【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 基本原理 內(nèi)插理論 整數(shù) 倍內(nèi)插 整數(shù)倍內(nèi)插是在已知序列 x(n)的相鄰 2采樣點(diǎn)之間等間距的插入 I1個(gè) 0值點(diǎn)，I 為大于 1 的整數(shù)，稱為內(nèi)插因子。實(shí)現(xiàn)這一過(guò)程的系統(tǒng)稱為 I內(nèi)插器，如圖 21所示。 [] 圖 21 I 倍內(nèi)插器 設(shè)輸入原始抽樣序列為 x(n)，輸出內(nèi)插后的序列為 xI(n)，則輸入輸出的關(guān)系為 { ,2,0)/(,0)( ?IInInx nI nx ???? ，為其他 (21) 其頻域關(guān)系為 )()( IjjI eXeX ?? ? (22) 式 （ 22）可以看出 )( ?jI eX 是對(duì) )( ?jeX 的 I 倍壓縮，即內(nèi)插后頻譜的周期變?yōu)樵瓉?lái)的 1/I，如圖 所示，因此在數(shù)字頻率軸上， 2π范圍內(nèi)會(huì)產(chǎn)生重復(fù)的波形，我們稱之為鏡像。于是，對(duì)序列進(jìn)行內(nèi)插，要保證序列的原始特性不變，必須要在內(nèi)插后接一個(gè)低通濾波器 H(Z)濾除 [π/I, π/I]之外的頻譜，以消除內(nèi)插帶來(lái)的鏡像。原來(lái)插人的零值點(diǎn)變?yōu)?x(n)的準(zhǔn)確內(nèi)插值，經(jīng)過(guò)內(nèi)插大大提高了時(shí)域分辨率。 通過(guò) MATLAB 對(duì)內(nèi)插過(guò)程的仿真我們可 以看到上面所述原理，如圖 22。 浙江工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 14 圖 22 內(nèi)插過(guò)程 分?jǐn)?shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換 單獨(dú)的抽取器和內(nèi)插器只能實(shí)現(xiàn)整數(shù)倍的采樣率轉(zhuǎn)換，將抽取器和內(nèi)插器級(jí)聯(lián)就可以實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)倍的采樣率變換 [3]。其中需注意的是，分?jǐn)?shù)倍采樣率變換系統(tǒng)中必須內(nèi)插在先，抽取在后。系統(tǒng)框圖如圖 23 所示，該系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn) I/D 倍的采樣率轉(zhuǎn)換，其中的濾波器為具有抗混疊濾波和濾除鏡像作用的低通濾波器。)( ?jeH 的截止頻率應(yīng)取內(nèi)插和抽取所需濾波器的截止頻率的最小值。 浙江工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 15 圖 23 分?jǐn)?shù)倍采樣率轉(zhuǎn)化的系統(tǒng)框圖 抽取內(nèi)插器的實(shí)時(shí)處理結(jié)構(gòu) —— 多相濾波結(jié)構(gòu) 當(dāng)處理多級(jí)系統(tǒng)的信號(hào)時(shí)，經(jīng)常 要 重新安排濾波器和向下采樣 /擴(kuò)展器，這 時(shí)Noble 恒等式 是 非常有用的。 就插值而言， Noble”關(guān)系式可以表示為 : ( )( ) ( ) ( )IF Z I I F Z? ? ? (23) 也就是說(shuō)，在插值中將濾波器放置在擴(kuò)展器之前，就可以得到降低了 I 次的濾波器。 內(nèi)插模型對(duì)運(yùn)算速度的要求都是相當(dāng) 高的，因?yàn)?內(nèi)插器 的 低通濾波器 h(n)位于內(nèi)插算子之后， 其 低通濾波是在 數(shù)據(jù)速率提高 之后進(jìn)行的，即內(nèi)插器抗混疊數(shù)字濾波在高抽樣率條件下進(jìn)行，這必然需要很大的運(yùn)算量，大大提高了對(duì) DSP 芯片的運(yùn)算速度的要求，對(duì)實(shí)時(shí)處理是極其不利的。