【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 為一個(gè)常數(shù)。 由模擬濾波器的幅度平方設(shè)計(jì)方法可以知道： (22)其中，G(S) 為高斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。由函數(shù) 的泰勒展開式： (23)將式 (22) 展開，可得如下： (24)其中 為高斯逼近濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。而由泰勒展開式可知，展開式的階數(shù)越大，展開式就越接近原函數(shù)。特別地，以 時(shí)為例，可以求出式 (35) 的極點(diǎn)，則可得到下式： (25)一般而言，對(duì)于任意的 ，可以通過(guò)上述方法，得到逼近濾波器階數(shù)與極點(diǎn)的關(guān)系。再根據(jù)逼近精度的要求，選擇合適的逼近濾波器階數(shù)，用查表法確定極點(diǎn)，就可以確定濾波器結(jié)構(gòu)，便于濾波器的設(shè)計(jì)[1]。圖 21 高斯濾波器與各階有理逼近濾波器的幅頻特性本小節(jié)主要采用歸一化的方法進(jìn)行討論，由數(shù)學(xué)中的中心極限定理，可以得到高斯逼近濾波器頻域的通用表達(dá)式如下： (26)當(dāng) 時(shí)， 即為高斯濾波器，它的極限表示形式為： (27)高斯濾波器是可以通過(guò)多級(jí)巴特沃思濾波器的級(jí)聯(lián)來(lái)逼近實(shí)現(xiàn)的，于是這樣子就把高斯濾波器的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化成我們非常非常熟悉的巴特沃思濾波器設(shè)計(jì)。而且伴隨著級(jí)聯(lián)級(jí)數(shù)的增加，將提高高斯濾波器的逼近精度?，F(xiàn)在以 為例子來(lái)說(shuō)明如何進(jìn)行逼近濾波器的設(shè)計(jì)，它是由 8個(gè)最基本環(huán)節(jié)級(jí)聯(lián)結(jié)而成的，每個(gè)基本環(huán)節(jié)如下： (28)其實(shí)，這是一階幅度平方函數(shù)，可由模擬濾波器幅度平方設(shè)計(jì)方法得到： (29)注意到 濾波器的幅頻特性為: (210)這樣子的 濾波器經(jīng)過(guò)了 8 級(jí)級(jí)聯(lián)就構(gòu)成了八級(jí)模擬高斯逼近濾波器 ，該方法易于實(shí)現(xiàn)。圖 22 高斯濾波器和各級(jí)巴特沃思逼近濾波器的幅頻特性 高斯濾波建立中線方法在測(cè)量實(shí)際表面的法向截面上評(píng)定表面粗糙度參數(shù)時(shí)，常常需要規(guī)定一條定量的基準(zhǔn)線，作為計(jì)算粗糙度基礎(chǔ)，即評(píng)定基準(zhǔn)制。現(xiàn)有中線制和包絡(luò)線制兩種評(píng)定基準(zhǔn)制。傳統(tǒng)建立工件的中線的方法有最小二乘中線法和 濾波中線法。因?yàn)槎叩娜秉c(diǎn)，現(xiàn)在已被淘汰。國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO11562 已經(jīng)明確規(guī)定使用高斯濾波器作為建立表面輪廓基準(zhǔn)線的濾波器，并且明確了高斯濾波的權(quán)函數(shù)為： (211)其中 是一個(gè)常量，當(dāng) 時(shí)，要求高斯濾波器的傳輸值為 50%，所以 =。高斯濾波中線其實(shí)就是表面輪廓信號(hào)經(jīng)過(guò)高斯濾波器濾波后所得到的中線。