第三講函數(shù)的基本性質(zhì)(編輯修改稿)
2025-07-21 08:14 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ∈[0，2]時，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]時f(x)的表達(dá)式。解：由條件可以看出，應(yīng)將區(qū)間[－4，0]分成兩段考慮：①若x∈[－2，0]，－x∈[0，2]，∵f(x)為偶函數(shù)，∴當(dāng)x∈[－2，0]時，f(x)= f(－x)=－2x－1,②若x∈[－4，－2，∴4+ x∈[0，2，∵f(2+x)+ f(2－x)，∴f(x)= f(4－x)，∴f(x)= f(－x)= f[4－（－x）]= f(4+x)=2（x+4）－1=2x+7；綜上，點(diǎn)評：結(jié)合函數(shù)的數(shù)字特征，借助函數(shù)的奇偶性，處理函數(shù)的解析式。題型三：判斷證明函數(shù)的單調(diào)性例5．（2001天津，19）設(shè)，是上的偶函數(shù)。（1）求的值；（2）證明在上為增函數(shù)。解：（1）依題意，對一切，有，即?！鄬σ磺谐闪?，則，∴，∵，∴。（2）(定義法)設(shè)，則，由，得，∴，即，∴在上為增函數(shù)。（導(dǎo)數(shù)法）∵，∴∴在上為增函數(shù)點(diǎn)評：本題用了兩種方法：定義法和導(dǎo)數(shù)法，相比之下導(dǎo)數(shù)法比定義法更為簡潔。例6．已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，對x∈R有f(x)0，且f(5)=1，設(shè)F(x)= f(x)+，討論F (x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。解：這是抽角函數(shù)的單調(diào)性問題，應(yīng)該用單調(diào)性定義解決。在R上任取xx2，設(shè)x1x2，∴f(x2)= f(x1)， ∵f(x)是R上的增函數(shù)，且f(10)=1，∴當(dāng)x10時0 f(x)1, 而當(dāng)x10時f(x)1。① 若x1x25，則0f(x1)f(x2)1, ② ∴0 f(x1)f(x2)1,∴0, ∴F (x2) F(x1)；②若x2 x15，則f(x2)f(x1)1 , ∴f(x1)f(x2)1, ∴0, ∴ F(x2) F (x1)；綜上，F(xiàn) (x)在（－∞，5）為減函數(shù)，在（5，+∞）為增函數(shù)。點(diǎn)評：該題屬于判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性。抽象函數(shù)問題是函數(shù)學(xué)習(xí)中一類比較特殊的問題，其基本能力是變量代換、換元等，應(yīng)熟練掌握它們的這些特點(diǎn)。題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例7．（2001春季北京、安徽，12）設(shè)函數(shù)f（x）＝（a＞b＞0），求f（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明f（x）在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性。.解：在定義域內(nèi)任取x1＜x2，∴f（x1）－f（x2）＝，∵a＞b＞0，∴b－a＜0，x1－x2＜0，只有當(dāng)x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2時函數(shù)才單調(diào)．當(dāng)x1＜x2＜－b或－b＜x1＜x2時f（x1）－f（x2）＞0．∴f（x）在（－b，＋∞）上是單調(diào)減函數(shù)，在（－∞，－b）上是單調(diào)減函數(shù)．點(diǎn)評：本小題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的基本知識。對于含參數(shù)的函數(shù)應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。例8．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知若試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，分解基本函?shù)為、顯然在上是單調(diào)遞減的，而在上分別是單調(diào)遞減和單調(diào)遞增的。根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：所以函數(shù)在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減。（2）解法一：函數(shù)的定義域?yàn)镽，分解基本函數(shù)為和。顯然在上是單調(diào)遞減的，上單調(diào)遞增；而在上分別是單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的。且，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則：所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。解法二：， 令 ，得或，令 ，或∴單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為。點(diǎn)評：該題考察了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。要記住“同向增、異向減”的規(guī)則。題型五：單調(diào)性的應(yīng)用例9．已知偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。解：∵f(2)=0,∴原不等式可化為f［log2(x2+5x+4)］≥f(2)。 又∵f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，∴f(x)在(－∞
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