【文章內(nèi)容簡介】 物之間的界限往往并不是那么明確，客觀世界中存在著大量的模糊劃分的現(xiàn)象，模糊集合理論為這種軟劃分提供了數(shù)學(xué)工具。接下來我們研究模糊集合理論。模糊性同隨機(jī)性一樣，也是一種不確定性，是事物本身所固有的特性，例如，“教學(xué)質(zhì)量高”、“教學(xué)質(zhì)量一般”、“教學(xué)質(zhì)量不太好”就是三個(gè)模糊概念，一名在學(xué)生在測評(píng)中得了75分，那么他的教師屬于教學(xué)質(zhì)量哪個(gè)級(jí)別呢？如果選擇“不太好”的級(jí)別，可是學(xué)生明明及格了；如果選擇“一般的級(jí)別”，可75分已經(jīng)略高了，不能僅算一般；如果算“水平高”，那么85和95又該算什么。這種情況應(yīng)該如何定奪？ 在引入模糊集合理論之前，先來看看經(jīng)典集合論的概念。論域U中的每個(gè)元素u，對(duì)于子集A包含于U來說，要么u屬于A，要么u不屬于A，即，子集A由映射 (213)唯一確定，即集合A可由特征函數(shù) (214)來描述。這一特征函數(shù)只能取到兩個(gè)值，所以其概念有很大的局限性，只能表現(xiàn)為“非彼即此”的情況，而不能表現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活中的“即彼即此”的模糊現(xiàn)象。 為了體現(xiàn)類似問題中的這種連續(xù)過渡過程的共性，美國的計(jì)算機(jī)和控制理論的專家扎德(()教授于196_5年在Fuzzy Sets一文提出用隸屬函數(shù)表示模糊集合，即把特征函數(shù)的值域由{0,1}擴(kuò)大到[0,1]。定義如下:設(shè)在論域U上給定了一個(gè)映射： (215)則稱A為U上的模糊集，A(u)稱為A的隸屬函數(shù)，或稱為u對(duì)A的隸屬度。由此，。模糊集合A有多種不同的表示方法，常見的有扎德表示法、序偶表示法、向量表示法，以序偶表示法為例: (216)表示論域U中的元素ui與其隸屬度A(u1)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，此時(shí)的隸屬度為0的項(xiàng)可以略去不寫。而對(duì)于連續(xù)的論域，則一般要借助密度函數(shù)和積分的概念來表達(dá)隸屬度。 聚類分析的基本原理就是在沒有先驗(yàn)知識(shí)的情況下，用數(shù)學(xué)方法來分析各模式向量之間的相互關(guān)系，進(jìn)而識(shí)別出不同的模式劃分。但現(xiàn)實(shí)中，待聚類對(duì)象之間的界限往往是不清晰的，簇之間往往相互重疊，某些數(shù)據(jù)向量可能屬于若干類。因此，需要利用模糊聚類技術(shù)來客觀描述具有不分明性的對(duì)象，從而使實(shí)際的聚類結(jié)果更加合理。 設(shè)含有n個(gè)對(duì)象的集合X={X1，X2，…，Xn}，將對(duì)象劃分到c個(gè)簇中，每個(gè)對(duì)象Xk隸屬于第i個(gè)簇的隸屬度為uik，則形成的劃分可表示為一個(gè)矩陣U。 比如在教學(xué)評(píng)價(jià)中對(duì)教師的教學(xué)質(zhì)量采用FCM算法聚類的最終聚類結(jié)果就會(huì)是一個(gè)橫向指標(biāo)為劃分出的c個(gè)類，縱向指標(biāo)為每位老師(即數(shù)據(jù)對(duì)象或者聚類對(duì)象)的一個(gè)矩陣，矩陣的數(shù)值則表示每位老師屬于不同類的隸屬度。 人們己經(jīng)提出了很多基于模糊劃分概念的模糊聚類方法，如傳遞閉包法、最大樹法、編網(wǎng)法、基于攝動(dòng)的模糊聚類方法、模糊C均值方法等。，本文介紹了K均值算法，這一算法的核心思想是設(shè)定一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，然后將對(duì)象分配到距離最近的類，重復(fù)這一分配過程，直到目標(biāo)函數(shù)最小為止。Dunn將模糊理論運(yùn)用到這類基于目標(biāo)函數(shù)最小化的聚類方法，形成了基于目標(biāo)函數(shù)最小化的模糊聚類方法。其后，Bezdek通過使用模糊隸屬度加權(quán)指數(shù)，將該方法推廣為模糊C均值算法。這些算法都基于如下的非退化模糊C劃分的概念，也即硬性規(guī)定每個(gè)對(duì)象在每類的隸屬度的和要等于1.定義:矩陣U=(uik)是非退化模糊C劃分，若U滿足如下條件:①對(duì)任意的i ,k, uik∈[0,1]。