可以設(shè)表面輪廓信號(hào)為 ，經(jīng)過(guò)高斯濾波器濾波得到的濾波中線為 ，那么計(jì)算的過(guò)程如下： (212)圖 23 濾波中線的建立方法 本章小結(jié)本章對(duì)高斯濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)方法進(jìn)行了研討，講述了高斯濾波器的2種實(shí)現(xiàn)方法，分別為有理函數(shù)逼近法和巴特沃思型模擬高斯逼近濾波器，并且還給出了高斯濾波建立物件表面中線的方法。通過(guò)本章的介紹，可以對(duì)高斯濾波器的基本理論和設(shè)計(jì)方法有初步的了解，并為后面三章關(guān)于樣條濾波器的介紹打下理論基礎(chǔ)。 第3章 樣條濾波器特性分析 引言本章首先對(duì)插值進(jìn)行了介紹，在此基礎(chǔ)上，給出了三次樣條函數(shù)的定義，并討論了如何去構(gòu)造三次樣條濾波器，簡(jiǎn)而言之，本章主要對(duì)樣條濾波器進(jìn)行了宏觀上的了解。三次樣條濾波器是世界上最早的輪廓濾波器。由于自然的邊界條件，三次樣條濾波器可以克服高斯濾波器卷積運(yùn)算所引起的邊緣效應(yīng)。三次樣條濾波器一般采用遍歷搜索法。而它的主要缺點(diǎn)就是沒(méi)有給出明確的傳遞函數(shù)和計(jì)算比較復(fù)雜。關(guān)于Whittaker下面做個(gè)簡(jiǎn)要的介紹：在19世紀(jì)，為了計(jì)算死亡率并以此制定人壽保險(xiǎn)等級(jí)，保險(xiǎn)業(yè)就開始引入了平滑算法。 早期的平滑算法主要是移動(dòng)加權(quán)平均濾波法，該濾波算法的因子和長(zhǎng)度決定于標(biāo)準(zhǔn)，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)不同，每個(gè)濾波器和它所得結(jié)果也不相同。1923 年，Whittaker 率先對(duì)移動(dòng)加權(quán)平均濾波法進(jìn)行了改進(jìn)，并提出了正規(guī)化最小二乘法，因此該算法也被稱為Whittaker算法。Whittaker算法對(duì)樣條濾波器的研究有著極其重要的作用。 插值介紹什么是插值？簡(jiǎn)而言之，就是用給定的未知函數(shù) 的若干點(diǎn)的函數(shù)值構(gòu)造一個(gè) 的近似函數(shù) ，稱為函數(shù) 為插值函數(shù)。然而，在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)只能給出函數(shù) 的一些離散數(shù)值 給不出 的具體解析表達(dá)式，或者函數(shù) 的表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜而不利于運(yùn)算。這時(shí)我們就需要構(gòu)造一個(gè)函數(shù) 的近似函數(shù)。例如，在服裝店定做風(fēng)衣的時(shí)候，選好風(fēng)衣樣式后，服裝師量出并寫下你的胸圍、衣長(zhǎng)和袖長(zhǎng)等幾個(gè)尺寸，這幾個(gè)尺寸就是風(fēng)衣函數(shù)的插值點(diǎn)數(shù)值，在衣料上畫出的裁剪線就是服裝師構(gòu)造的插值函數(shù) ，裁剪水平的差別就在于量準(zhǔn)插值點(diǎn)和構(gòu)造合乎身材的插值函數(shù)。在數(shù)學(xué)上常用的函數(shù)逼近的方法有如下：（1） 插值（2） 一致逼近，平方逼近（3） 均方逼近或稱最小二乘法[2] 三次樣條函數(shù)與插值 在社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐中，常會(huì)出現(xiàn)這樣的問(wèn)題：要作出一條通過(guò)一組離散采樣點(diǎn)的光滑曲線，以滿足設(shè)計(jì)的要求或進(jìn)行加工。在數(shù)學(xué)上，即已知函數(shù)在一些點(diǎn)上的值，尋找它的表達(dá)式。這種表達(dá)式一般很難直接求出，所以要構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)。