【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 平穩(wěn)的，那么這里就出現(xiàn)非常大的弊端，因?yàn)樗鼤r(shí)間的長(zhǎng)短將會(huì)影響的時(shí)頻分辨率, 而為了讓其提高還得需要采用較長(zhǎng)的時(shí)間去觀察，那么其將會(huì)與短時(shí)平穩(wěn)條件相矛盾，導(dǎo)致信號(hào)在時(shí)間與頻率上出現(xiàn)模模糊糊的狀況。而維格納威利時(shí)頻轉(zhuǎn)換卻是一種完全能夠解決這類問題的時(shí)頻聯(lián)合表達(dá)信號(hào)特征的方式。. 信號(hào)的WignerVille分布定義 (1)信號(hào)s(t)的WignerVille 分布的定義： () 式中：z(t)是s(t)的解析信號(hào)。如果式(1)對(duì)把s(t)替換成z(t)，那么得到的時(shí)頻分布是Wigner 分布，但是其不會(huì)被不經(jīng)常使用到。 (2)WignerVille時(shí)頻分布用解析信號(hào)表達(dá)的頻譜公式表示如下： ()(3)離散WV D分布定義： ()式中為離散解析信號(hào)。維納利分布不但能有效地體現(xiàn)信號(hào)的能量隨時(shí)間和頻率的變化, 而且可以通過其來求出瞬時(shí)頻率。不妨證明，WVD的一階矩和信號(hào)的瞬時(shí)頻率成正比關(guān)系。設(shè)有一個(gè)離散信號(hào)為，則其離散序列的頻率為： （）式中:為采樣頻率，離散維格納威利分布一有K個(gè)頻率分布（可表達(dá)為N K 的矩陣)；是離散維格納威利分布的一階矩。. WignerVille分布的性質(zhì) WignerVille分布具有以下重要的性質(zhì)：（1） 對(duì)于所有的t和f值是實(shí)的；（2） 具有時(shí)移不變性： （3） 具有頻移不變性： （4） 滿足時(shí)間邊緣特性： （5） 具有頻率邊緣特性： 當(dāng)分析多個(gè)分量的信號(hào)和NSRS的時(shí)候，對(duì)其作時(shí)頻分布轉(zhuǎn)換會(huì)在多分量信號(hào)的地方產(chǎn)生互分布就是交叉項(xiàng)，在圖像上呈現(xiàn)的虛假信號(hào)，從而給信號(hào)的時(shí)頻分布分析造成一定的干擾。對(duì)于任意一個(gè)多分量信號(hào)，二次型時(shí)頻分布必會(huì)然產(chǎn)生一個(gè)交叉項(xiàng)，設(shè)有n個(gè) 分量信號(hào)，可以得到多個(gè)分量信號(hào)的維格納威利分布: （）公式中，表示第k分量與第j分量之間的互WVD，即交叉項(xiàng)。維格納威利分布的交叉項(xiàng)主要發(fā)生在在兩個(gè)分量的幾何中心處和連接這兩點(diǎn)的直線上面。為此，學(xué)者們于維格納威利的基礎(chǔ)上又提議能夠抑制交叉項(xiàng)的時(shí)頻分析方法。 WignerVille 分布的改進(jìn) 信號(hào)及其頻譜只在某個(gè)時(shí)間范圍和頻率范圍內(nèi)非零，則稱信號(hào)及其頻譜是有限支撐的。假如信號(hào)的時(shí)頻分布在信號(hào)以及其頻譜的總支撐區(qū)域外面也等于零，那么它就是有限支撐的。交叉項(xiàng)能夠一直出現(xiàn)在于信號(hào)的周圍，抑制交叉項(xiàng)，即使時(shí)頻分布的支撐區(qū)域內(nèi)外交叉項(xiàng)等于零，主要是利用增加對(duì)核函數(shù)約束條件的方法來達(dá)成。對(duì)信號(hào)進(jìn)行平滑技術(shù)的濾波過程，可以減少交叉項(xiàng)對(duì)真實(shí)信號(hào)的干擾程度，但是平滑處理會(huì)喪失維格納威利分布的許多比較有用的特性，減小自項(xiàng)，信號(hào)項(xiàng)其時(shí)頻凝聚性也會(huì)在一定程度減小并且也不會(huì)全部解除它的交叉項(xiàng)，因此必須對(duì)核函數(shù)的范圍與形狀進(jìn)行合理篩選。下面我們介紹了兩種基于WVD分布的改進(jìn)型分布： （1）偽 WignerVille 分布（PWVD） 對(duì)于式（1），的取值范圍為，實(shí)際中無法滿足，且為解決 WVD的雙線性產(chǎn)生交叉項(xiàng)問題，對(duì) WVD 在頻域進(jìn)行平滑。