【文章內(nèi)容簡介】 物之間的界限往往并不是那么明確，客觀世界中存在著大量的模糊劃分的現(xiàn)象，模糊集合理論為這種軟劃分提供了數(shù)學(xué)工具。接下來我們研究模糊集合理論。模糊性同隨機性一樣，也是一種不確定性，是事物本身所固有的特性，例如，“教學(xué)質(zhì)量高”、“教學(xué)質(zhì)量一般”、“教學(xué)質(zhì)量不太好”就是三個模糊概念，一名在學(xué)生在測評中得了75分，那么他的教師屬于教學(xué)質(zhì)量哪個級別呢？如果選擇“不太好”的級別，可是學(xué)生明明及格了；如果選擇“一般的級別”，可75分已經(jīng)略高了，不能僅算一般；如果算“水平高”，那么85和95又該算什么。這種情況應(yīng)該如何定奪？ 在引入模糊集合理論之前，先來看看經(jīng)典集合論的概念。論域U中的每個元素u，對于子集A包含于U來說，要么u屬于A，要么u不屬于A，即，子集A由映射 (213)唯一確定，即集合A可由特征函數(shù) (214)來描述。這一特征函數(shù)只能取到兩個值，所以其概念有很大的局限性，只能表現(xiàn)為“非彼即此”的情況，而不能表現(xiàn)現(xiàn)實生活中的“即彼即此”的模糊現(xiàn)象。 為了體現(xiàn)類似問題中的這種連續(xù)過渡過程的共性，美國的計算機和控制理論的專家扎德(()教授于196_5年在Fuzzy Sets一文提出用隸屬函數(shù)表示模糊集合，即把特征函數(shù)的值域由{0,1}擴大到[0,1]。定義如下:設(shè)在論域U上給定了一個映射： (215)則稱A為U上的模糊集，A(u)稱為A的隸屬函數(shù)，或稱為u對A的隸屬度。由此，。模糊集合A有多種不同的表示方法，常見的有扎德表示法、序偶表示法、向量表示法，以序偶表示法為例: (216)表示論域U中的元素ui與其隸屬度A(u1)之間的對應(yīng)關(guān)系，此時的隸屬度為0的項可以略去不寫。而對于連續(xù)的論域，則一般要借助密度函數(shù)和積分的概念來表達(dá)隸屬度。 聚類分析的基本原理就是在沒有先驗知識的情況下，用數(shù)學(xué)方法來分析各模式向量之間的相互關(guān)系，進(jìn)而識別出不同的模式劃分。但現(xiàn)實中，待聚類對象之間的界限往往是不清晰的，簇之間往往相互重疊，某些數(shù)據(jù)向量可能屬于若干類。因此，需要利用模糊聚類技術(shù)來客觀描述具有不分明性的對象，從而使實際的聚類結(jié)果更加合理。 設(shè)含有n個對象的集合X={X1，X2，…，Xn}，將對象劃分到c個簇中，每個對象Xk隸屬于第i個簇的隸屬度為uik，則形成的劃分可表示為一個矩陣U。 比如在教學(xué)評價中對教師的教學(xué)質(zhì)量采用FCM算法聚類的最終聚類結(jié)果就會是一個橫向指標(biāo)為劃分出的c個類，縱向指標(biāo)為每位老師(即數(shù)據(jù)對象或者聚類對象)的一個矩陣，矩陣的數(shù)值則表示每位老師屬于不同類的隸屬度。 人們己經(jīng)提出了很多基于模糊劃分概念的模糊聚類方法，如傳遞閉包法、最大樹法、編網(wǎng)法、基于攝動的模糊聚類方法、模糊C均值方法等。，本文介紹了K均值算法，這一算法的核心思想是設(shè)定一個目標(biāo)函數(shù)，然后將對象分配到距離最近的類，重復(fù)這一分配過程，直到目標(biāo)函數(shù)最小為止。Dunn將模糊理論運用到這類基于目標(biāo)函數(shù)最小化的聚類方法，形成了基于目標(biāo)函數(shù)最小化的模糊聚類方法。其后，Bezdek通過使用模糊隸屬度加權(quán)指數(shù)，將該方法推廣為模糊C均值算法。