【文章內(nèi)容簡介】 面ABC為（HKL），根據(jù)晶體學(xué)的定義，（HKL）在三晶軸上的截距為： ， 顯然 因為所以同理可證： 則（2）設(shè)為（HKL）法線方向的單位矢量 ，顯然， 且晶面間距dHKL應(yīng)為該平面的任一截距在法線方向上的投影長度 所以同理可以證明：w 對正交點陣，有:a1* // a1。 ………..a1* = 1/a。 ……….x 對立方系來講,晶面法向和同指數(shù)的晶向是重合的，即倒易矢量是與相應(yīng)指數(shù)的晶向平行。2. 正點陣與倒易點陣的指數(shù)互換（1）正點陣與倒易點陣基矢間的關(guān)系 假設(shè)正點陣基矢與倒易點陣基矢間可以通過變換矩陣[G]作如下變換 （6） 將（6）式兩端右乘行矩陣（7） 由可得（8） 式中（i, j = 1, 2, 3） 利用（8）式可以將倒易基矢變換為正基矢。 將（6）式兩端左乘[G]1得 （9） 再將式（9）兩端同時右乘(10) 其中（i, j =1, 2, 3） 舉例： 對立方晶系 a1 = a2 = a3 = a α=β=γ=90176。（2）正點陣與倒易點陣指數(shù)間的互換 對立方系，晶面（HKL）與其同名的晶向[HKL]垂直， 即但對非立方晶系，這種關(guān)系在多數(shù)情況下不成立，因此，需要解決以下兩個問題： u 已知（HKL）晶面，求其法線方向[uvw]v 已知某一晶面[uvw]，求與其垂直的晶面設(shè)[uvw]是（HKL）晶面的法線，[uvw]⊥(HKL)，有 顯然，和是同一方向的矢量在正倒空間的不同表達方式，可用數(shù)學(xué)式表達為（11） 寫成等式為： （12） （13）式中乘以一個K因子是為了將 和 均變?yōu)闊o量綱的單位矢量，實際上與[uvw]垂直的晶面是一系列平行的晶面組，如在立方系中，與[110]垂直的晶面有（110），（220），（330）。 同樣，（111）晶面的法線方向也可以是[111]，[222]等。因此， 可以將（13）式中的K取消，寫成等式（14）將（14）式兩端分別乘以， 、 、 ，得 （15） 寫成矩陣形式為 （16） 例如：（1）立方晶系[uvw]與其同名的晶面組（uvw）垂直。(2) 六方晶系如六方晶系的MoC， a = , c = 197。 , 求與晶向[uvw] = [111] 垂直的晶面。代入數(shù)據(jù)計算得 （HKL）=（，）=(1,1, )≈(559) 同理，將（14）式兩端分別乘以 , 有 （17） 或?qū)ⅲ?6）式兩端乘[G]1得到同樣結(jié)果。3. 晶面間距與晶面夾角公式（1）晶面間距 由倒易矢量的性質(zhì) 進一步可寫成即:（18） 此式為適用于任何晶系的通用公式。對立方晶系 cosα* = cosβ* = cosγ* = 0則有（19） （2）晶面夾角公式兩晶面間的夾角可用兩晶面法線夾角表達，也即可用兩晶面對應(yīng)的倒易矢量夾角表示，故有 (20) 上式 適用于任何晶系。對立方晶系，夾角公式為 （21） 電子衍射原理 布拉格定律 設(shè)衍射晶面為（hkl）面間距為d，入射方向與衍射晶面成θ角，由X射線的衍射原理，則衍射必要條件的數(shù)學(xué)表達式 （21）由實驗證明，衍射可解釋為晶面對入射波的反射，如圖所示。下面求幾何解 設(shè)入射束和反射束的單位矢量分別為 S0和S那么， 又可寫為: 令: 有（22）K/，K分別為衍射線與入射線的波數(shù)矢量。（21）（22）分別為布拉格定律的標量與矢量表達式。由（21）變換可得 一般情況下，～，而電子波長≤(60KV)。因此，金屬和合金極易滿足條件產(chǎn)生衍射。且sinθ值很小，從而有特別小的衍射角。通常 θ1176。 那么，布拉格方程如何在幾何上表達呢？這就是下面要講的厄瓦爾德球作圖法。 厄瓦爾德球作圖法 在電子衍射的分析過程中，常常要用到厄瓦爾德球作圖法，利用這種方法可以比較直觀地觀察衍射晶面、入射束和衍射束之間的幾何關(guān)系。它實際上是布拉格方程的幾何表示。 厄瓦爾德球是位于倒易空間中的一個球面，球之半徑等于入射電子波波長的倒數(shù)1/λ。 