【文章內容簡介】 驗x=14是原方程的根．　　　　求證： a2＋b2＝1．　　這道名題已有多種證法，而且被視為用三角換無法解代數(shù)問題的典范．下面再給出一各幾何證法．　　易知0≤a、b≤1且a、b不全為零．當a、b之一為零時，結論顯然成立．當a、b全不為零時，由已知等式聯(lián)想到托勒密定理，作直徑AC＝1的圓及圓內接四　　　　　與已知等式比較，得BD＝1，即BD也為圓的直徑，故a2＋b2=1　　例6 設a＞c，b＞c，c＞0，　　　　此題若用常規(guī)方法證明也不輕松．下面利用托勒密定理給出它的一個巧證．　　　　　　　　　　　　　　　　　　由托勒密定理，得　　　　　　　　　巧用托勒密定理證題河北晉州市數(shù)學論文研究協(xié)會張東海王素改　　在解證某些數(shù)學題時，如能巧用托勒密定理，可使解證過程簡潔清新，茲舉例說明．　　托勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和．一、構造“圓”，運用定理　　【例1】設a，b，x，y是實數(shù)，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．　　求證：ax＋by≤1．　　證 作直徑AB=1的圓，在AB的兩側任作Rt△ACB和Rt△ADB，使AC=a，BC=b，BD=x， AD=y．(圖1)　　由勾股定理知a，b，x，y滿足條件．　　根據(jù)托勒密定理，有　　ACBD＋BCAD=ABCD．　　∵ CD≤1，∴ax＋by≤1．二、利用無形圓，運用定理　　【例2】 等腰梯形一條對角線的平方，等于一腰的平方加上兩底之積．　　已知：梯形 ABCD中，AD=BC，AB∥CD．　　求證：BD2=BC2＋ABCD．　　證 ∵等腰梯形內接于圓，由托勒密定理，有ACBD=ADBC＋ABCD．　　∵AD=BC，AC=BD，　　∴BD2=BC2＋ABCD．(圖略)　　【例 3】已知：邊長為 1的正七邊形ABCDEFG中，對角線 AD=a，BG=b(a≠b)．　　求證：(a＋b)2(a－b)＝ab2．　　證 連結BD，GE，BE，DG，則 BD=EG＝GB=b，DG=BE＝DA＝a， DE=AB=AG=1．(如圖2)　　在四邊形ABDG中，由托勒密定理，有ADBG=ABDG＋BDAG，　　即ab=a＋b (1)　　同理在四邊形BDEG中，得　　BEDG=DEBG＋BDEG，　　即a2=b＋b2 (2)　　將(2)變形為b=a2－b2 (3)　　(1)(3)，得ab2＝(a＋b)(a2－b2)．　　故ab2=(a＋b)2(a－b)．三、構造圓內接四邊形，運用定理　　【例4】在△ABC中，∠A的內角平分線AD交外接圓于D．連結BD．　　求證：ADBC=BD(AB＋AC)．　　證(如圖3) 連結DC．由托勒密定理．有ADBC=ABCD＋ACBD．　　又∵∠1=∠2，∴BD=DC．　　∴ADBC=ABCD＋ACBD=BD(AB＋AC)．　　即ADBC=BD(AB＋AC)．圓內接四邊形的面積公式黑龍江綏化五中 任天民　　　設圓內接四邊形ABCD中各邊為a，b，c，d．連結 BD．　　由∠A＋∠C=180176。，可以推出　　sinA=sinC，　　cosA=－cosC．　　并且　　S四邊形ABCD=S△ABD＋S△BCD　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　所以　　　　　　　　 　　　　　　　　　這樣我們得出了圓內接四邊形面積的計算公式．　　在上面的公式中，如果設某一邊為零，(不仿設d=0)此時四邊形變成三角形，該公式恰是計算三角形面積的海倫公式．　　圓內接四邊形面積公式的得出是受三角形面積公式的啟發(fā)，通過聯(lián)想探索出來的，而且兩者在形式上又是那么的相近．這種現(xiàn)象在數(shù)學中不勝枚舉，如果同學們都能從特殊規(guī)律去探索一般規(guī)律，再從一般規(guī)律去認識特殊規(guī)律．那么對數(shù)學能力的培養(yǎng)將大有裨益．四條邊定長四邊形面積的最大值上海市育群中學 李甲鼎　　四條邊為定長的四邊形不具穩(wěn)定性，但在某種特定的位置下，它能內接于圓，成為圓內接四邊形．并且此時達到變化過程中面積最大值．下文證明這個事實．　　已知：四邊形ABCD中：AB＝a，BC＝b，CD=c，DA=d　　求證：四邊形ABCD中有唯一四邊形能內接于圓，且此時面積達到最大值．　　證明：(1)先證四邊形四邊定長，有唯一的四邊形內接于圓，設∠ABC=α，∠ADC=β，AC=x．　　　　　　　令α＋β=π，即cosα＋cosβ=0　　　　　　　　　　x的解唯一確定，代入(1)(2)后cosα、cosβ也隨之唯一確，在α，β∈(0，π)的條件下α、β也同時唯一確定．　　