這些算法都基于如下的非退化模糊C劃分的概念，也即硬性規(guī)定每個對象在每類的隸屬度的和要等于1.定義:矩陣U=(uik)是非退化模糊C劃分，若U滿足如下條件:①對任意的i ,k, uik∈[0,1]。②對任意的k: (217) ③對任意的i: (218) FCM算法將對象劃分到c個簇的劃分方式看上去是有限的，而模糊C一劃分的方式卻有無窮多種。在各種模糊聚類技術(shù)中，模糊C一平均聚類(Fuzzy CMeans Clustering)簡稱FCM算法是最常見的基于目標(biāo)函數(shù)最小化的聚類算法。 FCM算法簡介假設(shè)對象集合為X={X1,X2,...,Xn}，每個對象為P維向量，即Xk={Xk1，Xk2，...，Xkp}將對象集合劃分為c個簇，第1個簇的質(zhì)心也是一個P維向量，即Vi={Vi1，Vi2，...，Vip}在FCM中，將n個P維數(shù)據(jù)向量分類到c個簇中的模糊劃分方式組成的集合定義為: (219)其中，R表示所有實c*n矩陣形成的空間。FCM算法的目標(biāo)函數(shù)如下式所示: (220)其中，為權(quán)指數(shù)，又稱為平滑因子，控制著對象在模糊類之間的分享程度，dik為對象Xk與第i個簇的質(zhì)心Vi的距離: (221) 聚類問題就是求滿足目標(biāo)函數(shù)Jm(U,V)的最小化解。FCM算法通過對目標(biāo)函數(shù)的迭代優(yōu)化來取得對對象集合的模糊分類。FCM算法過程可描述如下：步驟①確定c(1cn), m ∈[1,∞)，任意初始化V(0)∈ Rpc,令迭代次數(shù)t=0 。步驟②對所有的i(1≤ i≤ c), k(1≤ k≤ n)，按如下方式更新U(t)到U(t+l): (222)步驟③根據(jù)U(t+1)按下式更新第(t+ 1)次迭代的質(zhì)心V(t+1): (223)步驟④比較v(t)不日v(t+1)，若，則算法終止。否則令t=t+ 1，轉(zhuǎn)至驟②,繼續(xù)運算。其中ε為事先設(shè)定的小正數(shù)。在算法中參數(shù)m影響簇的模糊性，m越大則簇越模糊，通常可以取m=2。當(dāng)取m=2時，m1=1，上面很多公式都將極大的簡化。上述算法中一個需要考慮的問題就是距離的選擇，一般計算中都采用歐式距離。 FCM算法的優(yōu)勢 由于FCM算法利用模糊度來描述數(shù)據(jù)對象歸屬不同簇的程度，而kmeans算法則硬性的將數(shù)據(jù)對象歸類到某一簇中，因此在實際應(yīng)用中，F(xiàn)CM算法比kmeans算法更客觀地對一些事物進(jìn)行歸類或劃分。浙江大學(xué)的楊小兵在他的博士論文中使用Iris數(shù)據(jù)庫上的實例對FCM算法和Kmeans算法進(jìn)行了比較研究，得出FCM算法的聚類結(jié)果要比Kmeans算法要好。對于教學(xué)質(zhì)量評價模型而言，一個教師屬于某一類肯定是具有模糊性的，采用模糊聚類算法能夠比一般的聚類算法更能合理的描述和識別教師之間的聚類情況。所以采用FCM算法比Kmeans算法及對Kmeans算法的改進(jìn)算法更適合教學(xué)質(zhì)量評價模型。 本章小結(jié)： 本章是敘述了聚類的定義和模糊聚類的概念。模糊聚類分析是聚類分析的一種，在聚類分析中具有很大意義。此外還介紹了很多關(guān)于聚類和模糊聚類的算法，如質(zhì)心，離差，協(xié)方差，距離等，公式見上文。系統(tǒng)聚類法和多種聚類算法也是本章的輔助角色之一，他們具有各自的優(yōu)點和缺點，用在不用的情況下。