所以，在需要實(shí)時(shí)處理的情況下，就要采取一些措施以降低運(yùn)算量，采用多相濾波結(jié)構(gòu)的內(nèi)插器就是其中一種方法。這是一種高效濾波結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)充分利用濾波器的多相分解形式，使運(yùn)算速度得到提高。 對(duì)一個(gè) N 階線性時(shí)不變 FIR 濾波器的多相分解過(guò)程如下，設(shè)該濾波器的沖擊響應(yīng)為 h(n)，它的 Z 變換 H(Z)可 表示為 10( ) ( )N nnH Z h n Z? ??? ? 式中： N=Q*I， I 為內(nèi)插倍數(shù)，可以將其展開(kāi)得： 10 1 ( 1 ) 1 10( 1 ) [ ( 1 ) 1 ] ( 1 ) [ ( 1 ) ][ ( 1 ) ( 1 ) ]( ) ( ) ( 0 ) ( ) [ ( 1 ) ] ( 1 )( 1 ) [ ( 1 ) 1 ] ( 1 ) [ ( 1 ) ][ ( 1 ) ( 1 ) ]( 0 ) ( )NnQnI Q I I I IQ I IImH Z h n Z h Z h I Z h Q I Z h Zh I Z h Q I Z h I Z h I I Zh Q I I Zh m I Z?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 ( 1 )0 0 0( ( 1 ) ( ) [ ( 1 ) ] ( )Q Q QI m I I mm m mZ h m I Z Z h m I I Z? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?令 ???????? )1(0 ))(1()(QmmIIk zkImIhzR 則 ??????? 10)1( )()( IkIkkI zRzzH (24) 式（ 24）即為內(nèi)插濾波器的多相表示，則 I 倍內(nèi)插系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖 24(a)，這種結(jié)構(gòu)分支濾波器的階數(shù)由原來(lái)的 N 階變?yōu)?Q 階（ N/I），是原來(lái)的 I 分之一，例如，一個(gè) 4 倍內(nèi)插系統(tǒng)，原來(lái) FIR 濾波器 H(Z)為 32 階，經(jīng)多相分解后變?yōu)?4 個(gè) 8階的分支濾波器。每一個(gè)輸入數(shù)據(jù)可以同時(shí)通過(guò)階數(shù)低的分支濾波器，運(yùn)算速度得到了提高，同時(shí)，由內(nèi)插器的對(duì)等關(guān)系，圖 24(a)轉(zhuǎn)換為圖 24(b)，這樣濾波是在采樣速率提高之前進(jìn)行的，運(yùn)算速度得到了進(jìn)一步的提高，大大增強(qiáng)了實(shí)時(shí)處理能力 . 圖 24(b)這種先濾波再內(nèi)插的多相結(jié)構(gòu)是最優(yōu)的結(jié)構(gòu)，被廣泛采用 . 浙江工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 16 （ a）先內(nèi)插后濾波的結(jié)構(gòu) （ b）先濾波后內(nèi)插的結(jié)構(gòu) 圖 24 內(nèi)插器的多相濾波結(jié)構(gòu) 用 MATLAB 進(jìn)行 內(nèi)插器的多相濾波結(jié)構(gòu) 仿真 ，如圖 25 所示，其中內(nèi)插系數(shù)I=5 圖 25 內(nèi)插器的多相濾波結(jié)構(gòu) 仿真（ I=5） 濾波器 FIR(Finite Impulse Response)濾波器 是有限沖激響應(yīng) 濾波器，設(shè)數(shù)字濾波器的輸入為 x(n)，輸出為 y(n)，沖擊響應(yīng)為 h(n)，數(shù)學(xué)表達(dá)式為 ????? ?? k knxkhny )()()( (25) 濾波器的設(shè)計(jì)任務(wù)主要是選擇有限長(zhǎng)度的 h(n)，盡可能逼近傳輸函數(shù) H。