算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)(編輯修改稿)
2024-07-21 22:15 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ．在基本題型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，這容易形成思維定式．本題中是利用條件將所求證的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意靈活運用均值不等式．典型例題十三例13 已知，且，求的最大值．分析：由，可得，故，令．利用判別式法可求得（即）的最大值，但因為有范圍的限制，還必須綜合韋達(dá)定理展開討論．僅用判別式是不夠的，因而有一定的麻煩，下面轉(zhuǎn)用基本不等式求解．解法一：由，可得，． 注意到．可得，．當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，代入中得，故的最大值為18．解法二：，代入中得：解此不等式得．下面解法見解法一，下略．說明：解法一的變形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二則是抓住了問題的本質(zhì)，所以解得更為簡捷．典型例題十四例14 若，且，求證：．分析：不等式右邊的數(shù)字“8”使我們聯(lián)想到可能是左邊三個因式分別使用基本不等式所得三個“2”連乘而來，而．證明：，又，，即．同理，．當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．說明：本題巧妙利用的條件，同時要注意此不等式是關(guān)于的輪換式．典型例題十五例15 設(shè)，求證：．分析：本題的難點在于不易處理，如能找出與之間的關(guān)系，問題可得到解決，注意到：，則容易得到證明．證明：，于是同理：，．三式相加即得：．說明：注意觀察所給不等式的結(jié)構(gòu)，此不等式是關(guān)于的輪換式．因此只需抓住一個根號進(jìn)行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性．典型例題十六例16 已知：（其中表示正實數(shù)）求證：分析：要證明的這一串不等式非常重要，稱為平方根，稱為算術(shù)平均數(shù)，稱為幾何平均數(shù)，稱為調(diào)和平均數(shù)．證明：∴，當(dāng)且僅當(dāng)“”時等號成立．∴，等號成立條件是“”∴，等號成立條件是“”．∴，等號成立條件是“”．說明：本題可以作為均值不等式推論，熟記以上結(jié)論有利于處理某些復(fù)雜不等式的證明問題．本例證明過程說明，不等式性質(zhì)中的比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法．典型例題十七例17 設(shè)實數(shù)，，，滿足，，求證．分析：由條件可得到，， 同號．為方便，不妨都設(shè)為正．將求證式子的左邊展開后可看出有交叉項和無法利用條件，但使用均值不等式變成乘積后，重新搭配，可利用條件求證．證明：同理，由知與同號，與同號
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