【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：試畫(huà)出系統(tǒng)的根軌跡圖，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。解：由題得開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：和開(kāi)環(huán)零點(diǎn)：分離、會(huì)合點(diǎn)：從平面的零點(diǎn)、極點(diǎn)分布可知在區(qū)間內(nèi)可能有分離、會(huì)合點(diǎn)。記由，可得經(jīng)整理后得到用試探法或程序算得區(qū)間內(nèi)的一個(gè)根為，它就是實(shí)軸上的分離點(diǎn)。根軌跡自復(fù)數(shù)極點(diǎn)的出射角：根軌跡趨向復(fù)數(shù)零點(diǎn)的入射角：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為令，可得由第二式得，代入第一式，得 解得根據(jù)以上數(shù)據(jù)畫(huà)根軌跡圖，如圖46a所示。 圖46a 根軌跡圖再分析系統(tǒng)得穩(wěn)定情況：根軌跡與虛軸第一個(gè)交點(diǎn)的頻率為 ，利用幅值條件可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)的增益同樣可以算得與和對(duì)應(yīng)的增益參看根軌跡圖可知：系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的取值范圍為：或47 已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：的變化范圍是，試畫(huà)出系統(tǒng)的根軌跡圖。解：按下列步驟繪制根軌跡：①系統(tǒng)沒(méi)有開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)；開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為②實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為③根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為 ④分離點(diǎn)方程為 解得分離點(diǎn)閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如下圖47a所示 圖47a48 已知反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：試畫(huà)出和同時(shí)變化的根軌跡簇。解：（1）列寫(xiě)閉環(huán)特征方程。閉環(huán)特征方程為（2）畫(huà)，從到的根軌跡。時(shí)閉環(huán)特征方程為。這相當(dāng)于一個(gè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為的系統(tǒng)。它的根軌跡是與虛軸重合的直線。見(jiàn)圖48a中由圓圈構(gòu)成的根軌跡。（3）畫(huà)為常數(shù)，從到的根軌跡。給定，則閉環(huán)特征方程為它相當(dāng)于一個(gè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為的系統(tǒng)，該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為，開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為。圖48a中不帶圓圈的根軌跡是時(shí)的根軌跡。 圖48a49 已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：的變化范圍是，試畫(huà)出系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 即有等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，變化范圍為按照繪制常規(guī)根軌跡的基本法則確定根軌跡的各項(xiàng)參數(shù)：（1）等效系統(tǒng)無(wú)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)；開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為：（2）實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為（3）根軌跡有3條漸近線，且（4）根軌跡的分離點(diǎn)：由分離點(diǎn)方程 解得（5）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：根據(jù)閉環(huán)特征方程列寫(xiě)勞斯表如下： 當(dāng)時(shí)，勞斯表的行元素全為零，輔助方程為解得繪制系統(tǒng)參數(shù)根軌跡如圖49a所示 圖49a410 已知反饋控制系統(tǒng)中，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：(1) 繪制時(shí)的閉環(huán)根軌跡概略圖；(2) 繪制時(shí)的閉環(huán)根軌跡概略圖；(3) 比較開(kāi)環(huán)零點(diǎn)變化對(duì)根軌跡形狀的影響。解：（1）開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)按下列步驟繪制根軌跡：①系統(tǒng)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)為；開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為，②實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為③根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如下圖410a所示 圖410a根軌跡圖（2）開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)按下列步驟繪制根軌跡：①系統(tǒng)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)為，；開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為，，②實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為 和 ③根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如下圖410b所示 圖410b根軌跡圖411 給定控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：試作出以為參變量的根軌跡，并利用根軌跡分取何值時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。