【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 bert不等式：，其中，常數(shù)因子是最佳值。以上不等式統(tǒng)稱為Hilbert型不等式。，這里.2．幾個(gè)引理 (1)(改進(jìn)的EulerMaclaurin求和公式) 設(shè)，，則. 設(shè)，則(1) [1] ，(2) [4] ． 設(shè)，則，其中,． 設(shè)，，則，其中。其中，楊必成給出了一個(gè)具有最佳常數(shù)的不等式及其等價(jià)式。,.2005年，楊必成在上述條件下又引入獨(dú)立參數(shù)，得到了下列不等式：,同時(shí)還有其等價(jià)式。Hilbert型不等式在分析學(xué)等領(lǐng)域有著重要的地位。在對(duì)Hilbert型不等式的眾多加強(qiáng)工作中，大多都用到了EulerMaclaurin求和公式，2010年黃啟亮就曾提出并證明了一個(gè)有關(guān)權(quán)系數(shù)與EulerMaclaurin求和公式相聯(lián)系的估算方法：這里,對(duì)于,定義的權(quán)系數(shù)為 .本文的目的是給出上面不等式中權(quán)函數(shù)的加強(qiáng)推廣式，并對(duì)其進(jìn)行了估算。作為應(yīng)用，給出了一個(gè)較上述內(nèi)容更一般化的推廣形式。下面對(duì)本文的權(quán)系數(shù)進(jìn)行估計(jì)。這里,.167。 與本課題有關(guān)的Hilbert型不等式的研究現(xiàn)狀近些年來(lái)，數(shù)學(xué)工作者從不同側(cè)面不同角度論述了Hilbert型算子及其不等式應(yīng)用的理論。依據(jù)權(quán)系數(shù)方法﹑參數(shù)化思想及算子理論，主要研究若干類型的Hilbert離散型不等式﹑Hilbert積分型不等式﹑Hilbert型算子的范數(shù)表示，合成性質(zhì)和不等式應(yīng)用。該領(lǐng)域國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀及趨勢(shì)：1908年，數(shù)學(xué)家David Hilbert發(fā)表了以其名字命名的“Hilbert不等式”。由此引起不少研究者的關(guān)注。1925年，哈代引入了一對(duì)共軛參數(shù)，推廣了Hilbert不等式，史稱HardyHilbert不等式。后續(xù)，他又完成了負(fù)一次齊次核的基本理論。近年來(lái)，對(duì)不等式理論感興趣的數(shù)學(xué)工作者仍在繼續(xù)研究這個(gè)古典的不等式。1991年，徐利治首次提出權(quán)系數(shù)方法，加強(qiáng)了Hilbert不等式及HardyHilbert不等式。2003年至今，楊必成改進(jìn)了權(quán)系數(shù)方法并引入了獨(dú)立參數(shù)，發(fā)現(xiàn)了對(duì)偶的HardyHilbert不等式及參數(shù)化的Hilbert不等式等相關(guān)理論。數(shù)學(xué)不等式一直是20世紀(jì)非常活躍而有吸引力的研究領(lǐng)域,特別是該世紀(jì)90年代不等式研究空前活躍，研究的深度廣度迅速擴(kuò)大。目前國(guó)內(nèi)關(guān)于數(shù)學(xué)不等式理論及其應(yīng)用的研究也有較豐富的成果。例如2009年，楊必成出版了《算子范數(shù)與Hilbert不等式》；2009年至2010年，他又出版了的兩部英文專著“HilbertType Integral Inequalities”及“Discrete HilbertType Inequalities”。這三本書(shū)，均以權(quán)系數(shù)方法，參數(shù)化思想及算子理論為主要工具，從不同側(cè)面，不同角度論述了Hilbert算子及不等式的理論，內(nèi)容覆蓋了近年來(lái)的文獻(xiàn)及主要成果。數(shù)學(xué)不等式理論充滿蓬勃生機(jī)興旺發(fā)達(dá)，有著廣闊的前景和良好的發(fā)展前途。特別，在1990年L．C．Hsu等學(xué)者認(rèn)真地研究了Hardy原來(lái)采用的方法（文獻(xiàn)20[20]Hsu，L．Camp。Y． K． Guo． A Refinement of Hardy—Riesz’s Extended Hi lbert Inequali ty[J]， J． Math． Res． Exp．，1990， lO (4)．）Hsu和Guo[20]率先引入權(quán)函數(shù)，將不等式(1．5)改進(jìn)為：砉烹≤瞽(g)口：耀嘶)醪r (1．10)后來(lái)， Hsu[27[27]Hsu， L．Camp。Y． K．GUO． Note on Hardy—Riesz’ s Extension ofHi lbert’s Inequality[J]，Chinese Quarterly Journal of Mathemat ics，1991。6(1)：75—77．]和Gao[28[28]Gao， M．Z． An improvement of Hardy—Riesz’s Extension of theHilbert’s Inequal ity[J]． J． Math． Res． Exp．， 1994，14(2)．]．兩年后，Gao進(jìn)一步改進(jìn)權(quán)函數(shù) [29[29]Gao，M．Z．A Note on the Hardy—Hi 1bert Inequali ty[J]．J．Math．