20xx年江蘇省高考數(shù)學試卷答案與解析(編輯修改稿)
2025-07-22 14:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 N為C的兩個端點，測得點M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點N到l1，以l2，l1在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=（其中a，b為常數(shù)）模型．（1）求a，b的值；（2）設(shè)公路l與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t．①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式f（t），并寫出其定義域；②當t為何值時，公路l的長度最短？求出最短長度．考點：函數(shù)與方程的綜合運用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）由題意知，點M，N的坐標分別為（5，40），（20，），將其分別代入y=，建立方程組，即可求a，b的值；（2）①求出切線l的方程，可得A，B的坐標，即可寫出公路l長度的函數(shù)解析式f（t），并寫出其定義域；②設(shè)g（t）=，利用導(dǎo)數(shù)，確定單調(diào)性，即可求出當t為何值時，公路l的長度最短，并求出最短長度．解答：解：（1）由題意知，點M，N的坐標分別為（5，40），（20，），將其分別代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切線l的方程為y﹣=﹣（x﹣t）設(shè)在點P處的切線l交x，y軸分別于A，B點，則A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②設(shè)g（t）=，則g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）時，g′（t）＜0，g（t）是減函數(shù)；t∈（10，20）時，g′（t）＞0，g（t）是增函數(shù)，從而t=10時，函數(shù)g（t）有極小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10時，公路l的長度最短，最短長度為15千米．點評：本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，確定函數(shù)關(guān)系，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵． 18．（16分）（2015?江蘇）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，且右焦點F到左準線l的距離為3．（1）求橢圓的標準方程；（2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程．考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）運用離心率公式和準線方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的關(guān)系，可得b，進而得到橢圓方程；（2）討論直線AB的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，以及兩直線垂直的條件和中點坐標公式，即可得到所求直線的方程．解答：解：（1）由題意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，則b=1，即有橢圓方程為+y2=1；（2）當AB⊥x軸，AB=，CP=3，不合題意；當AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），將AB方程代入橢圓方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，則x1+x2=，x1x2=，則C（，），且|AB|=?=，若k=0，則AB的垂直平分線為y軸，與左準線平行，不合題意；則k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），從而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=177。1，此時AB的方程為y=x﹣1或y=﹣x+1．點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，聯(lián)立直線方程，運用韋達定理和弦長公式，同時考查兩直線垂直和中點坐標公式的運用，屬于中檔題． 19．（16分）（2015?江蘇）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）試討論f（x）的單調(diào)性；（2）若b=c﹣a（實數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù)），當函數(shù)f（x）有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)零點的判定定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負，即可得出f（x）的單調(diào)性；（2）由（1）知，函數(shù)f（x）的兩個極值為f（0）=b，f（﹣）=+b，則函數(shù)f（x）有三個不同的零點等價于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，進一步轉(zhuǎn)化為a＞0時，﹣a+c＞0或a＜0時，﹣a+c＜0．設(shè)g（a）=﹣a+c，利用條件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a(chǎn)=0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增；a＞0時，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）時，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）時，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣，0）上單調(diào)遞減；a＜0時，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）時，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）時，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，﹣）上單調(diào)遞減；（2）由（1）知，函數(shù)f（x）的兩個極值為f（0）=b，f（﹣）=+b，則函數(shù)f（x）有三個不同的零點等價于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0時，﹣a+c＞0或a＜0時，﹣a+c＜0．設(shè)g（a）=﹣a+c，∵函數(shù)f（x）有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此時f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函數(shù)有三個零點，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有兩個異于﹣1的不等實根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），綜上c=1．點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點，考查分類討論的數(shù)學思想，難度大．
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