在本浙江工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 17 設(shè)計(jì)中，我們使用窗函數(shù)法來(lái)進(jìn)行 FIR 濾波器的設(shè)計(jì)。 窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的基本原理 [4]是：從所要求的理想濾波器的 頻率響應(yīng) Hd(ejω )出發(fā)，經(jīng)過(guò)傅立葉變換導(dǎo)出 hd(n)。由于 hd(n)為無(wú)限長(zhǎng)，為了構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度為 N 的線性相位濾波器，只有將 hd(n)截取一段，即對(duì)其進(jìn)行加窗處理，并保證截取的一段對(duì) (N1)/2 對(duì)稱，以得到滿足要求的單位沖擊響應(yīng) h(n) h(n) =hd(n)*w(n) (26) 其中窗函數(shù) w(n)可以有各種形式：常見(jiàn)的有矩形窗、三角形窗、漢寧窗、海明窗、布萊克曼窗和凱撒窗等。 6 種窗函數(shù)的基本參數(shù)如表 所示。 窗函數(shù) 旁瓣峰值幅度 /dB 過(guò)渡帶寬 阻帶最小衰減 /dB 矩形窗 13 4x/N 21 三角形窗 25 8x/N 25 漢寧窗 31 8x/N 44 海明窗 41 8x/N 53 布萊克曼窗 57 12x/N 74 朗塞窗（ a＝ ） 57 10x/N 80 表 6 種窗函數(shù)的基本參數(shù) 在設(shè)計(jì)中，需 根據(jù)對(duì)過(guò)渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗函數(shù)的形式，并估計(jì)窗口長(zhǎng)度 N。 設(shè)待求濾波器的過(guò)渡帶用△ ω表示，它近似等于窗函數(shù)主瓣寬度。 對(duì)于系數(shù)對(duì)稱的 FIR 濾波器 有 ??? ?? 10 )()( Nk kzkxzY (26) 我們 7 階 FIR 濾波器為例，可得 ?? ?? 7 0 )()( k kzkxzY (27) 式 (27)可表示為圖 26，系數(shù)關(guān)于 (N1)/2=4 對(duì)稱 圖 26 FIR 濾波器結(jié)構(gòu)圖 在 MTLAB 仿真中， FIR 濾波器的設(shè)計(jì)可以使用 MATLAB 的 FDATooL 工具箱完成 [2] CIC 濾波器 Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 Z1 x(n) y(n) h(1) h(1) h(2) h(2) h(3) h(3) h(4) h(4) 浙江工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 18 CIC 濾波器的基本原理 CIC(Cascaded Integral Comb)濾波器 ,最初由 Hogenauer[1]提出 , CIC 濾波器的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，沒(méi)有乘法器，只有加法器、積分器和寄存器，適合工作在高采樣率。因此， CIC 濾波器在實(shí)現(xiàn)內(nèi)插時(shí)一般被設(shè)計(jì)在最后一級(jí)。 作為一種簡(jiǎn)單有效的抽樣率轉(zhuǎn)換方法 ,CIC 已被廣泛應(yīng)用于通信和信號(hào)處理領(lǐng)域。 CIC 濾波器是數(shù)據(jù)通訊中的常用模塊，一般用于數(shù)字下變頻（ DDC）和數(shù)字上變頻（ DUC）系統(tǒng)，隨著數(shù)據(jù)傳輸率的增加，級(jí)聯(lián)梳狀濾波器（ CIC）的應(yīng)用變得尤為重要。 CIC 濾波器包括兩個(gè)基本組成部分：積分部分和梳狀部分。 [5 ,15]每個(gè)積分器都是單 極點(diǎn)的 IIR 濾波器，并且反饋系數(shù)為 1，狀態(tài)方程為： ? ? ? ? ? ?nxnyny ??? 