Anal． Appl．， 1996，204(1)：346—351．]再次精確權(quán)函數(shù)為如下結(jié)果：喜熹(擴(kuò)=贏一轡mⅢ．在[30]，[31]中Yang和Gao計(jì)算出一個(gè) (以)的一個(gè)下確界和上確界[24[24]Gao， M．Z． A Supremum on Hardy—Hi lbert’ s Inequal i ty wi thWeight[J]．J． Math． Study， 1998， 31(1)：18—23．]，從而解決了文[21[21]Hsu，L．Camp。Y．J．Wang．A Refinement of Hilbert’s Double SeriesTheorem[J]．J． Math． Res． Exp．，1991，1 1(1)：143—144．]和[27[27]Hsu， L．Camp。Y． K．GUO． Note on Hardy—Riesz’ s Extension ofHi lbert’s Inequality[J]，Chinese Quarterly Journal of Mathemat ics，1991。6(1)：75—77．]提出的問(wèn)題．在權(quán)系數(shù)下，,且，則,. ，這里. 對(duì)應(yīng)的等價(jià)形式,且， ，則，．167。 本文主要研究?jī)?nèi)容(1) 將建立新型權(quán)系數(shù)的有關(guān)函數(shù)，討論相關(guān)不等式，進(jìn)行比較，并給出一些應(yīng)用。(2) 將各種Hilbert型不等式之間的聯(lián)系和權(quán)系數(shù)，參數(shù)等相關(guān)內(nèi)容結(jié)合起來(lái)，進(jìn)一步研究Hilbert型不等式的等價(jià)形式及其逆等有關(guān)知識(shí)。(3) 將所得到的廣義Hilbert型不等式的性質(zhì)。(4) 對(duì)已有的不等式進(jìn)行推廣。眾多文獻(xiàn)研究了Hilbert型不等式問(wèn)題[7,8,1432]，本文共分三章：第一章，簡(jiǎn)述課題的發(fā)展歷程研究現(xiàn)狀與本文所做的工作。第二章，通過(guò)引入一個(gè)適當(dāng)?shù)臋?quán)系數(shù)，利用逼近論和歐拉一馬克勞林求和公式，得到了關(guān)于雙重級(jí)數(shù)型Hilbert型不等式的一個(gè)新的改進(jìn)，得到了一個(gè)原有Hilbert型不等式的一般加強(qiáng)形式．第三章，引入單參數(shù)，討論在權(quán)系數(shù)下下的改進(jìn)形式，同時(shí)證明了與其相類似的結(jié)論和應(yīng)用，從而得到了Hilbert型不等式的一般結(jié)果．第四章，討論在權(quán)系數(shù)下的改進(jìn)形式，引入單參數(shù)在權(quán)系數(shù)下，得到了若干結(jié)果．第二章 一類Hilbert型不等式的研究167。 關(guān)于Hilbert型不等式在權(quán)系數(shù)下的研究義及相關(guān)引理本章通過(guò)引入一個(gè)適當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù)，并運(yùn)用EulerMaclaurin求和方法，對(duì)關(guān)于Hilbert級(jí)數(shù)不等式進(jìn)行了一個(gè)新的加強(qiáng)結(jié)果，作為應(yīng)用，給出了一些關(guān)于Hilbert級(jí)數(shù)不等式類似的結(jié)果。為了證明我們的結(jié)論，我們需要下列引理： 設(shè)，定義函數(shù)則,，且． ()其中. 設(shè)，則(1) [1] ， (2) [4] ． 設(shè)，則 ， ()其中,．證 ，有 ()因函數(shù)為關(guān)于的嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，那么，有，又，有，從而，有， 故由式()—()可知，結(jié)論成立．證畢． 設(shè)，，則 ， ()其中，證 ，有 ，()因函數(shù)關(guān)于變量在上的非負(fù)凸函數(shù)，由Hadamard積分型不等式，有 ， ()由式()和式()，令求的導(dǎo)數(shù)，得， 因?yàn)榈膰?yán)格遞減函數(shù)，所以，有 且． 令， ()那么，有，，于是，有，由式()可知，從而，有故結(jié)論成立．證畢． 推論 設(shè)，，則， ()其中，， ． 設(shè)，，且，記，則 () ．證 由H246。lder不等式，有證畢． ，則, (). ()其中.推論 設(shè)，，則(1) 若，有.(2) 若，有,.其中．綜上，本章主要改進(jìn)了一類Hilbert型不等式的，并結(jié)合已有理論建立了幾個(gè)推廣的不等式，得到了一些結(jié)果．第三章 Hilbert型不等式的進(jìn)一步研究167。 關(guān)于Hilbert型不等式的進(jìn)一步研究的定義及相關(guān)引理在這一部分，我們首先給出一個(gè)原有權(quán)函數(shù)的改進(jìn)形式．引入?yún)?shù)行如：，這里,.下面給出本章相關(guān)的引理。，，定義函數(shù) ()則， ，且 ． ()其中，.，則(1) [1] ，(2) [4] ． 設(shè),，則, ()其中．證 利用式(), 我們有,從而當(dāng)時(shí)，有，記，因函數(shù)是關(guān)于的遞增函數(shù)，于是，有，從而不等式()成立．證畢．推論1 ，則，其中． , ，則． ()其