【文章內(nèi)容簡介】 5[9]中，用開啟，即，可看作將貼著的下沿從一端滾到另一端。圖(b)給出在開啟中的幾個位置。圖(c)給出開啟操作的結(jié)果。從圖(c)可看出，對所有比的直徑小的山峰其高度和尖銳程度都減弱了。換句話說，當(dāng)貼著的下沿滾動時，中沒有與接觸的部位都落到與接觸。實際中常用開啟操作來消除與結(jié)構(gòu)元素相比尺寸較小的亮細(xì)節(jié)，而保持圖像整體灰度值和大的亮區(qū)域基本不受影響。具體就是第一步的腐蝕去除了小的亮細(xì)節(jié)并同時減弱了圖像亮度，第二步的膨脹增加了圖像亮度但又不重新引入前面去除的細(xì)節(jié)。圖216給出了一個原始灰度圖像為圖215中的原始圖像的開啟和閉合運算的結(jié)果，其中用的結(jié)構(gòu)元素為的菱形結(jié)構(gòu)元素。可以看出開啟運算后的圖像消除了原始圖像中的亮點，整體圖案顯得比原始圖像暗，因為原始圖像中的亮細(xì)節(jié)往往讓人主觀感覺圖像偏亮，所以開啟運算后圖像讓人感覺就暗了很多，而圖像整體灰度值卻沒有受到很大影響，因為開啟 （1）灰度開運算 （2）灰度閉運算圖216 灰度圖像開閉運算仿真結(jié)果運算的第二步會恢復(fù)一些圖像亮度，只是使得整個圖像沒有了亮細(xì)節(jié)；閉合運算后的圖像消除了原始圖像中的暗點，整體圖案由于沒有了這些原來的暗區(qū)域，看起來會比較明亮清楚一些，但人眼往往對暗的細(xì)節(jié)不敏感，所以主觀感覺不是很明顯，但圖像整體的灰度值卻沒有受到很大影響，因為閉合運算的第二步腐蝕還會降低一些灰度，只是使得整個圖像沒有了暗細(xì)節(jié)。 灰度形態(tài)學(xué)開運算和閉運算性質(zhì)灰度膨脹、腐蝕、開啟和閉合四種基本運算的一些性質(zhì)和二值圖像形態(tài)學(xué)運算性質(zhì)相比，有許多相同之處。二值形態(tài)學(xué)中的一些基本運算性質(zhì)，在灰度形態(tài)學(xué)中依然成立，只是二值形態(tài)學(xué)是在集合的層次上，在灰度形態(tài)學(xué)中一律以函數(shù)代替；二值形態(tài)學(xué)用的是集合的交、并和補(bǔ)等集合關(guān)系的運算，在灰度形態(tài)學(xué)中就以函數(shù)的相加、減并取結(jié)果的極大值或極小值的關(guān)系的運算代替；例如開運算的平移不變性可表示為式（254）的形式。 （254）同樣，開運算的遞增性、非擴(kuò)展性和冪等性可表示為式（255）和式（256）的形式。 （255） （256） 軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的運算中，注入了 “順序統(tǒng)計” 。軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可進(jìn)一步分為灰度軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和二值軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。在灰度軟形態(tài)學(xué)的膨脹與腐蝕運算中，圖像f的灰度值與傳統(tǒng)的形態(tài)學(xué)一樣，需要與結(jié)構(gòu)元素的灰度值結(jié)合起來。與結(jié)構(gòu)元素軟邊界對應(yīng)的處理結(jié)果和與結(jié)構(gòu)元素核心(重復(fù)K次)對應(yīng)的結(jié)果按升序或降序排列。該排列表中的第K個元素即為軟數(shù)學(xué)形態(tài)膨脹或腐蝕的結(jié)果。令表示重復(fù)K次，軟灰度結(jié)構(gòu)元素對灰度圖像的軟形態(tài)腐蝕的定義[10]如式（257）所示。 （257）其中，是空間坐標(biāo)，是圖像的灰度值，是灰度結(jié)構(gòu)元素的核心，表示結(jié)構(gòu)元素的軟邊界，分別表示灰度圖像、灰度結(jié)構(gòu)元素的核心、灰度結(jié)構(gòu)元素的軟邊界的定義域，（集合差），其中表示灰度結(jié)構(gòu)元素的定義域。