解：（1）求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程并化成標(biāo)準(zhǔn)的形式。因?yàn)榭勺儏?shù)不是分子多項(xiàng)式的相乘因子，所以先求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可改寫(xiě)為則開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為（2）根據(jù)作系統(tǒng)的根軌跡。中的增益為負(fù)值，所以要作系統(tǒng)的補(bǔ)根軌跡。開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為和，開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為。按照補(bǔ)根軌跡的作圖規(guī)則，實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為和。在 區(qū)間有會(huì)合點(diǎn)，在有分離點(diǎn)。為求分離、會(huì)合點(diǎn)，將閉環(huán)特征方程改寫(xiě)為由，得，解得，分別對(duì)應(yīng)的增益為和，所以是分離、會(huì)合點(diǎn)?？梢宰C明，不在實(shí)軸上的根軌跡是一個(gè)圓，圓心在，半徑為。以為參變量的根軌跡如圖411a所示， 圖411a圖中箭頭表示從到的方向，也即從到的方向。（3）求使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的取值范圍。首先求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。由閉環(huán)特征方程可知，時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，這相當(dāng)于，所以使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍為。412 實(shí)系參數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)為：欲使的根均為實(shí)數(shù)，試確定參數(shù)的范圍。解：對(duì)作等效變換得等效開(kāi)環(huán)函數(shù)為當(dāng)時(shí)，需繪制常規(guī)根軌跡：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)為；開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為，實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為和根軌跡有2條漸近線，且；由分離點(diǎn)方程在實(shí)軸區(qū)間內(nèi)用試探法求得。繪制根軌跡圖，如圖412a所示。當(dāng)時(shí)，需繪制零度根軌跡。實(shí)軸上，零度根軌跡區(qū)間為(∞,3]，[2,1]和[0,+∞]。作零度根軌跡圖，如圖412b所示。當(dāng)多項(xiàng)式有根時(shí)，根據(jù)模值條件得根據(jù)常規(guī)根軌跡圖，知當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的根皆為實(shí)數(shù)；根據(jù)零度根軌跡圖，知當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的根亦全為實(shí)數(shù)。因此所求參數(shù)的范圍為。 圖412a 常規(guī)根軌跡 圖412b 零度根軌跡413 設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：(1) 大致畫(huà)出系統(tǒng)的根軌跡圖；(2) 用文字說(shuō)明當(dāng)時(shí)，如何求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量，峰值時(shí)間及調(diào)節(jié)時(shí)間。解：（1）繪根軌跡圖漸近線：分離點(diǎn)：由，得相應(yīng)的根軌跡增益根軌跡與虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程列勞斯表當(dāng)時(shí)，勞斯表出現(xiàn)全零行，由輔助方程得根軌跡與虛軸交點(diǎn)處為根軌跡圖如下圖413a所示： 圖413a（2）求動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)，閉環(huán)有兩個(gè)實(shí)主導(dǎo)極點(diǎn)和，且，因此求得調(diào)節(jié)時(shí)間如下：當(dāng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)，則由于因此 414 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：試畫(huà)出系統(tǒng)根軌跡圖，并求出系統(tǒng)具有最小阻尼比時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的增益。解：系統(tǒng)在實(shí)軸上的根軌跡區(qū)域?yàn)楹驮谶@兩段區(qū)域內(nèi)，均存在分離點(diǎn)。為了求出分離點(diǎn)，令求出 因而復(fù)數(shù)根軌跡是以為圓心，為半徑的一個(gè)圓，如圖414a所示 圖414a在圖上，過(guò)原點(diǎn)作圓得切線，得最小阻尼比線。由根軌跡圖知，對(duì)于等腰直角三角形，必有，故最小阻尼比響應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)由根軌跡模值條件，可求出相應(yīng)的增益為415 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：試按照步驟作出時(shí)的根軌跡圖。解：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：根軌跡在實(shí)軸上的區(qū)間根軌跡的漸近線分離點(diǎn)： 即 整理得 為了求取分離點(diǎn)方程的根，將上式表示為令等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為其中。若令從變到，其根軌跡如圖415a所示。圖中，漸近線圖415a；分離點(diǎn)。在圖上，試探，檢驗(yàn)?zāi)Ｖ禇l件 故符合要求，故為分離點(diǎn)方程的一個(gè)根。