【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 e:方法、矩陣特征根法、矩陣逼近論等方法多種細(xì)分曲面進(jìn)行特征分析及收斂性連續(xù)性分析。 第三階段：90年代中期至今為發(fā)展時(shí)期。這一階段出現(xiàn)了一些新的細(xì)分方法，也有一些方法是對(duì)老方法進(jìn)行改進(jìn)。在細(xì)分曲線造型方面，蔡志杰對(duì)非均勻有序控制頂點(diǎn)時(shí)的四點(diǎn)法及變參數(shù)四點(diǎn)法的收斂性和連續(xù)性進(jìn)行了分析。駱巖林研究了生成曲線的有理穩(wěn)定細(xì)分方法。丁友東提出了非線性四點(diǎn)插值細(xì)分法。金建榮提出了非均勻四點(diǎn)插值細(xì)分法，生成的曲線達(dá)到G1連續(xù)。2002年，Hassan提出了Ternary四點(diǎn)插值細(xì)分法，生成的曲線達(dá)到G2連續(xù)。在曲面造型方面，Peters和Rief提出Midedge細(xì)分模式；Sederberg等在任意拓?fù)渚W(wǎng)格上引入非均勻節(jié)點(diǎn)區(qū)間的概念，推廣得到非均勻細(xì)分曲面；DeRose將細(xì)分曲面造型方法用于人物動(dòng)畫(huà)的設(shè)計(jì)；Velho和Zorin提出了48細(xì)分法，其實(shí)質(zhì)是C4連續(xù)的四方向樣條在任意網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上的推廣，在正常點(diǎn)是C4連續(xù)的，在奇異點(diǎn)是創(chuàng)連續(xù)的。Kobbelt先提出了適合四邊形網(wǎng)格的插值算法，后來(lái)又提出了細(xì)分模式；Nasrin提出了使細(xì)分曲面插值預(yù)先指定的二次樣條曲線的算法；Levin設(shè)計(jì)了細(xì)分規(guī)則用于網(wǎng)格曲線插值的聯(lián)合細(xì)分模式；Habbib提出了基于頂點(diǎn)和邊插入的曲線網(wǎng)插值方法；Biermann提出了邊界法向插值方法等等。Ying和Zorin提出一種可以用于構(gòu)造非流形曲面的細(xì)分方法。近些年提出的細(xì)分模式還有：Ivrissimtzis等[Ivrissimtzis 2004]的模式；Peters[Peters 2003]的43模式。Hassan等[Hassan 2002]的ternary四點(diǎn)插值細(xì)分。Jena[Jena 2002)基于三角樣條的細(xì)分算法。2004年李桂清提出了細(xì)分等。 縱觀細(xì)分發(fā)展的歷程可以看出，細(xì)分的發(fā)展是從最初的曲線到張量積曲面，再到任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)網(wǎng)格的曲面。從單一的四邊形網(wǎng)格或三角形網(wǎng)格到混合網(wǎng)格。從樣條推廣到石，拒細(xì)分。從最初單一的細(xì)分到可以產(chǎn)生局部特征的造型曲面?？梢?jiàn)，細(xì)分是向著一個(gè)造型能力更強(qiáng)，使用更方便，更加經(jīng)濟(jì)有效的方向發(fā)展的。細(xì)分方法的特點(diǎn)：1. 曲線曲面的生成顯示速度快：符合計(jì)算機(jī)從離散到離散的造型特點(diǎn)。2. 數(shù)值穩(wěn)定性(Numerical stability):凸線性組合的細(xì)分方法是一個(gè)迭代過(guò)程，有很好的數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定性。3. 模型簡(jiǎn)單(Model simplicity)：細(xì)分方法的數(shù)學(xué)模型僅涉及初始數(shù)據(jù)網(wǎng)格和細(xì)分規(guī)則，而細(xì)分規(guī)則往往簡(jiǎn)單明了，易于實(shí)現(xiàn)，效率也高。4. 可升級(jí)性(Scalability)：細(xì)分算法具有多分辨的性質(zhì)，特別適合于層次細(xì)節(jié)技術(shù)。5. 適用于任意的拓?fù)渚W(wǎng)格(Arbitrary topology meshes):細(xì)分曲面可以定義在任意的拓?fù)渚W(wǎng)格上，三角形網(wǎng)格或者四邊形網(wǎng)格或者兩者的混合網(wǎng)格均可。6. 