十大高中平面幾何幾何定理匯總與證明(編輯修改稿)
2025-07-22 04:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 。證明：∵M(jìn)A⊥MD，F(xiàn)是AD中點∴AF=MF∴∠CAD=∠AMF∵∠CAD=∠CBD，∠AMF=∠CME∴∠CBD=∠CME∵∠CME+∠BME=∠BMC=90176?！唷螩BD+∠BME=90176?！郋F⊥BC 11. 托勒密定理圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：ACBD=ABCD+ADBC．證明：過C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，ACBP=ADBC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，ACDP=ABCD ②。① +②得 AC(BP+DP)=ABCD+ADBC．即ACBD=ABCD+ADBC．12. 梅涅勞斯定理當(dāng)直線交三邊所在直線于點時。證明：過點C作CP∥DF交AB于P，則兩式相乘得梅涅勞斯逆定理：若有三點F、D、E分別在邊三角形的三邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足AF/FBBD/DCCE/EA=1，則F、D、E三點共線。證明：先假設(shè)E、F、D三點不共線，直線DE與AB交于P。由梅涅勞斯定理的定理證明（如利用平行線分線段成比例的證明方法）得：(AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。∵ (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1?！?AP/PB=AF/FB ；∴ (AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB ；∴ AB/PB=AB/FB ；∴ PB=FB；即P與F重合。∴ D、E、F三點共線。13. 塞瓦定理在△ABC內(nèi)任取一點O，延長AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1?！摺鰽DC被直線BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①∵△ABD被直線COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②② /①約分得：(DB/CD)(CE/EA)(AF/FB)=114. 圓冪定理相交弦定理：如圖Ⅰ，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點P，連接AD、BC，由于∠B與∠D同為弧AC所對的圓周角，因此由圓周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以。所以有：，即：。割線定理：如圖Ⅱ，連接AD、BC?？芍螧=∠D，又因為∠P為公共角，所以有，同上證得。切割線定理：如圖Ⅲ，連接AC、AD。∠PAC為切線PA與弦AC組成的弦切角，因此有∠PBC=∠D，又因為∠P為公共角，所以有，易證圖Ⅳ，PA、PC均為切線，則∠PAO=∠PCO=90176。，在直角三角形中：OC=OA=R，PO為公共邊，因此所以PA=PC，所以綜上可知，是普遍成立的。弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù)。點對圓的冪P點對圓O的冪定義為點P在圓O內(nèi)→P對圓O的冪為負(fù)數(shù)；點P在圓O外→P對圓O的冪為正數(shù)；點P在圓O上→P對圓O的冪為0。三角形五心：內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點外心：三角形三條邊的垂直平分線（中垂線）的相交點重心：三角形三邊中線的交點垂心：三角形的三條高線的交點旁心：三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心九點圓心：三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點〔連結(jié)三角形各頂點與垂心所得三線段的中點〕九點共圓的圓心15. 根心定理三個兩兩不同心的圓，形成三條根軸，則必有下列三種情況之一：（1） 三根軸兩兩平行；（2） 三根軸完全重合；（3） 三根軸兩兩相交，此時三根軸必匯于一點，該點稱為三圓的根心。平面上任意三個圓，若這三個圓圓心不共線，則三條根軸相交于一點，這個點叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行。根軸定義：A與
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