本小節(jié)重點是對Kmean算法和FCM算法及其優(yōu)勢和不足產(chǎn)生了對比和敘述，接下來的設(shè)計算法中也將用到FCM算法及其公式，并對教學(xué)質(zhì)量評價體系進(jìn)行算法設(shè)計和案例實現(xiàn)。第3章 教學(xué)質(zhì)量評價體系本章節(jié)首先敘述了二級模糊綜合評判法的數(shù)學(xué)模型和使用二級模糊綜合評判法的教學(xué)質(zhì)量評價模型，然后嘗試對該模型進(jìn)行改進(jìn)。在此基礎(chǔ)上，本人依據(jù)前人研究提出了一種評價模型，這一模型是在二級模糊綜合評判法的基礎(chǔ)上使用模糊聚類算法，獲得教師的模糊分類。本章最后一節(jié)系統(tǒng)的梳理了有關(guān)的教學(xué)質(zhì)量評價體系模型及其算法，籠統(tǒng)的比較了簡單平均法、加權(quán)平均法、二級模糊綜合評判法、改進(jìn)的二級模糊綜合評判法、聚類算法、模糊聚類算法在教學(xué)質(zhì)量評價模型中的應(yīng)用效果，讓人們對教學(xué)質(zhì)量評價體系模型的改進(jìn)過程有了一個較全面的認(rèn)識。模糊綜合評判法是目前最常用的一種進(jìn)行教學(xué)質(zhì)量評價的方法。二級模糊綜合評判法是對一般模糊綜合評判法的改進(jìn)，在實踐中被廣泛的使用。 二級模糊綜合評判法的數(shù)學(xué)模型如圖312所示。其中B為綜合評判結(jié)果。為合成運算。A（1）, Ai（2）(i=1,2,……，n)分別為1級和2級評判因素的權(quán)重集，由人為確定，注意這里的A(l)實際上是一個維數(shù)為n的向量，Ai(2)為第1個因素組中的m個因素的權(quán)重構(gòu)成的向量。R為評價矩陣，Rij為第i個因素組中的第J個因素的隸屬度向量。素隸屬度向量的計算依靠因素集和評語集的確定。 因素集是由經(jīng)過科學(xué)分組的各種影響教學(xué)質(zhì)量的因素的集合。一個有n個一級因素，第i個一級因素有mi個二級因素的二級綜合評價的因素集可以表達(dá)如下:U={U1,U2,…,Un1}U1={U11,U12,…,U1m1}…Ui={Ui1,Ui2,…,Uimi} (31)…Un={Un1,Un2,…,Unmn}二級因素有個。 比如可以定義第三個因素組中的第一個因素為“板書工整、規(guī)范(U31)。 而評語集就是評價者對被評價者的評價等級的集合。比如可以定義評語分為優(yōu)秀、良好、中、較差、差五個等級，記為V={U1,V2,V3,V4,U5}，對應(yīng)的評語等級向量記為D=(100,75,50,25,0)。在因素集和評語集之間進(jìn)行單因素評價，通過模糊評判統(tǒng)計即可確定隸屬度向量Rij。也就是每個指標(biāo)在各個等級上穩(wěn)定的頻率所代表的得票率，例如通過對所有學(xué)生對某個教師(或者某門課程)在U31因素(板書工整、規(guī)范)上的對五個等級上分別的投票數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，可以求得該個均值，然后計算在各個等級上投票的頻率即為隸屬度向量R31。如R31= (,.)，這個數(shù)值也可以用百分比來表示。以此向量為行向量可構(gòu)成評價矩陣R，該矩陣的行表示每個評價因素，列表示每個等級，矩陣的數(shù)值表達(dá)某個因素在某個等級上的隸屬度(即穩(wěn)定的得票率)。 (32)然后根據(jù)圖32的數(shù)學(xué)模型所示，將權(quán)重和隸屬度向量進(jìn)行合成，并將各種數(shù)據(jù)和中間結(jié)果進(jìn)行歸一化處理，即可得到二級和一級綜合評價結(jié)果，記第i個因素組的二級綜合評判結(jié)果為Bi（ Bi=Ai（2）ο(Ri1，Ri2，...