表示的一致性((Uniformity of representation):這里的一致性是指細(xì)分法把曲面片與多面體的表示統(tǒng)一起來(lái)，使得造型系統(tǒng)有了統(tǒng)一處理曲面和多面體表示的手段。細(xì)分模式的分類：從不同角度可以對(duì)細(xì)分模式進(jìn)行分類1. 按極限曲線曲面是否過(guò)初始控制頂點(diǎn)，細(xì)分模式可以分為插值細(xì)分模式C（Interpolatory subdivision schemes )amp。逼近細(xì)分模式(Approximating subdivision schemes ) 。2. 按控制點(diǎn)列的改進(jìn)規(guī)則的特點(diǎn)，細(xì)分模式可分為頂點(diǎn)插入細(xì)分模式amp。割角細(xì)分模式。3. 按不同層細(xì)分規(guī)則的特點(diǎn)，細(xì)分模式可分為穩(wěn)定細(xì)分模式(Stationary schemes )amp。非穩(wěn)定細(xì)分模式(Nonstationary schemes )。不同細(xì)分層次采用相同細(xì)分規(guī)則的細(xì)分模式稱為穩(wěn)定細(xì)分模式，否則成為非穩(wěn)定細(xì)分模式。經(jīng)典的細(xì)分模式大多為穩(wěn)定細(xì)分模式。4. 按同一層細(xì)分規(guī)則的特點(diǎn)，細(xì)分模式可分為均勻細(xì)分模式(Uniform schemes )amp。非均勻細(xì)分模式(Nonuniform schemes )。每一層細(xì)分中網(wǎng)格的不同部分采用相同細(xì)分規(guī)則的細(xì)分模式稱為均勻細(xì)分模式，否則稱為非均勻細(xì)分模式。5. 按初始控制網(wǎng)格的類型，細(xì)分曲面模式可分為基于三角形網(wǎng)格的細(xì)分模式amp?；谒倪呅尉W(wǎng)格的細(xì)分模式。6. 根據(jù)拓?fù)浞至杨愋头诸悾粋€(gè)是面分裂(face split)，另一個(gè)是點(diǎn)分裂(vertex split)。第一種方式的細(xì)分方法稱為基本型(prime)，即組成網(wǎng)格的每一個(gè)面被分裂為四個(gè)，舊點(diǎn)拓?fù)湮恢帽３植蛔?，自每條網(wǎng)格邊上插入一個(gè)新點(diǎn)，對(duì)四邊形網(wǎng)格，每一個(gè)網(wǎng)格面中也要插入一個(gè)新點(diǎn)。第二種方式的細(xì)分方法稱為對(duì)偶型(dual)，對(duì)應(yīng)于每個(gè)舊點(diǎn)，有多個(gè)新點(diǎn)產(chǎn)生，每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)與這個(gè)舊點(diǎn)相鄰的網(wǎng)格面。對(duì)應(yīng)于每一條網(wǎng)格邊，生成一個(gè)新面。舊的網(wǎng)格面保持不變。 B233。zier曲線的細(xì)分算法 1962年法國(guó)雷諾汽車公司的工程師B233。zier構(gòu)造出一種獨(dú)創(chuàng)的參數(shù)多項(xiàng)式曲線，這種曲線采用一組獨(dú)特的多項(xiàng)式基函數(shù)，使得它具有許多優(yōu)良的性質(zhì)。1963年法國(guó)雪鐵龍公司的de Casteljau提出了B233。zier曲線的分割，Stark和常庚哲分別給予證明。本節(jié)主要研究基于de Casteljau算法的B233。zier曲線細(xì)分。B233。zier曲線的De Casteljau定義：一般的，由n+1個(gè)控制頂點(diǎn)定義的n次B233。zier曲線可以被定義為由前后n個(gè)控制頂點(diǎn)決定的兩個(gè)n1次B233。zier曲線和線性組合， 即 事實(shí)上，由B233。zier的遞推關(guān)系有： 因此，就得到了B233。zier 曲線的De Casteljau 的遞推定義如下：其中中間的控制頂點(diǎn)為 K表示遞推級(jí)數(shù)，遞推一次，控制頂點(diǎn)減少一個(gè)?？刂祈旤c(diǎn)都與t有關(guān)。當(dāng)t從0到1變化，第k級(jí)遞推的每個(gè)中間頂點(diǎn)都各掃描出一條由原始頂點(diǎn) 定義的k次中間B233。zier曲線。這k+1個(gè)原始頂點(diǎn)進(jìn)行k級(jí)遞推后，就生成了由中間頂點(diǎn)給出的一條k次中間B233。zier曲線。 B233。