具體作法如下：1) 在倒易空間中，畫出衍射晶體的倒易點陣；2) 以倒易原點0*為端點，作入射波的波矢量K(OO*)，該矢量平行于入射束方向，長度等于波長的倒數(shù)，即 K=1/λ；3) 以O(shè)為中心，1/λ為半徑作一個球，這就是厄互爾德球。4) 若有倒易陣點G（hkl）正好落在厄瓦爾德球的球面上，則相應(yīng)的晶面組（hkl）與入射束的位向必滿足布拉格條件，而衍射束的方向就是OG或者衍射波 矢量K/，其長度等于反射球的半徑。根據(jù)倒易矢量的定義: 進行矢量運算有： （2—3）現(xiàn)在來證明（23）與（21）（22）是等價的。證 明： 由O向0*G作垂線0D，垂足為D∵（hkl面的法線）∴ 0D就是正空間（hkl）面的方位設(shè)它與入射束的夾角為θ，則有∴顯然，由圖可知，K與K’之間的夾角等于2θ。這與布拉格定律的結(jié)果一致。 綜上所述，愛瓦爾德球內(nèi)的三個矢量K、K’和ghkl清楚地描述了入射束、衍射束和衍射晶面之間的相對關(guān)系。這個方法成為分析衍射的有效工具。前面的做圖分析過程中，取愛瓦爾德球半徑為1/l，且ghkl=1/dhkl,因此，愛瓦爾德球本身就置于倒空間。 而且倒空間的任一ghkl矢量就是正空間(hkl)晶面的代表，如果知道了ghkl矢量的排列方式，就可推得正空間對應(yīng)的衍射晶面的方位了，這就是電子衍射分析要解決的主要問題。 晶帶定律與零層倒易截面晶體中，與某一晶向[uvw]平行的所有晶面（HKL）屬于同一晶帶，稱為[uvw]晶帶，該晶向[uvw]稱為此晶帶的晶帶軸，表示為此晶帶內(nèi)的各晶面用相應(yīng)的倒易矢量來表示為:∵∴（22） 即(23) 式（22）為晶帶定律的矢量表達式式（23）為晶帶定律的標量表達式如圖所示，取某點O*為倒易原點，則該晶帶所有晶面對應(yīng)的倒易矢（倒易點）將處于同一倒易平面中，這個倒易平面與Z垂直。由正、倒空間的對應(yīng)關(guān)系，與Z垂直的倒易面為（uvw）*,即 [uvw]⊥(uvw)*因此，由同晶帶的晶面構(gòu)成的倒易面就可以用（uvw）*表示，且因為過原點O*，則稱為0層倒易截面（uvw）*。反過來，若已知[uvw]晶帶中任意兩晶面（H1K1L1）和（H2K2L2），則可按晶帶定理求晶帶軸指數(shù)，有解此方程組得（24） 手算時寫成更容易記憶的形式舉列：u 一立方晶胞以[001]作晶帶軸時，（100）、（010）、（110）和（210）等晶面均和[001]平行，相應(yīng)的零層倒易截面如圖所示。v 體心立方晶體[001]和[011]晶帶的標準零層倒易截面圖。 結(jié)構(gòu)因子與倒易點陣的結(jié)構(gòu)消光及倒易點陣類型1. 結(jié)構(gòu)消光滿足Bragg方程或或者倒易陣點正好落在愛瓦爾德球球面上的(hkl)晶面組是否會產(chǎn)生衍射束？。答案是：上述條件給出的是某晶面組（hkl）產(chǎn)生衍射的必要條件，滿足了上述的要求，也未必一定產(chǎn)生衍射。這樣，把滿足布拉格條件而不產(chǎn)生衍射的現(xiàn)象稱為結(jié)構(gòu)消光。 下面將從衍射強度的角度進行分析。由X射線的衍射知道，衍射束的強度 Fhkl—（hkl）晶面組的結(jié)構(gòu)因子（結(jié)構(gòu)振幅），表征晶體的正點陣晶胞內(nèi)所有原子的散射波在衍射方向的合成振幅。（26） fj——晶胞中位于（xj, yj, zj）的第j個原子的散射因子n—晶胞原子數(shù) （第j個原子的座標矢量）可以看出， （hkl）晶面組的結(jié)構(gòu)因子（結(jié)構(gòu)振幅）Fhkl它表征單胞的衍射強度，反映了晶體的正點陣晶胞內(nèi)原子種類、原子個數(shù)以及原子位置對衍射強度的影響。Fhkl2具有強度的意義，即F2越大，Ihkl越大。當(dāng)Fhkl=0時，Ihkl=0，即使?jié)M足Bragg定律，也沒有衍射束產(chǎn)生，因為每個晶胞內(nèi)原子散射波的合成振幅為零，這叫結(jié)構(gòu)消光。 