，Rimi)T ），記一級綜合評判結(jié)果為B（B=A（1）ο(B1,B2，...，Bn)T）。將一級綜合評判結(jié)果與評語等級向量合成即可求出評估分值e(e=BοDT)。 圖312全面的說明了使用二級模糊綜合評判法的教學(xué)質(zhì)量評價體系模型的輸入輸出與處理過程。該模型的輸入有兩部分，一為系統(tǒng)管理員設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)，需要設(shè)置的參數(shù)包括因素集、評語集，權(quán)重，評語等級向量等。二為學(xué)生根據(jù)因素集和評語集來輸入和修改評價數(shù)據(jù)。輸出為綜合評價得分。處理過程為圖示的第五至第九步，可結(jié)合上一章節(jié)的數(shù)學(xué)模型理解，此處不作過多累述。圖31：類似協(xié)作圖的二級模糊綜合評判法的評價模型模糊綜合評判法在計算模型上己經(jīng)比較成熟，實踐中也有了許多應(yīng)用，但是二級模糊綜合評判法并不是完美的，他也有其存在的許多缺點，最突出的是它與簡單平均法一樣，最后的輸出是一個綜合得分值，在綜合得分的計算過程中會丟失許多有用信息。如何找回這些丟失的信息呢?通過分析，很容易發(fā)現(xiàn)，可以將各因素的隸屬度向量和二級評價結(jié)果分別與評語等級向量的轉(zhuǎn)置進(jìn)行合成運算，求出教師在各個因素上的評估分值eij和各因素組上的評估分值ei。計算公式分別為:eij=RijοDT , ei=BiοDT . 本文稱前者為因素得分，后者為二級評價得分。這樣除了提供綜合評分，系統(tǒng)還向教師和教學(xué)管理人員提供了大量的輔助信息。有效的提高了評估方法的實用性。具體可參看以后對上圖的改進(jìn)圖中的A1, A2和A3所示的改進(jìn)思路。要實現(xiàn)評價模型，首先是要確定評判因素集。結(jié)合傳統(tǒng)的操作實踐，在定性分析的基礎(chǔ)上再借助一些定量分析工具(比如可以使用因子分析法或主成分法對評判因素集進(jìn)行科學(xué)的歸類并降維)對評判因素集進(jìn)行科學(xué)的驗證并加以改進(jìn)，可以歸納出一組科學(xué)合理的評判因素。如下就是一組使用比較廣泛的二級共10個二級評判因素構(gòu)成的評判因素集。本文第6章實現(xiàn)的原型系統(tǒng)就是使用這一評判因素集建立的。表31：評判因素集名稱一級評判因素二級評判因素 備注U因素集U1教學(xué)能力（U1）U11教學(xué)目的明確，要求具體(U11)。U12內(nèi)容難易適度，層次分明(U12)。U13以學(xué)生為主體，調(diào)動學(xué)生積極性(U13)。U14重點突出，由例及類，(U14)U2教學(xué)方法（U2）U21啟發(fā)式教學(xué)，教思想，教方法(U21)。U22分解難點，教法靈活(U22) 。U23恰當(dāng)運用教學(xué)輔助手段(U23)U3教學(xué)因素（U3）U31板書工整、規(guī)范(U31)。U32普通話教學(xué)用語準(zhǔn)確、生動形象(U32)。U33德育智育相結(jié)合，既教書，又育人(U33)根據(jù)上表因素，歸結(jié)出各級評判因素為:U={U1，U2，U3}。U1={U11，U12，U13，U14}。 (33)U2={U21，U22，U23}。U3={U31，U32，U33}然后是確定各類參數(shù)。包括權(quán)重、評語等級