zier曲線的細(xì)分：給定參數(shù)t[0，1]，由De Casteljau 算法求得曲線上一點(diǎn)P（t），該點(diǎn)把曲線分為兩個(gè)曲線段，即： 顯然，第一條曲線相應(yīng)的蠶絲范圍為[0，r]，第二條曲線相應(yīng)的參數(shù)范圍為[r，1]，細(xì)分就是要求出定義這兩個(gè)子曲線段的點(diǎn)。N次B233。zier 曲線細(xì)分一次后，其控制頂點(diǎn)增加到2n+1，順次連接這些控制頂點(diǎn)得到新的控制多邊形，隨著細(xì)分的不斷進(jìn)行，控制多邊形就逐漸逼近原B233。zier曲線。這里主要集中于左邊細(xì)分。相應(yīng)左邊細(xì)分曲線，對(duì)于Bernstein基函數(shù)有一個(gè)重要的代數(shù)恒等式： （31） 令 （32） 由式（31）： 點(diǎn)由式（32）根據(jù)De Casteljau 算法（如圖31所示）求得，在這里細(xì)分參數(shù)r相當(dāng)于細(xì)分掩模。圖 31 B233。zier曲線的De Casteljau 算法根據(jù)矩陣乘法點(diǎn)可寫(xiě)成： 其中，為n+1階細(xì)分矩陣。即： 細(xì)分矩陣是一個(gè)下三角矩陣，且每一行全部元素相加和為1，細(xì)分矩乘以B233。zier曲線控制頂點(diǎn)便得到多項(xiàng)式曲線的控制頂點(diǎn)。隨著細(xì)分過(guò)程的不斷進(jìn)行，新的控制多邊形就收斂于相應(yīng)的B233。zier曲線。 實(shí)例分析 遞歸細(xì)分是用來(lái)指到分裂一個(gè)單一的B233。zier曲線分為兩個(gè)細(xì)分曲線的過(guò)程中的術(shù)語(yǔ)。遞歸細(xì)分是重要的幾個(gè)原因，但最重要的是，也許是為近似的B233。zier曲線由直線段。一被劃分為足夠多細(xì)分的曲線可近似為直線段沒(méi)有太多的錯(cuò)誤。當(dāng)我們討論在本節(jié)的后半部，這樣可以幫助渲染和其他應(yīng)用程序，如相交測(cè)試。假設(shè)我們都給出了B233。zier的曲線q(u)與控制點(diǎn)。這是一個(gè)三次曲線，如果我們讓曲線 然后，q1和q2是三次曲線。我們限制q1和q2區(qū)間[0，1]。顯然，0≤U≤1，q1（u）是描繪出曲線q（u）上半部分的曲線，即q（u）0≤U≤1/2。同樣，q2（u）是下半部分q（u）。下面的定理給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的方式來(lái)表達(dá)q1和q2作為B233。zier曲線。讓q1(u),q2(u)在q（u）上，然后根據(jù)De Casteljau 算法在q（u）的控制多邊形上生成r0，r1，r2，s0，s1，t0等點(diǎn)，那么我們可以看見(jiàn)兩個(gè)新的三次B233。zier曲線生成，p0，r0，s0，t0為q1（u）的控制點(diǎn)，然后t0，s1，r2，p3為q2（u）的控制點(diǎn)如圖32所示。 圖32 通過(guò)計(jì)算生成的新的細(xì)分點(diǎn)有幾個(gè)重要的遞歸細(xì)分的應(yīng)用。首先，最突出的應(yīng)用程序是為渲染B233。zier的一系列直線段曲線，這往往是必要的，因?yàn)橥ǔＪ褂脠D形硬件直線段作為原語(yǔ)。為此，我們需要一種方法，打破一個(gè)B233。zier曲線直到每個(gè)小細(xì)分曲線足夠接近細(xì)分曲線是一條直線，使呈現(xiàn)為直線的細(xì)分曲線線條給人足夠的結(jié)果。要進(jìn)行這種細(xì)分，我們需要有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)“足夠接近一條直線?！币话銇?lái)說(shuō)，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該不只是取決于上也呈現(xiàn)上下文在曲線的曲率。例如，當(dāng)渲染一個(gè)矩形像素陣列，有可能是沒(méi)有需要細(xì)分的曲線是那么直之間的曲線的直線近似的距離小于單個(gè)像素。這里有一種方法使該標(biāo)準(zhǔn)，“足夠接近的直線”。精確：第一，基于瀏覽器和像素分辨率的距離曲線圖形渲染的情況下，計(jì)算出一個(gè)值δ0，因此，任何渲染差異絕對(duì)值小于δ將是微不足道的。據(jù)推測(cè)，這將對(duì)應(yīng)于δ一些的像素尺寸的幾分之一。然后遞歸細(xì)分曲線成細(xì)分曲線，停止每當(dāng)曲線的直線近似的誤差小于δ。一種快速骯臟的測(cè)試使用停止條件是要檢查的中點(diǎn)的位置曲線，即，停止條件是在大多數(shù)情況下，這種情況可以非?？