②對(duì)任意的k: (217) ③對(duì)任意的i: (218) FCM算法將對(duì)象劃分到c個(gè)簇的劃分方式看上去是有限的，而模糊C一劃分的方式卻有無窮多種。在各種模糊聚類技術(shù)中，模糊C一平均聚類(Fuzzy CMeans Clustering)簡稱FCM算法是最常見的基于目標(biāo)函數(shù)最小化的聚類算法。 FCM算法簡介假設(shè)對(duì)象集合為X={X1,X2,...,Xn}，每個(gè)對(duì)象為P維向量，即Xk={Xk1，Xk2，...，Xkp}將對(duì)象集合劃分為c個(gè)簇，第1個(gè)簇的質(zhì)心也是一個(gè)P維向量，即Vi={Vi1，Vi2，...，Vip}在FCM中，將n個(gè)P維數(shù)據(jù)向量分類到c個(gè)簇中的模糊劃分方式組成的集合定義為: (219)其中，R表示所有實(shí)c*n矩陣形成的空間。FCM算法的目標(biāo)函數(shù)如下式所示: (220)其中，為權(quán)指數(shù)，又稱為平滑因子，控制著對(duì)象在模糊類之間的分享程度，dik為對(duì)象Xk與第i個(gè)簇的質(zhì)心Vi的距離: (221) 聚類問題就是求滿足目標(biāo)函數(shù)Jm(U,V)的最小化解。FCM算法通過對(duì)目標(biāo)函數(shù)的迭代優(yōu)化來取得對(duì)對(duì)象集合的模糊分類。FCM算法過程可描述如下：步驟①確定c(1cn), m ∈[1,∞)，任意初始化V(0)∈ Rpc,令迭代次數(shù)t=0 。步驟②對(duì)所有的i(1≤ i≤ c), k(1≤ k≤ n)，按如下方式更新U(t)到U(t+l): (222)步驟③根據(jù)U(t+1)按下式更新第(t+ 1)次迭代的質(zhì)心V(t+1): (223)步驟④比較v(t)不日v(t+1)，若，則算法終止。否則令t=t+ 1，轉(zhuǎn)至驟②,繼續(xù)運(yùn)算。其中ε為事先設(shè)定的小正數(shù)。在算法中參數(shù)m影響簇的模糊性，m越大則簇越模糊，通常可以取m=2。當(dāng)取m=2時(shí)，m1=1，上面很多公式都將極大的簡化。上述算法中一個(gè)需要考慮的問題就是距離的選擇，一般計(jì)算中都采用歐式距離。 FCM算法的優(yōu)勢(shì) 由于FCM算法利用模糊度來描述數(shù)據(jù)對(duì)象歸屬不同簇的程度，而kmeans算法則硬性的將數(shù)據(jù)對(duì)象歸類到某一簇中，因此在實(shí)際應(yīng)用中，F(xiàn)CM算法比kmeans算法更客觀地對(duì)一些事物進(jìn)行歸類或劃分。浙江大學(xué)的楊小兵在他的博士論文中使用Iris數(shù)據(jù)庫上的實(shí)例對(duì)FCM算法和Kmeans算法進(jìn)行了比較研究，得出FCM算法的聚類結(jié)果要比Kmeans算法要好。對(duì)于教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)模型而言，一個(gè)教師屬于某一類肯定是具有模糊性的，采用模糊聚類算法能夠比一般的聚類算法更能合理的描述和識(shí)別教師之間的聚類情況。所以采用FCM算法比Kmeans算法及對(duì)Kmeans算法的改進(jìn)算法更適合教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)模型。 本章小結(jié)： 本章是敘述了聚類的定義和模糊聚類的概念。模糊聚類分析是聚類分析的一種，在聚類分析中具有很大意義。此外還介紹了很多關(guān)于聚類和模糊聚類的算法，如質(zhì)心，離差，協(xié)方差，距離等，公式見上文。系統(tǒng)聚類法和多種聚類算法也是本章的輔助角色之一，他們具有各自的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，用在不用的情況下。本小節(jié)重點(diǎn)是對(duì)Kmean算法和FCM算法及其優(yōu)勢(shì)和不足產(chǎn)生了對(duì)比和敘述，接下來的設(shè)計(jì)算法中也將用到FCM算法及其公式，并對(duì)教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)體系進(jìn)行算法設(shè)計(jì)和案例實(shí)現(xiàn)。第3章 教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)體系本章節(jié)首先敘述了二級(jí)模糊綜合評(píng)判法的數(shù)學(xué)模型和使用二級(jí)模糊綜合評(píng)判法的教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)模型，然后嘗試對(duì)該模型進(jìn)行改進(jìn)。