初高中銜接教材自己修訂版資料(編輯修改稿)
2025-07-23 09:06 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 (4) 2．解下列不等式：(1) (2) (3) (4) 3．解下列不等式：(1) (2) 4．解關(guān)于的不等式． 5．已知關(guān)于的不等式的解是一切實數(shù)，求的取值范圍．6．若不等式的解是，求的值．7．取何值時，代數(shù)式的值不小于0？ (a為常數(shù))在－2≤x≤1上的最小值為n，試將n用a表示出來．＋2x＋1－a2≤0（a為常數(shù)）．． 第四節(jié) 一元二次方程及韋達定理一、知識點我們知道，對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以將其變形為 ． ①因為a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）當(dāng)b2－4ac＞0時，方程①的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根 x1，2＝；（2）當(dāng)b2－4ac＝0時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根 x1＝x2＝－；（3）當(dāng)b2－4ac＜0時，方程①的右端是一個負(fù)數(shù)，而方程①的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒有實數(shù)根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情況可以由b2－4ac來判定，我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判別式，通常用符號“Δ”來表示．綜上所述，對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有（1） 當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根 x1，2＝；（2）當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根 x1＝x2＝－；（3）當(dāng)Δ＜0時，方程沒有實數(shù)根．注：(1)使用判別式時要保證二次項系數(shù)；(2)一元二次方程有實數(shù)根；(3)二次三項式為完全平方式；(4)二次三項式 恒正 或 ；（韋達定理）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個實數(shù)根 ，則有 ； ． 所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系： 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根分別是x1，x2，那么x1＋x 2＝，x1x2＝．這一關(guān)系也被稱為韋達定理． 特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其兩根，由韋達定理可知 x1＋x 2＝－p，x1x2＝q， 即 p＝－(x1＋x 2)，q＝x1x2， 所以，方程x2＋px＋q＝0可化為 x2－(x1＋x 2)x＋x1x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x 2)x＋x1x2＝0．因此有 以兩個數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x2－(x1＋x 2)x＋x1x2＝0．二、例題講解（其中a為常數(shù)）（1） （2）（3） （4）x2－2x＋a＝0． 練習(xí)：，直線與拋物線，①有兩個交點； ②有一個交點； ③無交點；2. 若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等實數(shù)根，求的范圍；，多項式是一個完全平方式；，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)；例3. 二次函數(shù) 與軸交于A、B兩點，求的最小值；練習(xí)：求二次函數(shù)與直線截得弦長的最小值；例4：已知：實數(shù)、滿足，求的范圍；例5：設(shè)是不小于的實數(shù)，使得關(guān)于的方程有兩個不相等的實根、(1)若，求的值； (2)求的最大值；例6：關(guān)于的一元二次方程， (1)兩根同號，求的范圍； (2)兩根異號，求的范圍；例7：是否存在常數(shù)，使關(guān)于的方程的兩個實根、滿足，如果存在，試求出所有滿足條件的值，如果不存在，請說明理由。拓展練習(xí):1．若是方程的兩個根，則的值為( )A． B． C． D．2．若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是( )A． B． C． D．大小關(guān)系不能確定3．若關(guān)于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是 （ ） A． m＜ ＞－ C．m＜，且m≠0 D .m＞－，且m≠0 4．設(shè)是方程的兩實根，是關(guān)于的方程的兩實根，則= ___ __ ，= _ ____ ．5．已知實數(shù)滿足，則= ___ __ ，= _____ ，= _____ ．6．已知關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根的平方和等于11，求證：關(guān)于的方程有實數(shù)根．7．若是關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根，且都大于1．(1) 求實數(shù)的取值范圍；(2) 若，求的值．第五節(jié) 一元二次方程實根分布問題 一元二次方程實根的分布情況有很多，常見的有6種，見下表。表中的圖像是的圖像，是方程的根。根的
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