由式（257）可見，軟數(shù)學(xué)形態(tài)膨脹或腐蝕的結(jié)果與結(jié)構(gòu)元素核心重復(fù)的次數(shù)K密切相關(guān)，K=1時，軟化形態(tài)學(xué)退化為標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)學(xué)。所以軟化形態(tài)學(xué)退化為標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)學(xué)。所以軟化形態(tài)學(xué)比標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)學(xué)具有更強(qiáng)的抑制噪聲的能力[11]。 模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)將模糊集合理論用于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)就形成了模糊形態(tài)學(xué)。模糊算子的定義不同，相應(yīng)的模糊形態(tài)運算的定義也不相同[4]。模糊性由結(jié)構(gòu)元素對原圖像的適應(yīng)程度來確定。用有界支撐的模糊結(jié)構(gòu)元素對模糊圖像的腐蝕和膨脹運算按它們的隸屬函數(shù)定義為: （258） （259）其中，代表空間坐標(biāo),，分別代表圖像和結(jié)構(gòu)元素的隸屬函數(shù)。從式（258）和式（259）的結(jié)果可知，經(jīng)模糊形態(tài)腐蝕膨脹運算后的隸屬函數(shù)均落在[0,1]的區(qū)間內(nèi)。模糊形態(tài)學(xué)是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)從二值邏輯向模糊邏輯的推廣，與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)有相似的計算結(jié)果和相似的代數(shù)特性，模糊形態(tài)學(xué)重點研究n維空間目標(biāo)物體的形狀特征和形態(tài)變換，主要應(yīng)用于圖像處理領(lǐng)域，如模糊增強(qiáng)、模糊邊緣檢測、模糊分割等。第3章 形態(tài)學(xué)在圖像處理的基本應(yīng)用 擊中或擊不中變換在圖像分析中，同時探測圖像的內(nèi)部和外部，而不僅僅局限于探測圖像的內(nèi)部或圖像的外部，對于研究圖像中物體與背景之間的關(guān)系，往往會起到很好的效果[12]。一個物體的結(jié)構(gòu)一般可以通過物體內(nèi)部各種成分之間的關(guān)系來確定。為了研究圖像的結(jié)構(gòu)，可以逐步地利用各種成分(如各種結(jié)構(gòu)元素)對其進(jìn)行檢驗，指定哪些成分包括在圖像內(nèi)，哪些成分包括在圖像外，從而最終確定圖像的結(jié)構(gòu)。在前面所述各種變換中，變換原理本質(zhì)上均是基于結(jié)構(gòu)元素是否全部包含在集合或它的補(bǔ)集中，而實際中還存在一些中間狀態(tài)，即結(jié)構(gòu)元素與和均相交。在上述變換中對它們均采取一致的政策而不管相交的結(jié)構(gòu)。然而在實際中，這些相交結(jié)構(gòu)常常會包含豐富的信息。利用擊中擊不中變換即可以提取特定的相交結(jié)構(gòu)信息。擊中擊不中變換就是在一次運算中同時可以捕獲到內(nèi)外標(biāo)記。擊中擊不中變換需要兩個結(jié)構(gòu)元和，這兩個結(jié)構(gòu)元被作為一個結(jié)構(gòu)元素，對，一個用來探測圖像內(nèi)部，另一個用來探測圖像外部，A被B擊中或擊不中變換定義如式（31）所示。變換過程如圖31[7]所示： （31）31 擊中擊不中變換“擊中或擊不中變換”這一名稱基于運算結(jié)果被兩次腐蝕影響的方式。輸出圖像是由所有在中匹配的像素(一個“擊中)和未在中匹配的像素(一個“擊不中)組成。