當(dāng)核函數(shù)只是對(duì)加窗來截取從而完成減小交叉項(xiàng)的目的，這就是 偽WVD變換： （） （2）平滑偽 WignerVille 分布（SPWVD） 對(duì)變量t與變量的方向同時(shí)經(jīng)過加窗截取處理，這樣可以將這兩個(gè)t、方向上的交叉項(xiàng)平滑掉，得到平滑偽 PWVD，這就是 SPWVD變換： （）上式中，與分別是2個(gè)實(shí)偶窗函數(shù)，同時(shí)。為了直觀說明 WVD 分布及其改進(jìn)分布的性能，現(xiàn)對(duì)常見信號(hào)的 WVD 分布、PWVD 分布和 SPWVD 分布進(jìn)行仿真。圖31 LFM信號(hào)WVD、PWVD、SPWVD變換產(chǎn)生的時(shí)頻分布圖32 頻率編碼信號(hào)WVD、PWVD、SPWVD變換后的時(shí)頻分布 由以上圖31可知，WVD 分布高度集中在時(shí)頻平面圖上，具有較好的時(shí)頻聚集特性，能夠擁有較高的時(shí)間與頻率的分辨率，尤其是識(shí)別性能在線性調(diào)頻信號(hào)上體現(xiàn)效果的更加地好。但是出現(xiàn)了頻譜擴(kuò)展，有交叉項(xiàng)存在，而PWVD 和 SPWVD 對(duì)信號(hào)分析性能有較大的改善，邊緣更加光滑，雜項(xiàng)較少。PWVD 轉(zhuǎn)換不僅減少頻率分辨率，并且交叉項(xiàng)抑制效果又不如 SPWVD 分布，SPWVD 通過時(shí)域的平滑過程，達(dá)到的抑制交叉項(xiàng)的效果最好。從圖32可以看到，在對(duì)頻率編碼信號(hào)進(jìn)行 WVD 分析和 PWVD 分析之后，在兩個(gè)頻率直接出現(xiàn)了第三個(gè)頻率分量，出現(xiàn)了虛信號(hào)，影響了分析效果，這大部分因素是由時(shí)頻分布其二次型造成的交叉項(xiàng)而導(dǎo)致的，頻率編碼信號(hào)經(jīng)過 SPWVD 分析之后，清除了虛假頻率信息，進(jìn)而抑制了它。4. PCA原理. PCA概念 PCA全稱主成分分析（Principal Component Analysis，PCA），又稱主元分析、KL變換（KarhunenLoeve Transform），對(duì)于它的研究可以追溯到1901年，由皮爾森首次提出，而主成分分析的概念是由霍特林總結(jié)出來?；籼亓謱?duì)PCA的定義如下:對(duì)一個(gè)d維度的觀察向量序列,，PCA降維的目的就是要獲得q個(gè)正交的主方向，讓在q個(gè)主方向上投影后的方差最大。圖41所示就是PCS降維的簡(jiǎn)單示例，圖中圓的所組成的直線表示第一主成分，把三角形表示的矩陣往主成分上投影就是矩陣從二維至一維的最佳降維。 主成分分析示例 假定要觀測(cè)的指標(biāo)共有p個(gè)，分別是，顯然有非常多的方法將這些指標(biāo)結(jié)合成為一個(gè)綜合指標(biāo)，但將這些指標(biāo)用線性組合的方法綜合起來就是最簡(jiǎn)單的方法了。因此，可設(shè)定其綜合指標(biāo)的表達(dá)形式是這些指標(biāo)的線性組合，那么就有: （）很明顯，因?yàn)楦鹘M合的各個(gè)系數(shù)不相等，于是可以得到不相等的綜合指標(biāo)。綜合指標(biāo)可以有多個(gè)，所以需要去主成少數(shù)幾個(gè)來代替原始指標(biāo)。要防止它們發(fā)生重迭，還得約束綜合指標(biāo)間必須是不相關(guān)的。少數(shù)指標(biāo)可以將原始指標(biāo)的變動(dòng)情況傳達(dá)出來。其中能夠傳達(dá)變動(dòng)程度最大的那個(gè)指標(biāo)是最主要的，就稱之為第一主成分；而能夠能夠傳達(dá)其變動(dòng)程度次大的那個(gè)指標(biāo)，就稱之為第二主成分；就這樣一直下去，即能夠能夠傳達(dá)其變動(dòng)程度第k大的那個(gè)指標(biāo)，就稱之為第k主成分。各個(gè)原始觀測(cè)變量的方差反映了各個(gè)原始觀測(cè)指標(biāo)的變動(dòng)程度，而各個(gè)綜合指標(biāo)作為原始觀測(cè)變量的線性組合，其方差的大小就取決于這些原始觀測(cè)變量各自的方差和它們之間的協(xié)方差。由上可得，主成分可以依據(jù)方差來來求得。