∴四邊形四邊定長，對角互補，四邊形是唯一的．即所得到的四邊形為圓內接四邊形．　　(2)當四邊定長的四邊形內接于圓時，此四邊形面積最大．　　∵四邊形ABCD的面積　　　　由余弦定理得a2＋b2－2abcosα=x2=c2＋d2－2cdcosβ　　　　　　　　　　顯然當α＋β=π時(即為圓內接四邊形時)S2達到最大值，即S最大．　　　　　一個幾何定理的應用江蘇省徐州礦務局龐莊職校　張懷林　　定理：如圖1，在圓接四邊形ABCD中弦AD平分∠BAC，則2ADcosα=AB＋AC．　　證明 連接BD、DC、BC，設已知圓半徑為R，則由正弦定理有：　　BD＝DC＝2Rsinα，　　BC＝2Rsin2α．　　由托勒密定理有　　ABCD+ACBD=ADDC．　　∴(AB+AC)2Rsinα=AD2Rsin2α．　　則 2ADcosα=AB＋AC．　　下面舉例說明它的應用．　　例1 如圖2，已知銳角△ABC的∠A平分線交BC于L，交外接圓于N，過L分別作LK⊥AB，LM⊥AC，垂足分別為K、M．求證：四邊形AKNM的面積等于△ABC的面積．(第28屆IMO)　　證明 由已知得　　∠BAN=∠CAN，　　由定理有 2ANcosα=AB＋AC，　　　　　　　　=ANALcosαsinα=ANAKsinα　　　　　　=ANAMsinα=2S△AKN＝2S△AMN．　　∴S△ABC=S四邊形AKNM．　　　　　(第21屆全蘇奧數(shù))　　證明 作正七邊形外接圓，如 圖3所示．　　由定理有2ccosα=b+c，又在等腰△A1A2A3中有2acosα=b．　　　　例3 在△ABC中，∠C=3∠A，a＝27，c＝48，則b的值是____．(第36屆AHSME試題)　　解 如圖4．作△ABC的外接圓，在取三等分點D、E，連CD、CE．　　由已知得：　　∠ACD=∠DCE=∠ECB=∠A，CD=AB=48，　　由定理有 2CEcosA=CB+CD ①　　2CDcosA＝CE+AC ②　　又2CBcosA=CE ③　　　　由②、③得：b=AC=CE(CDCB)/CB=35．托勒密定理及其應用河北省晉州市數(shù)學論文研究協(xié)會劉同林　　托勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．　　已知：圓內接四邊形ABCD，　　求證：ACBD＝ABCD＋ADBC．　　證明：如圖1，過C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．　　　　　又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．　　　　①＋②得 AC(BP＋DP)=ABCD＋ADBC．　　即ACBD=ABCD＋ADBC．　　這就是著名的托勒密定理，在通用教材中習題的面目出現(xiàn)，不被重視．筆者認為，既然是定理就可作為推理論證的依據(jù)．有些問題若根據(jù)它來論證，顯然格外簡潔清新．茲分類說明如下，以供探究．　　一、直接應用托勒密定理　　例1 如圖2，P是正△ABC外接圓的劣弧上任一點(不與B、C重合)，　　求證：PA=PB＋PC．　　分析：此題證法甚多，一般是截長、補短，構造全等三角形，均為繁冗．　　若借助托勒密定理論證，則有PABC=PBAC＋PCAB，　　∵AB=BC=AC．　　∴PA=PB+PC．　　二、完善圖形 借助托勒密定理　　例2 證明“勾股定理”：　　在Rt△ABC中，∠B=90176。，求證：AC2=AB2＋BC2　　證明：如圖3，作以Rt△ABC的斜邊AC為一對角線的矩形ABCD，顯然ABCD是圓內接四邊形．　　由托勒密定理，有　　ACBD=ABCD＋ADBC． ①　　又∵ABCD是矩形，　　∴AB=CD，AD=BC，AC=BD． ②　　把②代人①，得AC2=AB2＋BC2．　　例3 如圖4，在△ABC中，∠A的平分 線交外接∠圓于D，連結BD，求證：ADBC=BD(AB＋AC)．　　證明：連結CD，依托勒密定理，有ADBC＝ABCD＋ACBD．　　∵∠1=∠2，∴ BD=CD．　　故 ADBC=ABBD＋ACBD=　　BD(AB＋AC)．　　三、利用“無形圓”借助托勒密定理　　例4 等腰梯形一條對角線的平方等于一腰的平方加上兩底之積．　　如圖5，ABCD中，AB∥CD，AD=BC，　　求證：BD2=BC2＋ABCD．　　證明：∵等腰梯形內接于圓，依托密定理，則有ACBD=ADBC＋ABCD．　　又∵ AD=BC，AC=BD，　　∴BD2=BC2＋ABCD．　　四、構造圖形 借助托勒密定理　　例5 若a、b、x、y是實數(shù)，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．　　求證：ax＋by≤1．　　證明：如圖6，作直徑AB=1的圓，在AB兩邊任作R