解決這類問(wèn)題的方法一般有兩種：一種是插值法，另一類是函數(shù)逼近法。三次樣條函數(shù)插值是最常用插值法，因?yàn)槿螛訔l插值收斂性好、而且插值穩(wěn)定，在區(qū)間內(nèi)二階連續(xù)可微，插值效果優(yōu)于高階多項(xiàng)式和分段 Hermite 插值。所以在工程上，三次樣條函數(shù)插值法應(yīng)用非常普遍。 三次樣條函數(shù)介紹對(duì)樣條函數(shù)的研究開始于20世紀(jì)中葉，到了60年代它和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)結(jié)合，在外形設(shè)計(jì)方面得到成功應(yīng)用。樣條理論也成為函數(shù)逼近的有力工具。它的應(yīng)用范圍也正在不斷的擴(kuò)大，不僅在數(shù)據(jù)的處理、數(shù)值微積分、微分方程與積分方程等數(shù)學(xué)領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，而且和最優(yōu)控制、變分問(wèn)題、統(tǒng)計(jì)學(xué)、計(jì)算幾何與泛函分析等學(xué)科都有密切聯(lián)系。圖 31 樣條函數(shù)圖 32 樣條函數(shù)圖 33 三階廣義Ｂ樣條具體定義如下：函數(shù) ，且在每個(gè)小區(qū)間 上是三次多項(xiàng)式，其中 是給定節(jié)點(diǎn)，則稱 是節(jié)點(diǎn) 上的三次樣條函數(shù)。若在節(jié)點(diǎn) 上給定函數(shù)值 ，并成立： (31)則稱 為三次樣條函數(shù)。 三次樣條插值三次樣條插值是通過(guò)一系列形值點(diǎn)的一條光滑曲線，數(shù)學(xué)上通過(guò)求解三彎矩方程組得出曲線函數(shù)組的過(guò)程。如果函數(shù) 在節(jié)點(diǎn) 處的函數(shù)值為： (32)而三次樣條函數(shù) 滿足： (33)則稱 為 在 上的三次樣條插值函數(shù)[3]。三次樣條插值多項(xiàng)式：設(shè) 為區(qū)間 的一個(gè)分割，如果函數(shù) 在節(jié)點(diǎn) 的函數(shù)值為： (34)則， 是 上的三次樣條多項(xiàng)式，它應(yīng)有4個(gè)待定系數(shù)，既要確定 必須要 個(gè)待定系數(shù)，即為我們需要所謂的邊界條件：第一類(一階)邊界條件： (35)第二類(二階)邊界條件： (36)第三類(周期)邊界條件： (37)一般使用第一、二類邊界條件,常用第二類邊界條件加上任何一類邊界條件后，確定待定的系數(shù)，如下：即： (38)圖34 三次樣條插值 三次樣條濾波器三次樣條濾波器不但能夠?qū)?shù)據(jù)進(jìn)行逼近，而且能夠?qū)?shù)據(jù)平滑處理，去除噪聲影響。將樣條函數(shù)與變分方法相結(jié)合可以構(gòu)造出樣條濾波器，由于樣條函數(shù)本身具有很多優(yōu)良的特性，如分段擬合、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、邊界條件任選等，使得樣條濾波器非常適于處理實(shí)驗(yàn)中的采樣數(shù)據(jù)和觀測(cè)值。首先設(shè) 為樣點(diǎn)，用三次樣條函數(shù)對(duì) 進(jìn)行插值。由樣條函數(shù)的基函數(shù)構(gòu)造三次樣條函數(shù)并利用三次樣條函數(shù)的連續(xù)性可以列出以下方程： (39) (310) (311) (312)一般地，在表面形貌測(cè)量中，采樣點(diǎn)通常為等間距采樣現(xiàn)選取自然邊界條件代入求解： (313) (314)由式(313)和(314)可得：三次樣條濾波器的解方程可以寫成矩陣形式的線性方程組: (315