在X射線衍射中已經(jīng)計算過典型晶體結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)因子。 幾種點陣的結(jié)構(gòu)因數(shù)計算 :我們用（26）式計算，并注意由歐控公式得出的幾個結(jié)果： (n為整數(shù)) （1） 簡單晶胞（點陣）簡單晶胞內(nèi)僅含有一個原子，其坐標為（000），原子散射因數(shù)為f，由（26）該種點陣其結(jié)構(gòu)因數(shù)或振幅與HKL無關(guān)，即HKL為任意整數(shù)時均能產(chǎn)生衍射，如（100）,（110）,（111）,（200）,（210）…。能夠出現(xiàn)的衍射而指數(shù)平方和之比是： （H12+K12+L12）∶（H22+K22+L22）∶（H32+K32+L32）∶…= 12∶（12+12）∶（12+12+12）∶22∶（22+12）∶…= 1∶2∶3∶4∶5…。 （2） 體心點陣單胞中有兩種位置的原子，即頂角與體心原子，其坐標分別為（000）與（1/2，1/2，1/2）。按式（26）或 u 即當(dāng)H+K+L=奇數(shù)時，該晶面的衍射強度為0，該種晶面的衍射線不能出現(xiàn)，如（100），（111），（210），（300），（311）等；v 當(dāng)H+K+L=偶數(shù)時，產(chǎn)生衍射，如（110），（200），（211），（220），（310）…。這些指數(shù)的平方和之比為2：4：6：8：10…。（3） 面心點陣面心晶胞含4個原子，其坐標分別為（000），（1/2 1/2 0），（ 1/2 0 1/2 ）及（0 1/2 1/2 ），按式（26）有即能夠出現(xiàn)衍射的晶面指數(shù)為（111），（200），（220）（311）（222）（400），┉。其指數(shù)平方和之比為1：: : : 4: :┉（4） 密排六方點陣H + 2K = 3n, L = 奇數(shù)時，F(xiàn)HKL=0例如，{0001}、{0331}、{2115}等晶面不會產(chǎn)生衍射。由以上可知,F值只與原子的種類(f) 及在單胞中的位置有關(guān),與晶胞形狀無關(guān)。如對體心點陣，不論是立方、正方還是斜方晶系，其消光規(guī)律均是相同的，可見系統(tǒng)消光的規(guī)律有較廣泛的適用性。2. 產(chǎn)生衍射的充分必要條件綜上所述：u 產(chǎn)生衍射的必要條件v 充分條件 Fhkl≠0常見晶體的結(jié)構(gòu)消光規(guī)律 簡單立方對指數(shù)沒有限制（不會產(chǎn)生結(jié)構(gòu)消光）f. c. ch. k. L. 奇偶混合b. c. ch+k+L=奇數(shù)h. c. ph+2k=3n, 同時L=奇數(shù)體心四方h+k+L=奇數(shù)注：推導(dǎo)與計算詳見教材P77783. 倒易點陣的類型 由上所述，滿足Bragg定律只是產(chǎn)生衍射的必要而非充分條件，只有同時又滿足F185。0的（HKL）晶面組才能得到衍射束。 考慮到這一點，可以把Fhkl2作為“權(quán)重”加到相應(yīng)的倒易陣點上去，此時，倒易點陣中各個陣點將不再是彼此等同的，“權(quán)重”的大小表明各陣點所對應(yīng)的晶面組發(fā)生衍射時的衍射束強度。 凡“權(quán)重”為0，即 F=0的那些陣點，都應(yīng)當(dāng)從倒易點陣中抹去，僅留下可能會產(chǎn)生衍射的那些陣點。只要這些F≠0的陣點落在反射球面上，必有衍射束產(chǎn)生。 這樣，要把h、k、l奇、偶數(shù)混合的那些陣點抹去，就成了體心立方結(jié)構(gòu)的點陣，如圖所示同理?；疽?guī)律概括為： ，其余都是相同的。 倒易陣點的擴展（形狀）與偏移參量從幾何意義上來看，電子束方向與某晶帶軸重合時，零層倒易面除原點O*外，都不可能與愛瓦爾德球相交，因而，不可能產(chǎn)生衍射，如圖