在此基礎(chǔ)上，本人依據(jù)前人研究提出了一種評(píng)價(jià)模型，這一模型是在二級(jí)模糊綜合評(píng)判法的基礎(chǔ)上使用模糊聚類算法，獲得教師的模糊分類。本章最后一節(jié)系統(tǒng)的梳理了有關(guān)的教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)體系模型及其算法，籠統(tǒng)的比較了簡單平均法、加權(quán)平均法、二級(jí)模糊綜合評(píng)判法、改進(jìn)的二級(jí)模糊綜合評(píng)判法、聚類算法、模糊聚類算法在教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)模型中的應(yīng)用效果，讓人們對(duì)教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)體系模型的改進(jìn)過程有了一個(gè)較全面的認(rèn)識(shí)。模糊綜合評(píng)判法是目前最常用的一種進(jìn)行教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)的方法。二級(jí)模糊綜合評(píng)判法是對(duì)一般模糊綜合評(píng)判法的改進(jìn)，在實(shí)踐中被廣泛的使用。 二級(jí)模糊綜合評(píng)判法的數(shù)學(xué)模型如圖312所示。其中B為綜合評(píng)判結(jié)果。為合成運(yùn)算。A（1）, Ai（2）(i=1,2,……，n)分別為1級(jí)和2級(jí)評(píng)判因素的權(quán)重集，由人為確定，注意這里的A(l)實(shí)際上是一個(gè)維數(shù)為n的向量，Ai(2)為第1個(gè)因素組中的m個(gè)因素的權(quán)重構(gòu)成的向量。R為評(píng)價(jià)矩陣，Rij為第i個(gè)因素組中的第J個(gè)因素的隸屬度向量。素隸屬度向量的計(jì)算依靠因素集和評(píng)語集的確定。 因素集是由經(jīng)過科學(xué)分組的各種影響教學(xué)質(zhì)量的因素的集合。一個(gè)有n個(gè)一級(jí)因素，第i個(gè)一級(jí)因素有mi個(gè)二級(jí)因素的二級(jí)綜合評(píng)價(jià)的因素集可以表達(dá)如下:U={U1,U2,…,Un1}U1={U11,U12,…,U1m1}…Ui={Ui1,Ui2,…,Uimi} (31)…Un={Un1,Un2,…,Unmn}二級(jí)因素有個(gè)。 比如可以定義第三個(gè)因素組中的第一個(gè)因素為“板書工整、規(guī)范(U31)。 而評(píng)語集就是評(píng)價(jià)者對(duì)被評(píng)價(jià)者的評(píng)價(jià)等級(jí)的集合。比如可以定義評(píng)語分為優(yōu)秀、良好、中、較差、差五個(gè)等級(jí)，記為V={U1,V2,V3,V4,U5}，對(duì)應(yīng)的評(píng)語等級(jí)向量記為D=(100,75,50,25,0)。在因素集和評(píng)語集之間進(jìn)行單因素評(píng)價(jià)，通過模糊評(píng)判統(tǒng)計(jì)即可確定隸屬度向量Rij。也就是每個(gè)指標(biāo)在各個(gè)等級(jí)上穩(wěn)定的頻率所代表的得票率，例如通過對(duì)所有學(xué)生對(duì)某個(gè)教師(或者某門課程)在U31因素(板書工整、規(guī)范)上的對(duì)五個(gè)等級(jí)上分別的投票數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可以求得該個(gè)均值，然后計(jì)算在各個(gè)等級(jí)上投票的頻率即為隸屬度向量R31。如R31= (,.)，這個(gè)數(shù)值也可以用百分比來表示。以此向量為行向量可構(gòu)成評(píng)價(jià)矩陣R，該矩陣的行表示每個(gè)評(píng)價(jià)因素，列表示每個(gè)等級(jí)，矩陣的數(shù)值表達(dá)某個(gè)因素在某個(gè)等級(jí)上的隸屬度(即穩(wěn)定的得票率)。 (32)然后根據(jù)圖32的數(shù)學(xué)模型所示，將權(quán)重和隸屬度向量進(jìn)行合成，并將各種數(shù)據(jù)和中間結(jié)果進(jìn)行歸一化處理，即可得到二級(jí)和一級(jí)綜合評(píng)價(jià)結(jié)果，記第i個(gè)因素組的二級(jí)綜合評(píng)判結(jié)果為Bi（ Bi=Ai（2）ο(Ri1，Ri2，...