1 (28) 積分器也可以看成是累加器，根據(jù) Z 變換，其傳輸函數(shù)表示為 NI zzH )1 1()( 1??? (29) 積分部分的結(jié)構(gòu)如圖 27 所示 圖 27 基本積分單元 梳狀濾波器是對(duì)稱的 FIR 濾波器，其狀態(tài)方程為： ? ? ? ? ? ?RMnxnxny ??? (210) 其中設(shè)計(jì)參數(shù) M 是微分延時(shí) ，可以是任何整數(shù)，通常取 1 或 2。 R 是內(nèi)插系數(shù)，也稱 CIC 內(nèi)插系數(shù)。其傳輸函數(shù)表達(dá)式為： NRMC zzH )1()( ??? (211) 梳狀濾波部分的結(jié)構(gòu)如圖 28 所示 圖 28 基本梳狀濾波器單元 由公式 (29)、 (211)可知， 整個(gè)濾波器的傳輸函數(shù)為 NRMkkNRMNIN zzzzHzHzHC ??????????? ? ????? 101 )11()()()( (212) 其中， N 為級(jí)聯(lián)的級(jí)數(shù) 從方程 (212)可以看到，盡管 CIC 濾波器中包括屬于 IIR 濾波器的積分部分，但浙江工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)論文 19 CIC 濾波器相當(dāng) 于一個(gè)有矩形脈沖相應(yīng)的 N 階 FIR 濾波器。 由于 所有 FIR 濾波器的系數(shù)使一致的， 也就可以說(shuō) 是對(duì)稱的， 因此 CIC 濾波器有線性相位且群時(shí)延為常數(shù)。濾波器輸出端的幅度相應(yīng)為 NRfMffH??sinsin)( ? (213) 當(dāng) x 非常小時(shí)，可以將 sin(x)≈ x,在內(nèi)插系數(shù) R 很大時(shí) ,方程可近似為 MfMfMfRMfHN 10,s in)( ???? ? (214) 從上面的公式中可以看出，只有幾個(gè)參數(shù)于傳遞函數(shù)有關(guān)。輸出頻率在 f=1/M 的整數(shù)倍時(shí)為零，另外，在 零點(diǎn)區(qū)域周圍存在混疊 /鏡像。如果我們定義可用通帶的截止為 fc，那么存在混疊 /鏡像的區(qū)域在 )()( cc fiffi ???? (212) 其中 , 1, 2.. .22MRfi ???? ????。如果 fc≤ M/2， 混疊 /鏡像 將出現(xiàn)在 第一 通 帶的較低邊緣 ，在設(shè)計(jì)時(shí)必須考慮到這一點(diǎn)，選擇適合的內(nèi)插系數(shù) R，微分時(shí)延 M 和階數(shù) N。 在 CIC 濾波器中， 還必須注意到 帶通衰減是階數(shù)的函數(shù)，當(dāng)階數(shù)增加使得鏡像被濾波的同時(shí)，通帶衰減也增加了 ，一般來(lái)說(shuō)， CIC 濾波器的 階數(shù) 不大于 5，因此， 在設(shè)計(jì)中我們選擇 階數(shù) N=4。 CIC 內(nèi)插濾波器 通過(guò)改變 CIC 濾波器的結(jié)構(gòu)，可以實(shí)現(xiàn) CIC 內(nèi)插濾波器，應(yīng)用在數(shù)字上變頻中。 CIC 內(nèi)插濾波器由 N 級(jí)梳狀濾波器，實(shí)現(xiàn)插零功能的內(nèi)插器和 N 級(jí)積分器級(jí)聯(lián)而成。在 CIC 內(nèi)插濾波器中，梳狀濾波器工作在低的 fs/R 頻率，積分器工作在高的 fs 頻率下，內(nèi)插器 (Interpolation)將最后一級(jí)梳妝濾波器的輸出數(shù)據(jù)速率從 fs/R升到 fs。 [12,13,15] 圖 29 4 階 CIC 內(nèi)插濾波器 對(duì)于一個(gè) CIC 內(nèi)插濾波器，第 i 階的增益 G 為 [6] NNiNiRRMG NiiNii 2,...1,...,2,1)(222 ????????? ?? (213) 運(yùn)算時(shí)第 i 階的寄存器寬度 ? ?iini GBW 2log?? 1??? NBW inN (214) C C C C