設(shè)想有p個(gè)向量為 ，它的均值向量是，他們的協(xié)方差矩陣是，那么對(duì)于第i個(gè)向量其方差為其協(xié)方差矩陣主對(duì)角線上相應(yīng)的元素，而總方差是，總方差可以體現(xiàn)出總體上的變化。某一個(gè)線性組合為：，那么它的方差是： （）假如定義原始觀測(cè)變量對(duì)應(yīng)的第一主成分是，第二主成分是,……，第k主成分是，那么就有： （）并且有：。. 主成分的計(jì)算. 第一主成分的計(jì)算由PCA的概念我們可以知道，若想求得這p個(gè)原始指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的第一主成分，就應(yīng)該想辦法去尋求使得取得最大值時(shí)的那個(gè)指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的本征向量組合。由于是向量的增函數(shù)c，也就是說對(duì)于給出的任意一個(gè)常數(shù)，它都會(huì)有，由此如果不對(duì)給予限制，想使得取得最大，應(yīng)該取無窮大，這樣會(huì)致使這個(gè)問題毫無意義可言了。因而，通常要是將線性組合對(duì)應(yīng)的系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化也就是單位化，令，因而第一主成分的題目轉(zhuǎn)變成在的條件之下，要使得取得最大的向量的題目，即： （）我們可以得到的函數(shù)是： （）由于它是線性的，微分取零可得： （）由前p個(gè)方程，可以得到： （）從的約束條件可以得知，因此存在非零解。由我們大一所學(xué)的數(shù)學(xué)的知識(shí)可以知道，這時(shí)方程組對(duì)應(yīng)的,其行列式為0： （） 將前p個(gè)方程式所組成的向量與一個(gè)行向量相成得出的結(jié)果為： （）因?yàn)樵诩s束條件中規(guī)定，所以必定有： （）因而，如果要使得取得最大值，的取值也就要盡可能的偏大： （）同時(shí)對(duì)應(yīng)的本征向量： （）就應(yīng)當(dāng)是最大主成分相應(yīng)的本征向量，即最大主成分是: （）. 第k個(gè)主成分的計(jì)算 如果只用最大主成分作為特征也許會(huì)造成特征提取的不足，為了這種情況的發(fā)生還須要再計(jì)算第二大主成分。這樣下去，假如前(k1)大主成分還未能足作為信號(hào)的指紋特征是，這就須要再求出第k大主成分了。在的情況下下，求出使得的最大的。這個(gè)問題就是： （） （）微分并令其為0，可推出： （）由此易知一定是的特征根，從函數(shù)可以知到其應(yīng)該為協(xié)差陣對(duì)應(yīng)的第k個(gè)征根的值，的就是與第k個(gè)主成分的相應(yīng)系數(shù)向量，其方差值就是這個(gè)的值。事實(shí)上，因?yàn)槭欠秦?fù)矩陣，所以，可以算出與之相對(duì)應(yīng)的主成分。這里假如定義出主成分向量分別為，本征向量分別為所構(gòu)成出A，即： （）然后我們可以得出主成分就是： （）如此，可以求出所有的主成分。. 樣本主成分 在實(shí)際試驗(yàn)中，總體的協(xié)方差矩陣常常都是不可能知道的，所以要實(shí)行主成分分析那就必須以樣本為出發(fā)點(diǎn)。假定來自原始變量的不同樣本所組成的數(shù)據(jù)觀測(cè)矩陣為: （）那么可先計(jì)以計(jì)算各樣本變量的均值為和方差是，然后對(duì)樣本觀測(cè)的數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行中心化變換或者標(biāo)準(zhǔn)化變換，用其變換后的得到數(shù)據(jù)矩陣來計(jì)算出樣本協(xié)方差矩陣是： （） 在利用該方法得出相應(yīng)的各主成分之后，如果我們分別把樣本里的每一個(gè)個(gè)體所對(duì)應(yīng)的值代入其對(duì)應(yīng)的公式中，這樣就可以得出每一個(gè)個(gè)體在每個(gè)主成分上與之相對(duì)應(yīng)的數(shù)值，這里我們可以稱之為每個(gè)個(gè)體的主成分貢獻(xiàn)。其中要得出其貢獻(xiàn)而采取的變量數(shù)據(jù)，絕對(duì)不是來自于原始的觀測(cè)數(shù)據(jù)，而應(yīng)該是要和在計(jì)算中要采用的變量數(shù)據(jù)保持一致?？偠灾?，主成分假如是依據(jù)樣本的協(xié)方差矩陣的方法