焖俚剡M(jìn)行檢查：在三次B233。zier曲線方面q（）可以得出t0=快速計(jì)算表明停止條件快速計(jì)算表明停止條件只是成為只是成為： 這種“快速和骯臟的”測(cè)試可以偶爾失敗，因?yàn)樗腔谥挥兄悬c(diǎn)曲線B233。zier。一個(gè)更可靠的測(cè)試將檢查是否在中間控制點(diǎn)，P1和p2，躺下約線段P0P3。第二個(gè)重要的應(yīng)用遞歸細(xì)分包括結(jié)合凸船體測(cè)試，如圖33所示，以確定區(qū)域不在的B233。zier曲線。我們有興趣在確定當(dāng)射線（半線）相交的表面，我們將看到，這是特別重要的是要有有效的方法決定何時(shí)行確實(shí)不相交的表面。作為另一個(gè)例子，假設(shè)我們是大場(chǎng)景的渲染在任何給定的時(shí)間，只有一小部分是可見(jiàn)的。為了快速渲染場(chǎng)景，它是必要的能夠迅速?zèng)Q定哪些對(duì)象是憑借不可見(jiàn)的，例如，作為外的視錐。將基于以下為非交叉或不可見(jiàn)的測(cè)試事實(shí)：為B233。zier曲線定義控制點(diǎn)Pi，點(diǎn)Q（U），0≤U≤1，所有的謊言在控制點(diǎn)的凸包。這是一個(gè)后果的事實(shí)上的點(diǎn)B233。zier曲線作為控制點(diǎn)的加權(quán)平均計(jì)算。圖 33 凸包的B233。zier曲線的控制點(diǎn)在迅速縮小遞歸細(xì)分的過(guò)程。要說(shuō)明凸包測(cè)試遞歸細(xì)分相結(jié)合的原則，考慮第一實(shí)施例的兩維模擬。這些原則的延伸三維問(wèn)題很簡(jiǎn)單。假定我們有一個(gè)B233。zier曲線 Q（u）一條線或射線L和要決定是否線相交的B233。zier的曲線，如果是這樣的，發(fā)現(xiàn)發(fā)生此交匯。一種基于遞歸細(xì)分工作如下：首先通過(guò)比較Q3由于控制點(diǎn)的凸包線L曲線完全在于它的控制點(diǎn)的凸包，如果L不相交的凸船體，則L不相交B233。zier的曲線：在這種情況下，該算法可返回錯(cuò)誤表示沒(méi)有交集發(fā)生。如果L不相交的凸包，則算法進(jìn)行遞歸細(xì)分，劃分B233。zier的曲線分為兩半，Q1和Q2。然后，該算法遞歸地調(diào)用其自身，以確定是否線相交的細(xì)分曲線之一。然而，前執(zhí)行的遞歸細(xì)分和遞歸調(diào)用，算法檢查是否的B233。zier曲線足夠接近的直線，如果是這樣，該算法僅僅執(zhí)行支票是否直線L的B233。zier曲線近似直線相交。因此，交匯或非交叉返回作為答案。對(duì)于使用遞歸細(xì)分測(cè)試非交叉或不可見(jiàn)的算法表現(xiàn)良好，這是必要的凸殼迅速下降，在每一個(gè)連續(xù)的大小細(xì)分。在此過(guò)程中的一個(gè)圖34中示出，其中顯示了凸船體兩個(gè)細(xì)分曲線的Q1和Q2通過(guò)遞歸細(xì)分。其實(shí)，收縮更迅速的凸殼細(xì)分曲線的進(jìn)行比圖是顯而易見(jiàn)的：的凸包的“長(zhǎng)度”，“寬度”的凸包的平方減小。這一事實(shí)可以證明的的事實(shí)，B39。ezier曲線有初等微積分，剛剛從連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。 圖 34凸船體兩個(gè)細(xì)分曲線的Q1和Q2364 開(kāi)發(fā)環(huán)境配置與調(diào)試 OpenGl簡(jiǎn)介OpenGL（全寫(xiě)Open Graphics Library）是個(gè)定義了一個(gè)跨編程語(yǔ)言、跨平臺(tái)的編程接口的規(guī)格，它用于三維圖象（二維的亦可）。OpenGL是個(gè)專業(yè)的圖形程序接口，是一個(gè)功能強(qiáng)大，調(diào)用方便的底層圖形庫(kù)。 OpenGL? 是行業(yè)領(lǐng)域中最為廣泛接納的 2D/3D 圖形 API, 其自誕生至今已催生了各種計(jì)算機(jī)平臺(tái)及設(shè)備上的數(shù)千優(yōu)秀應(yīng)用程序。OpenGL? 是獨(dú)立于視窗操作系統(tǒng)或其它操作系統(tǒng)的，亦是網(wǎng)絡(luò)透明的。在包含CAD[2]、內(nèi)容創(chuàng)作、能源、娛樂(lè)、游戲開(kāi)發(fā)、制造業(yè)、制藥業(yè)及虛擬現(xiàn)實(shí)等行業(yè)領(lǐng)域中，OpenGL? 幫助程