嚴(yán)格地說，擊中和擊不中變換的說法更準(zhǔn)確，擊中或擊不中變換的說法更常用。 細(xì)化和粗化細(xì)化是在圖像中將二值物體和形狀減小為單個像素寬的線。每次細(xì)化操作都會從二值圖像物體的厚度中刪除一個或兩個像素。根據(jù)擊中擊不中變換細(xì)化過程可以定義成如式（32）所示的形式。 （32）關(guān)鍵問題是要應(yīng)用多少次細(xì)化操作。圖32[7]表示了細(xì)化效果。圖32 細(xì)化結(jié)果和細(xì)化相對應(yīng)的是粗化，用B對比進(jìn)行粗化表示為，定義如式（33）所示。 （33） 形態(tài)學(xué)重構(gòu)所謂形態(tài)學(xué)重構(gòu)[5]，就是根據(jù)一幅圖像（稱之為掩模圖像）的特征對另一幅圖像（稱之為標(biāo)記圖像）進(jìn)行重復(fù)膨脹操作，直到該圖像的像素值不再變化為止。形態(tài)學(xué)重構(gòu)是圖像形態(tài)處理的重要操作之一，通常用來強(qiáng)調(diào)圖像中與掩模圖像指定對象相一致的部分，同時忽略圖像中的其他對象。在進(jìn)行形態(tài)學(xué)重構(gòu)時，重點是要選擇一個合適的標(biāo)記圖像，這是因為標(biāo)記圖像進(jìn)行膨脹后要能充分強(qiáng)調(diào)掩模圖像中的主要對象。圖33是用一幅簡單圖像來說明形態(tài)圖像包含兩個主要對象，這兩個對象的像素塊分別由數(shù)值14和18組成，圖像的大部分背景像素值為10，其他為11。圖33 形態(tài)學(xué)重構(gòu)的簡單圖像矩陣要很好地重構(gòu)這幅圖像，可以通過以下兩個步驟實現(xiàn)：（1）首先創(chuàng)建標(biāo)記圖像與腐蝕和膨脹操作中使用的結(jié)構(gòu)元素一樣，標(biāo)記圖像的特征決定了形態(tài)學(xué)重構(gòu)結(jié)果所具有的特征，所以表搜集圖像的峰值應(yīng)該確定掩模圖像中希望強(qiáng)調(diào)對象的位置。一種創(chuàng)建標(biāo)記圖像的方法就是將掩模圖像減去一個常數(shù)。（2）進(jìn)行形態(tài)學(xué)重構(gòu)形態(tài)學(xué)重構(gòu)操作具有很多獨有的特性：（1）形態(tài)學(xué)重構(gòu)處理基于兩幅圖像，一個是標(biāo)記圖像，另一個是掩模圖像，而不僅僅是一幅圖像和一個結(jié)構(gòu)元素。（2）重構(gòu)將一直重復(fù)至圖像穩(wěn)定（即圖像不再變化）；形態(tài)學(xué)重構(gòu)是基于連通性原理，而不是基于結(jié)構(gòu)元素。對圖33重構(gòu)后，如圖34所示，這里的標(biāo)記圖像是用掩模圖像減去一個常數(shù)2。圖34 標(biāo)記圖像的形態(tài)重構(gòu)結(jié)果 形態(tài)學(xué)圖像平滑圖像中的噪聲和邊緣在空間域中都表現(xiàn)為梯度的突變，在頻域中都表現(xiàn)為高頻信息。要準(zhǔn)確的檢測出圖像的邊緣，噪聲的濾除成為了邊緣檢測必不可少的步驟[13]。由于噪聲的濾除直接影響著邊緣檢測的效果，所以進(jìn)行邊緣檢測的關(guān)鍵在于判斷噪聲點與邊緣點。去除噪聲的一般的思想是：先對有噪聲的圖像進(jìn)行噪聲的模糊，也即是先平滑圖像然后進(jìn)行形態(tài)邊緣檢測。實現(xiàn)形態(tài)學(xué)平滑處理的一種途徑是先使用形態(tài)學(xué)進(jìn)行開操作，然后進(jìn)行閉操作。進(jìn)行這兩種操作的最終結(jié)果是除去或減少了亮和暗的因素和噪聲。開運算可以抑制信號中的峰值(正脈沖)噪聲，而形態(tài)閉運算可以抑制信號中的底谷(負(fù)脈沖)噪聲。對于二值圖像，噪聲主要表現(xiàn)為目標(biāo)周圍的噪聲塊和目標(biāo)內(nèi)部的噪聲孔。用結(jié)構(gòu)元素B對集合A進(jìn)行開操作，就可以將目標(biāo)周圍的噪聲塊消除掉。用B對A進(jìn)行閉操作，則可以將目標(biāo)內(nèi)部的噪聲孔消除掉。