【文章內容簡介】 限元法等。本文將結合工程實例利用蒙特卡羅模擬法求解，后文將重點論述。其他的計算方法簡單介紹一下。通過邊坡的破壞模式和破壞標準，建立了極限狀態(tài)函數(shù)以后，將邊坡工程可靠度分析抽象為對極限狀態(tài)函數(shù)的求解。一般的極限狀態(tài)函數(shù)有： ??12nZgX,??式中 是 個具有一定分布的基本隨機變量，如粘聚力、內摩擦系數(shù)、??1,2iXn?地下水壓、容重、巖層厚度。對極限狀態(tài)函數(shù)求解的目的就是通過隨機變量的數(shù)字特征，求出函數(shù) 的數(shù)字特征。由于 往往是,i?? ZZ的非線性復雜函數(shù)，所以通過 的數(shù)字特征精確地求出??12iXn? ??1,2iXn??函數(shù) 的數(shù)字特征是困難的，這就產(chǎn)生了許多近似計算方法，并且在工程中得到了廣泛應Z用。（1） 一次二階矩法 所謂一次二階矩法是針對功能函數(shù)為變量的線性函數(shù)，以變量的一階矩和二階矩為概率特征進行可靠度計算的一種方法。對于非線性功能函數(shù)，一般在某點進行泰勒級數(shù)展開并進似地取其一次式，使功能函數(shù)線性化，然后再用一次二階矩法計算可靠度。在可靠性設計的初期，由于各個隨機變量的分布規(guī)律難以確定，而這些變量的一階矩和二階矩則容易得到。對于非線性的功能函數(shù)，則在均值點進行泰勒級數(shù)展開并取其一次式來計算可靠度，這種方法稱為中心點法。顯然，在上述計算過程中并沒有考慮到變量的實際分布情況，而只考慮了他們的均值和方差，或者說，是將各個隨機變量假定為正態(tài)分布或者對數(shù)正態(tài)分布變量進行計算的。理論與實踐均證明，對于非線性極限狀態(tài)方程，中心點法計算誤差較大。后來 HasoferLind 和 RachwitzFiessler 等人提出改進的中心點法，被稱為驗算點法。這一方法是考慮了基本變量分布類型對可靠度的影響，將非線性功能函數(shù)的線性化點選為設計驗算點通過當量正態(tài)化進行可靠度計算。 （2）概率矩點估計法 概率矩點估計法是由 EmilioRosenblueth 于 1975 年提出的，1981 年他又對這一方法進行了完善和理論化，通常又稱為 Rosenblueth 法。從 80 年代初開始，將這一方法引入到了巖土及邊坡工程的可靠度分析中。它主要是根據(jù)輸入隨機變量的前三階矩（均值、方差、偏態(tài)系數(shù)）來近似地描述極限狀態(tài)函數(shù)的概率矩，不必預先知道輸入隨機變量的精確分布，應用方便。就許多巖土工程問題來說，也具有足夠的精度，是一種比較實用的工程方法，近幾年有許多人對其精度和實用性進行了深入討論，并且都給予了充分肯定。事實上概率矩點估計法與蒙特卡羅法一樣，他們的最大優(yōu)點是不用改變邊坡的極限狀態(tài)函數(shù)，只需在基本輸入隨機變量的空間中選取一些模擬數(shù)值計算點，對極限狀態(tài)函數(shù)進行簡單的數(shù)值運算就可以求出破壞概率或概率矩，因此是非常方便的。概率矩點估計法的取值點大大少于蒙特卡羅方法，而且不需事先給出隨機變量的分布類型，應用前景廣泛。一般說來，對于個隨機變量的情況，需選取 計算點，當 較小時（ ） ，比較經(jīng)濟；當 較大時，n2n 10n?n選取的計算點數(shù)就會大量增加，這時可以選用蒙特卡羅方法進行模擬計算。（3）蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法（MonteCarlo）方法又稱隨機模擬方法或統(tǒng)計試驗法，是一種依據(jù)概率統(tǒng)計學理論利用計算機研究隨機變量的數(shù)值計算方法，它的應用非常廣泛，在目前是相對精確的方法。蒙特卡羅模擬法通過隨機模擬與統(tǒng)計試驗來求解邊坡工程的可靠度，多用于理論方面，以便檢驗其它方法的精度。該方法的關鍵在于：隨機抽樣數(shù) 和隨機抽樣N方法的確定。由概率論知，采用頻率來估算概率的基本前提是隨機抽樣數(shù)必須足夠大，否則達不到精度要求，而抽樣數(shù)大了就增加了工作量。所以為克服這個矛盾就發(fā)展了很多的方法：重要抽樣法、對偶抽樣法、分層抽樣法、條件期望值法、公共隨機數(shù)法、圖解漸近法等等。以上簡單介紹了三種計算邊坡工程可靠度或失效概率的方法。一般來說，中心點法適用于基本變量為正態(tài)分布或對數(shù)正態(tài)分布，極限狀態(tài)為線性且可靠度要求不高的情況。驗算點法只有在各隨機變量間是獨立的正態(tài)隨機變量且功能函數(shù)為??12??:線性是計算結果比較精確。目前這幾種方法來說，還很難說哪一種方法更精確一些，從原理上講，蒙特卡羅方法更明確一些，而且當模擬次數(shù)增加后，其精度是可以肯定的，因此通常用這一方法來檢驗其它方法的精度和適用性。