三角函數(shù)恒等變換(編輯修改稿)
2025-07-21 20:23 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 osα=，且α∈（0，），則tan=____________.2解析一：由cosα=，α∈（0，），得sinα==，tan=====.解析二：tan===. 答案：2原式 ．2解析：f（－1）=f［tan（－）］=－sin=－1. 答案：B2則 ．2證：（1）左邊 右邊，∴得證．說(shuō)明：由等式兩邊的差異知：若選擇“從左證到右”，必定要“切化弦”；若“從右證到左”，必定要用倍角公式．（2）左邊右邊，∴得證．3解：原式3剖析：4x為2x的二倍角，2x為x的二倍角.解：由已知得sin（x－－）cos（x－）=－，∴cos2（x－）=.∴sin2x=cos（－2x）=2cos2（－x）－1=－.∴cos4x=1－2sin22x=1－=－.3剖析：由已知首先消去γ是解題關(guān)鍵.解：由已知，得sinγ=sinβ－sinα，cosγ=cosα－cosβ.平方相加得（sinβ－sinα）2+（cosα－cosβ）2=1.∴－2cos（β－α）=－1.∴cos（β－α）=.∴β－α=177。.∵sinγ=sinβ－sinα＞0，∴β＞α.∴β－α=.評(píng)述：本題極易求出β－α=177。，如不注意隱含條件sinγ＞0，.1．剖析：=（α－）－（－β）.依上述角之間的關(guān)系便可求之.解：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜.故由cos（α－）=－，得sin（α－）=.由sin（－β）=，得cos（－β）=.∴cos（）=cos［（α－）－（－β）］=…=.∴cos（α+β）=2cos2－1=…=－.評(píng)述：在已知角的某一三角函數(shù)值而求另外一些角的三角函數(shù)值時(shí)，首先要分析已知和要求的角之間的關(guān)系，.2．分析：角之間的關(guān)系：（－x）+（+x）=及－2x=2（－x），利用余角間的三角函數(shù)的關(guān)系便可求之.解：∵（－x）+（+x）=，∴cos（+x）=sin（－x）.又cos2x=sin（－2x）=sin2（－x）=2sin（－x）cos（－x），∴=2cos（－x）=2=.3．已知關(guān)于的方程的兩根為，求：（1）的值；（2）的值；（3）方程的兩根及此時(shí)的值． ②①解：（1）由根與系數(shù)的關(guān)系，得，∴原式．（2）由①平方得：，即，故．（3）當(dāng)，解得，∴或， ∵，∴或．4． 已知為一三角形的內(nèi)角，求的取值范圍．解：．∵為一三角形內(nèi)角，∴的取值范圍是．5．已知6sin2α+sinαcosα－2cos2α=0，α∈［，π），求sin（2α+）的值.分析：本題考查三角函數(shù)的基本公式以及三角函數(shù)式的恒等變形等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算技能.解法一：由已知（3sinα+2cosα）（2sinα－cosα）=03sinα+2cosα=0或2sinα－cosα=≠0，所以α≠，即α∈（，π）.于是tanα＜0，∴tanα=－.sin（2α+）=sin2αcos+cos2αsin=sinαcosα+（cos2α－sin2α）=+=+.將tanα=代入上式得sin（2α+）=+=－+，即為所求.解法二：由已知條件可知cosα≠0，則α≠，∴原式可化為6tan2α+tanα－2=0，即（3tanα+2）（2tanα－1）=0.又∵α∈（，π）.∴tanα＜0，∴tanα=－.下同解法一.，cos+sin=－，求sin－cos和sin2+cos2的值.解：由cos+sin=－平方得1+2sincos=，即sinα=，cosα=－.此時(shí)kπ+＜＜kπ+.∵cos+sin=－＜0，sincos=＞0，∴cos＜0，sin＜0.∴為第三象限角.∴2kπ+＜＜2kπ+，k∈Z.∴sin＜cos，即sin－cos＜0.∴sin－cos=－=－，sin2α+cos2α=2sinαcosα+1－2sin2α=.評(píng)述：由三角函數(shù)值判斷的范圍是關(guān)鍵.7．解：（1）因?yàn)椋鸡粒?，所以?α＜3π.所以cos2α=－=－.由cos2α=2cos2α－1，所以cosα=－.（2）因?yàn)閟in（α－x）－sin（α+x）+2cosα=－，所以2cosα（1－sinx）=－.所以sinx=.因?yàn)閤為銳角，所以x=.8． 南通P：76【同步訓(xùn)練】滿足cosαcosβ=+sinαsinβ的一組α、β的值是 （ ）=，β= =，β= =，β= =，β=解析：由已知得cos（α+β）=，代入檢驗(yàn)得A. 答案：A已知tan（+α）=2，則的值為 .解：由tan（+α）==2， 得tanα=.于是====.在中，則 ．要使sinα－cosα=有意義，則應(yīng)有 ( )≤ ≥－1
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