該方法中，對結(jié)構(gòu)元素的選取進(jìn)行閉操作，則可以將目標(biāo)內(nèi)部的噪聲孔消除掉。該方法中，對結(jié)構(gòu)元素的選取相當(dāng)重要，它應(yīng)當(dāng)比所有的噪聲孔和噪聲塊的尺寸都要大。 （a）原圖像 （b） （c）經(jīng)過開—閉平滑操作后的圖像 （d）經(jīng)過閉—開平滑操作后的圖像圖35 圖像平滑操作仿真結(jié)果對于灰度圖像，用開運算消除與結(jié)構(gòu)元素相比尺寸較小的亮細(xì)節(jié)．而保持圖像整體灰度值和大的亮區(qū)域基本不變。用閉運算消除與結(jié)構(gòu)元素相比尺寸較小的暗細(xì)節(jié)，而保持圖像整體灰度值和大的暗區(qū)域基本不變。將這兩種操作綜合起來可達(dá)到濾除亮區(qū)和暗區(qū)中各類噪聲的效果。同樣，結(jié)構(gòu)元素的選取也是個重要問題。，操作選用的十字形結(jié)構(gòu)元素。從圖中可以看到經(jīng)過一次開操作和閉操作或者是經(jīng)過一次閉操作和開操作，圖像都得到了很好的平滑，但是細(xì)節(jié)上有一些微小的損失，邊緣的清晰度也有所下降，細(xì)節(jié)損失的大小取決于結(jié)構(gòu)元素的形態(tài)和大小。 圖像的骨架化及邊界像素值的測定在某些應(yīng)用中，針對一幅圖像，希望圖像中的所有對象簡化為線條，但不修改圖像的基本結(jié)構(gòu)，保留圖像的基本輪廓，這個過程就是所謂的骨架化操作。(a)原圖像 (b)骨架化效果 (c)邊界像素測定效果圖36 圖像的骨架化及邊界像素測定對于一幅二進(jìn)制灰度圖像，如果圖像的像素值為1，則圖像的狀態(tài)為ON；如果其像素的值為0，則該像素的狀態(tài)為OFF。在一幅圖像中，如果圖像某個像素值滿足以下條件：（1） 該像素狀態(tài)為ON；（2） 該像素領(lǐng)域中有有一個或多個像素狀態(tài)為OFF。則認(rèn)為該像素為邊界像素。圖36顯示了一幅二值圖像的骨架化效果和邊界像素測定效果。其中(a)為原圖像，(b)是骨架化效果，(c)是邊界像素測定效果。第4章 基于形態(tài)學(xué)的圖像邊緣檢測 圖像邊緣的定義圖像的邊緣對人的視覺具有重要意義。邊緣反映了圖像的最基本特征[14]。邊緣是圖像灰度不連續(xù)性的反映，它存在于目標(biāo)與背景、目標(biāo)與目標(biāo)、區(qū)域與區(qū)域、基元與基元之間，包含了圖像的大量信息，反映了物體的特征。因此，邊緣檢測在圖像處理與計算機(jī)視覺中占有特殊的位置，它是是圖像分割、紋理特征提取和形狀特征提取等圖像分析的重要基礎(chǔ)，是底層視覺處理中最重要的環(huán)節(jié)之一。一個好的邊緣檢測算法應(yīng)滿足：檢測精度高；抗噪能力強(qiáng)；計算簡單；易于并行實現(xiàn)。其中最根本的問題是解決檢測精度和抗噪能力間的矛盾。圖像上的邊緣點和以下幾種情況相對應(yīng)：1．空間曲面上的不連續(xù)點。這種邊緣線為兩種不同曲面的交界，在這些邊緣點處物體的法線方向不連續(xù)，即兩側(cè)灰度明顯不連續(xù)；2．邊緣由灰度或材料的不同產(chǎn)生；3．邊緣是物體與背景的分界線；4．邊緣由物體與物體的交界產(chǎn)生，在物體表面上法線的不連續(xù)處；5．邊緣由陰影引起，兩側(cè)灰度值有較大差異。由對圖像的邊緣分析可見，在圖像上灰度不連續(xù)處和變化劇烈處可能存在圖像的邊緣。一般將圖像的邊緣劃分為階躍狀邊緣和屋脊?fàn)钸吘墐煞N。階躍狀邊緣是指邊緣兩側(cè)圖像的灰度值有明顯變化，屋脊?fàn)钸吘壥侵高吘壩挥趫D像灰度增加和減少的交界處。在數(shù)學(xué)上，利用灰度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來描述邊緣點的變化規(guī)律。在邊緣檢測中，常用的方法是尋找圖像灰度函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)局部最大值或是二階導(dǎo)數(shù)局部過零點。