，Rimi)T ），記一級(jí)綜合評(píng)判結(jié)果為B（B=A（1）ο(B1,B2，...，Bn)T）。將一級(jí)綜合評(píng)判結(jié)果與評(píng)語等級(jí)向量合成即可求出評(píng)估分值e(e=BοDT)。 圖312全面的說明了使用二級(jí)模糊綜合評(píng)判法的教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)體系模型的輸入輸出與處理過程。該模型的輸入有兩部分，一為系統(tǒng)管理員設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)，需要設(shè)置的參數(shù)包括因素集、評(píng)語集，權(quán)重，評(píng)語等級(jí)向量等。二為學(xué)生根據(jù)因素集和評(píng)語集來輸入和修改評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)。輸出為綜合評(píng)價(jià)得分。處理過程為圖示的第五至第九步，可結(jié)合上一章節(jié)的數(shù)學(xué)模型理解，此處不作過多累述。圖31：類似協(xié)作圖的二級(jí)模糊綜合評(píng)判法的評(píng)價(jià)模型模糊綜合評(píng)判法在計(jì)算模型上己經(jīng)比較成熟，實(shí)踐中也有了許多應(yīng)用，但是二級(jí)模糊綜合評(píng)判法并不是完美的，他也有其存在的許多缺點(diǎn)，最突出的是它與簡單平均法一樣，最后的輸出是一個(gè)綜合得分值，在綜合得分的計(jì)算過程中會(huì)丟失許多有用信息。如何找回這些丟失的信息呢?通過分析，很容易發(fā)現(xiàn)，可以將各因素的隸屬度向量和二級(jí)評(píng)價(jià)結(jié)果分別與評(píng)語等級(jí)向量的轉(zhuǎn)置進(jìn)行合成運(yùn)算，求出教師在各個(gè)因素上的評(píng)估分值eij和各因素組上的評(píng)估分值ei。計(jì)算公式分別為:eij=RijοDT , ei=BiοDT . 本文稱前者為因素得分，后者為二級(jí)評(píng)價(jià)得分。這樣除了提供綜合評(píng)分，系統(tǒng)還向教師和教學(xué)管理人員提供了大量的輔助信息。有效的提高了評(píng)估方法的實(shí)用性。具體可參看以后對(duì)上圖的改進(jìn)圖中的A1, A2和A3所示的改進(jìn)思路。要實(shí)現(xiàn)評(píng)價(jià)模型，首先是要確定評(píng)判因素集。結(jié)合傳統(tǒng)的操作實(shí)踐，在定性分析的基礎(chǔ)上再借助一些定量分析工具(比如可以使用因子分析法或主成分法對(duì)評(píng)判因素集進(jìn)行科學(xué)的歸類并降維)對(duì)評(píng)判因素集進(jìn)行科學(xué)的驗(yàn)證并加以改進(jìn)，可以歸納出一組科學(xué)合理的評(píng)判因素。如下就是一組使用比較廣泛的二級(jí)共10個(gè)二級(jí)評(píng)判因素構(gòu)成的評(píng)判因素集。本文第6章實(shí)現(xiàn)的原型系統(tǒng)就是使用這一評(píng)判因素集建立的。表31：評(píng)判因素集名稱一級(jí)評(píng)判因素二級(jí)評(píng)判因素 備注U因素集U1教學(xué)能力（U1）U11教學(xué)目的明確，要求具體(U11)。U12內(nèi)容難易適度，層次分明(U12)。U13以學(xué)生為主體，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性(U13)。U14重點(diǎn)突出，由例及類，(U14)U2教學(xué)方法（U2）U21啟發(fā)式教學(xué)，教思想，教方法(U21)。U22分解難點(diǎn)，教法靈活(U22) 。U23恰當(dāng)運(yùn)用教學(xué)輔助手段(U23)U3教學(xué)因素（U3）U31板書工整、規(guī)范(U31)。U32普通話教學(xué)用語準(zhǔn)確、生動(dòng)形象(U32)。U33德育智育相結(jié)合，既教書，又育人(U33)根據(jù)上表因素，歸結(jié)出各級(jí)評(píng)判因素為:U={U1，U2，U3}。U1={U11，U12，U13，U14}。 (33)U2={U21，U22，U23}。U3={U31，U32，U33}然后是確定各類參數(shù)。包括權(quán)重、評(píng)語等級(jí)