其仿真結(jié)果如圖41所示：圖41 MUSIC算法的DOA估計(jì)譜由圖41可以看出在符合假設(shè)的前提下，采用MUSIC算法能構(gòu)造出針狀的譜峰，可以很好的估計(jì)出入射信號的個數(shù)和方向，能有效的估計(jì)出獨(dú)立信號源的DOA,并且在模型準(zhǔn)確的前提下，對DOA的估計(jì)可以達(dá)到任意精度，克服了傳統(tǒng)測向定位方法精度低的缺點(diǎn) ,可以有效解決密集信號環(huán)境中多個輻射源的高分辨率、高精度測向定位問題。可以看出超分辨率的 MUSIC算法具有測向準(zhǔn)確度、靈敏度高的特點(diǎn)且具有潛在分辨多信號的能力，具有較好的性能和較高的效率，能提供高分辨率及漸近無偏的到達(dá)角估計(jì)，這對實(shí)際中的應(yīng)用具有十分重要的意義。 MUSIC算法DOA估計(jì)與陣元數(shù)的關(guān)系模擬2個獨(dú)立窄帶信號分別以20176。，60176。的方向入射到均勻線陣上，信號間互不相關(guān)，與噪聲相互獨(dú)立，噪聲為理想高斯白噪聲，陣元間距為入射信號波長的1／2，快拍數(shù)為200，信噪比為20dB，陣元數(shù)分別為10，50，100。其仿真結(jié)果如圖42所示：圖42陣元數(shù)不同時MUSIC算法的DOA估計(jì)譜由圖42可以看出，其他條件不變的情況下，隨著陣元數(shù)