HasoferLind 和 Rackwitz 的可靠指標法是近 20 年來結構可靠性計算方面的一個主要成果，它們將可靠指標計算的解析過程轉化成了幾何求解過程，并且都采用了泰勒級數(shù)在設計點一次線性展開，因此它們也是近似求解方法，在工程中有較廣泛的應用。它們的不足之處是必須對極限狀態(tài)函數(shù)進行求導、變換等運算，當函數(shù)形式復雜時，會感到繁瑣。本文選用蒙特卡羅方法求解可靠度，從蒙特卡羅方法的思路可以看出，該方法回避了可靠度分析中的數(shù)學困難，不管狀態(tài)函數(shù)是否非線性、隨機變量是否非正態(tài)，只要模擬的次數(shù)足夠多就可得到一個比較精確的失效概率和可靠度指標。特別在巖土體分析中，變異系數(shù)往往較大，在這種情況下，采用蒙特卡羅方法計算的可靠度更為精確，并且由于思路簡單易于編制程序。事實上，選用哪一種方法進行邊披的可靠度分析往往是依個人的習慣和經(jīng)歷．不能籠統(tǒng)地否認或宣揚哪一種方法，對具體問題來說，每一種方法的計算結果都可能會有一些偏差，但這種偏差往往是從事邊坡工程研究人員不能克服的，而邊坡破壞機理和破壞模式等方面的不完善或不合理引起的邊坡可靠性差異遠大于方法本身的誤差，因此更應關注的是后者。 用瑞典法建立極限狀態(tài)方程瑞典條分法是基于極限平衡原理先假定若干可能的剪切面——滑裂面，然后將滑裂面以上土體分成若干垂直土條，對作用于各土條上的力進行力與力矩的平衡分析，求出在極限平衡狀態(tài)下土體穩(wěn)定的安全系數(shù)，并通過一定數(shù)量的試算，找出最危險滑裂面位置及相應的(最低的)安全系數(shù)。由于土坡的穩(wěn)定問題是一個高次超靜定問題，必須要作出各種簡化假定以減少未知量。瑞典條分法的基本假定：假定土坡穩(wěn)定屬于平面穩(wěn)定問題；假定滑裂面為圓柱面，弧面上的滑動體為不變形的剛體；認為條塊間的作用力對邊坡的整體穩(wěn)定性影響不大，可以忽略，或者說，假定條塊兩側的作用力大小相等，方向相反且作用于同一直線上。 ORABCabcdidi?1iP?iP1iH?iiWiTiNiNiTi?i iW1iiiP????1iiiH????圖 21 條塊受力分析如圖 21 所示，把滑動土體分成若干土條，土條的兩個側面存在著條塊間的作用力，對于第 i 條土塊，受的力有重力 條塊側面 ac 和 bd 作用有法向力 、 ，切向力 、iWiP1i?iH?；《?cd 的長度為 ，其上作用著法向力 和切向力 ， 中包括粘聚阻力1iH?il iNiTi和摩擦阻力 ，由于條塊的寬度不大， 和 可以看成作用于弧段 cd 的中點。icliNtg?iWi在這些力中，由于不考慮條間力作用，根據(jù)徑向平衡條件，有： （21）cosiii??設安全系數(shù)為 ，根據(jù)滑弧面上的極限平衡條件，有：sF （22）is1iifisclNtgTF???式中： ——條塊 i 在滑動面上的抗剪強度。fi整個滑動土體對圓心 O 取力矩平衡得： （23）??sin0iiWRT?????將式（21）代入（22）再將式（22）代入（23）得如下計算公式： （24） cosiniiisltgF???式中： ——第 i 條滑裂面處土體粘聚力，ic ——第 i 條滑弧弧長，il ——第 i 條自重， ，其中 和 為第 i 條寬度和高度，iWiibh?iih ——第 i 條底面中點的法線與豎直線交角，i? ——第 i 條內摩擦角。i?因此得到邊坡的極限狀態(tài)方程： （25）cossiniiiZtgWlW???????? 蒙特卡羅法的基本原理 [13]當已知基本變量 的概率分布時，可利用適當?shù)碾S機數(shù)發(fā)生器，產(chǎn)生符合狀態(tài)變量XX的概率分布的一組隨機數(shù) 以之代入狀態(tài)函數(shù) 計算狀態(tài)函數(shù)的一個1,nx? ??1,ngX?隨機數(shù) ，并看他是否小于零。以同樣的方式產(chǎn)生 個狀態(tài)函數(shù)的隨機數(shù)據(jù)。??1,ngx? M若 個狀態(tài)函數(shù)的隨機數(shù)中有 個小于零，則當 足夠大時，由大數(shù)定律可知系統(tǒng)的Mm失效概率 為：fP （26） ??1,0/f ngx????可靠度指標 為：? （27） 1fP??? 產(chǎn)生給定隨機變量分布類型的隨機數(shù)用 MontCarlo 法分析邊坡工程可靠度問題，關鍵是產(chǎn)生已知分布變量的隨機數(shù)。為了快速、高效地產(chǎn)生給定隨機變量的隨機數(shù)，通常分兩步進行，即首先在區(qū)間（0，1）內產(chǎn)生均勻分布隨機數(shù)，然后再變換成給定變量的隨機數(shù)。（1） 產(chǎn)生（0，1）間的隨機數(shù)本文用乘同余法獲取隨機數(shù)，算式如下： （28） ??1modi