利用綜合除法，有求得分離點(diǎn)分離角為根軌跡的起始角根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為列勞斯表顯然，當(dāng)時(shí)，根軌跡和虛軸相交，由輔助方程 求得交點(diǎn)處根據(jù)以上步驟，繪制系統(tǒng)根軌跡圖415b 圖415b 根軌跡圖416 設(shè)某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：(1) 繪制從時(shí)系統(tǒng)的根軌跡圖；(2) 求系統(tǒng)階躍響應(yīng)中含有時(shí)的值范圍，其中；(3) 求系統(tǒng)有一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為時(shí)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解：繪制根軌跡圖閉環(huán)特征方程為 寫(xiě)成根軌跡方程形式為： 令等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為實(shí)軸上根軌跡：分離點(diǎn)：由求得與虛軸交點(diǎn)：列勞斯表顯然，當(dāng)時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定，由輔助方程并代入，解出交點(diǎn)處分離點(diǎn)處根軌跡增益：由模值條件得：繪出系統(tǒng)根軌跡如圖416a所示 圖416a（2）求值范圍當(dāng)系統(tǒng)階躍響應(yīng)含有分量時(shí)，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)有一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛極點(diǎn)，值范圍為（3）求閉環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)具有閉環(huán)極點(diǎn)時(shí)，由模值條件，其對(duì)應(yīng)的值為于是 閉環(huán)傳遞函數(shù)為 51 設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)傳遞函數(shù)為，試根據(jù)頻率特性的定義證明，輸入為余弦函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為解：由題目可得對(duì)等式兩邊同時(shí)進(jìn)行拉氏變換可得由于系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，所以不存在正實(shí)部的極點(diǎn)。假設(shè)可表示為如下表達(dá)式由以上分析可得，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為對(duì)上述閉環(huán)傳遞函數(shù)作如下分解對(duì)上式等式兩邊進(jìn)行拉氏反變換可得由系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的定義可得利用留數(shù)法確定待定的系數(shù)所以可得 52 若系統(tǒng)階躍響應(yīng)為：試確定系統(tǒng)頻率特性解：?jiǎn)挝浑A躍輸入信號(hào)的拉氏變換為系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為將代入傳遞函數(shù)可得 53 設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖51所示，試確定輸入信號(hào)圖51 習(xí)題53控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：如圖51所示，系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為其幅頻特性和相頻特性分別為當(dāng)時(shí) 54已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)； 試分析并繪制和情況下的概略幅相曲線。解：由題可知，系統(tǒng)的頻率特性如下 由于系統(tǒng)，所以開(kāi)環(huán)幅相曲線要用虛線補(bǔ)畫(huà)的半徑為無(wú)窮大的圓弧 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，又由于，所以有當(dāng)時(shí)，開(kāi)環(huán)幅相曲線始終處于第三象限，如圖54a所示；當(dāng)時(shí)，開(kāi)環(huán)幅相曲線始終處于第二象限，如圖54b所示。 圖54a開(kāi)環(huán)幅相曲線 圖54b開(kāi)環(huán)幅相曲線 55 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試分別繪制時(shí)系統(tǒng)的概略開(kāi)環(huán)幅相曲線。解：由題目可知，系統(tǒng)的頻率特性如下 當(dāng)時(shí)，開(kāi)環(huán)幅相曲線要用虛線補(bǔ)畫(huà)的半徑為無(wú)窮大的圓弧。若，則若，則由以上分析可知，系統(tǒng)概略開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖55a所示。當(dāng)時(shí)，開(kāi)環(huán)幅相曲線要用虛線補(bǔ)畫(huà)的半徑為無(wú)窮大的圓弧。若，則若，則由以上分析可知，系統(tǒng)概略開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖55a所示。當(dāng)時(shí)，開(kāi)環(huán)幅相曲線要用虛線補(bǔ)畫(huà)的半徑為無(wú)窮大的圓弧。若，則若，則由以上分析可知，系統(tǒng)概略開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖55a所示。當(dāng)時(shí)，開(kāi)環(huán)幅相曲線要用虛線補(bǔ)畫(huà)的半徑為無(wú)窮大的圓弧。若，則若，則由以上分析可知，系統(tǒng)概略開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖55a所示。圖55a系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相曲線56已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試分別計(jì)算和時(shí)，開(kāi)環(huán)頻率特性的幅值和相位。解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性表達(dá)式如下當(dāng)時(shí)此時(shí)當(dāng)時(shí)此時(shí)57 繪制下列傳遞函數(shù)的對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線a． 圖27a對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線b． 圖27b對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線 c． 圖27c對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線d．