利用形態(tài)學(xué)的基本運算是基于集合的觀點，這個集合集中反映了物體的形狀、體積、紋理、色彩等等。如果將客觀實體用圖像來表達(dá)，則集合變換主要是選擇較小的特征圖像集合(即結(jié)構(gòu)元素)，并使之與目標(biāo)圖像相互作用，以達(dá)到圖像分析及特征提取的目的，亦即通過結(jié)構(gòu)元素及形態(tài)學(xué)運算復(fù)合方式的選擇來達(dá)到圖像處理的目的。所以，根據(jù)給定的圖像處理目的，靈活、合理地運用形態(tài)學(xué)運算的要領(lǐng)歸結(jié)為兩點，即運算復(fù)合方式的選擇及結(jié)構(gòu)元素的選擇。 結(jié)構(gòu)元素的確定結(jié)構(gòu)元素是形態(tài)學(xué)的基本算子，合理選取結(jié)構(gòu)元素直接影響圖像處理的效果和質(zhì)量，結(jié)構(gòu)元素的選擇在于結(jié)構(gòu)元素的形狀和尺寸大小如何確定[15]。 結(jié)構(gòu)元素的形狀任何形狀都可以作為結(jié)構(gòu)元素，但在實際應(yīng)用中，只有一定數(shù)量的結(jié)構(gòu)元素可用，通常結(jié)構(gòu)元素的形狀和尺寸必須適合于待處理目標(biāo)圖像的幾何性質(zhì)形狀選擇要注意兩點：（1）結(jié)構(gòu)元素對稱和非對稱性選擇。形態(tài)學(xué)變換通常是利用對稱結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行運算的，當(dāng)結(jié)構(gòu)元素非對稱時運算的結(jié)果一般會產(chǎn)生偏移。例如線段狀結(jié)構(gòu)元素，若它的原點在中點則為對稱結(jié)構(gòu)，若原點在端頭則為非對稱結(jié)構(gòu)。（2）結(jié)構(gòu)元素形狀的選擇。結(jié)構(gòu)元素可以為圓盤形、正方形、菱形、六邊形、線段形等。圓盤形結(jié)構(gòu)元素由于各向同性，因此可以得到與方向無關(guān)的運算結(jié)果。正方形、菱形、六邊形可以看作是圓盤形的變異，線段形結(jié)構(gòu)元素可以用來去除或提取較長的圖像結(jié)構(gòu)，不同形狀的結(jié)構(gòu)元素運算結(jié)果會有差異，應(yīng)針對待處理圖像的幾何形狀進(jìn)行選擇。 結(jié)構(gòu)元素的尺寸當(dāng)確定了結(jié)構(gòu)元素的形狀后，結(jié)構(gòu)元素的尺寸是至關(guān)重要的。當(dāng)結(jié)構(gòu)元素尺寸太小時，閉運算不能實現(xiàn)裂口較大的斷裂邊緣連接，作開運算時不能實現(xiàn)較大凸起與粘連的去除。當(dāng)結(jié)構(gòu)元素尺寸太大時，閉運算時目標(biāo)之間會互相干擾造成過度粘連，開運算時會造成假斷裂。結(jié)構(gòu)元素尺寸的計算是一個重要問題。設(shè)結(jié)構(gòu)元素可以分解為小結(jié)構(gòu)元素對小結(jié)構(gòu)元素的膨脹，即，則式（218）可以表示為如式（41）的形式。 （41）由式（41）可以得出： （42）若將式（42）中的2次腐蝕膨脹擴(kuò)展為K次，則 （43）因此開運算就轉(zhuǎn)換成不斷使用小結(jié)構(gòu)元素S腐蝕原圖像，再依次用小結(jié)構(gòu)元素S膨脹。結(jié)構(gòu)元素尺寸的選擇就轉(zhuǎn)化為如何選擇小結(jié)構(gòu)元素尺寸和腐蝕的次數(shù)問題。同理，閉運算結(jié)構(gòu)元素尺度的選擇就轉(zhuǎn)化為如何選擇小結(jié)構(gòu)元素尺寸和膨脹的次數(shù)問題。有如式（44）的計算公式： （44）其中，R為結(jié)構(gòu)元素尺寸，r為小結(jié)構(gòu)原素尺寸，k為膨脹或腐蝕的次數(shù)。 形態(tài)學(xué)算法和傳統(tǒng)算法的邊緣檢測比較傳統(tǒng)的圖像邊緣檢測方法大多可歸結(jié)為圖像高頻分量的增強(qiáng)過程[1