【文章內容簡介】 )、(c)、(d) (e)(f)所示。、、。(a) 原始圖像 (b) 64*18無噪聲投影數(shù)據(jù) 原始圖像和投影數(shù)據(jù)(a)迭代20000次圖像 (b)迭代15000次圖像 (c)迭代10000次圖像(d)迭代5000次圖像 (e)迭代2000次圖像 (f)迭代1500次圖像 無噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，18個投影角度下各重建圖像(a) 原始圖像 (b) 64*36無噪聲投影數(shù)據(jù) 原始圖像和投影數(shù)據(jù)(a) 迭代20000次圖像 (b) 迭代15000次圖像 (c) 迭代10000次圖像(d) 迭代5000次圖像 (e) 迭代2000次圖像 (f) 迭代1500次圖像 無噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，36個投影角度下各重建圖像 有噪聲影響本文加入的噪聲同樣是以投影數(shù)據(jù)矩陣為參數(shù)的泊松噪聲。設平行射束數(shù)量為64條，當投影角度為18時，(a)(b)所示。利用ARTⅡ重建算法分別迭代20000次、15000次、10000次、5000次、(a)、(b)、(c)、(d) (e)(f)所示。、、。當投影角度數(shù)量為36時，(a)(b)所示，(a)、(b)、(c)、(d) (e)(f)所示。、、。(a) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (b) 64*18有噪聲平行投影 無噪聲時的投影數(shù)據(jù)和有噪聲影響的投影數(shù)據(jù) (a) 迭代20000次圖像 (b) 迭代15000次圖像 (c) 迭代10000次圖像(d) 迭代5000次圖像 (e) 迭代2000次圖像 (f) 迭代1500次圖像 有噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，18個投影角度下各重建圖像由以上的重建結果可以看出，與濾波反投影算法不同，即使在射束數(shù)量和投影角度較少的條件下，ARTⅡ算法仍可以有效地進行圖像重建，重建出原圖像的大概面貌,且有一定地抗噪聲能力，而其重建時間大于濾波反投影重建算法所用的時間。由于應用于重建的數(shù)據(jù)量較小，重建圖像的精度不高，不能重建出原圖像的所有細節(jié)。同時我們可以看到，隨著投影角度的增加，用于重建的數(shù)據(jù)量增大，由此可以得到，平行射束數(shù)量一定時，圖像重建效果隨著投影角度增加會越來越好。(a) 原始圖像的投影數(shù)據(jù) (b) 64*36有噪聲平行投影 無噪聲時的投影數(shù)據(jù)和有噪聲影響的投影數(shù)據(jù)(a) 迭代20000次圖像 (b) 迭代15000次圖像 (c) 迭代10000次圖像 (d) 迭代5000次圖像 (e) 迭代2000次圖像 (f) 迭代1500次圖像 有噪聲時，平行射束數(shù)量為64條，36個投影角度下各重建圖像4 統(tǒng)計重建及其計算機實現(xiàn) 統(tǒng)計重建方法概述由于醫(yī)用CT對掃描重建的速度和實時性的要求，目前都采用濾波反投影的方法利用硬件進行并行的重建。由于該方法對數(shù)據(jù)完備性和噪聲的要求限制了在數(shù)據(jù)不完備時的應用，掃描速度的進一步提高和患者所受照射劑量的降低。因此隨著計算機的計算速度的不斷提高，尋求一種在一個可以接受的速度下將統(tǒng)計迭代的方法用于CT的重建以有效的降低照射劑量提高掃描速度的方法將是一項很有意義的工作[13]。統(tǒng)計重建算法對噪聲的魯棒性和對數(shù)據(jù)的完備要求更優(yōu)，因此成為了現(xiàn)階段重建方法的研究方向。但由于其計算的復雜性使得較慢的速度和占用大量的內存不能滿足CT對實時性的要求。需要進一步的優(yōu)化和簡化算法，以提高重建的速度，而目前的研究重點也集中于這方面。以下列舉了統(tǒng)計方法重建的優(yōu)缺點：優(yōu)點：(1) 可以利用與物體相關的約束條件；(2) 可以利用精確的物理模型來減少偏差，提高圖像的精確性；(3) 可以利用適當?shù)慕y(tǒng)計模型來降低圖像的噪聲；(4) 可以利用其他的與特定系統(tǒng)相關的邊界條件；(5) 可在不規(guī)則采樣和數(shù)據(jù)缺失情況下重建出圖像，不要求標準幾何模型。缺點：(1) 計算量很大，不能實時重建；(2) 模型與解析重建和代數(shù)重建相比非常復雜；(3) 與重建模型相對應的算法實現(xiàn)也相對復雜。 統(tǒng)計重建方法原理重建圖像的過程其實就是一個求解的過程。已知條件為系統(tǒng)的物理模型，統(tǒng)計模型以及系統(tǒng)的輸入，輸出，需要確定的為模型中的參數(shù)。在重建過程中應該首先確定能夠正確反映成像系統(tǒng)的物理模型和統(tǒng)計模型，這也就是確定了輸入輸出的關系。然后就是利用已有的關系確定行之有效的求解方法。：圖像的離散化模型系統(tǒng)的物理幾何模型測量的統(tǒng)計模型（泊松分布）優(yōu)化準則（似然函數(shù)）設計求解方法 統(tǒng)計重建過程 其中前兩步過程同迭代(ART)算法，在此不再詳述。在此將重點討論后的三個步驟。 統(tǒng)計模型 在之前對統(tǒng)計重建方法的介紹中提到了適當?shù)慕y(tǒng)計模型可以降低圖像的噪聲水平，這是統(tǒng)計重建的一個優(yōu)勢所在。而統(tǒng)計模型的建立是在對特定成像系統(tǒng)的特性的統(tǒng)計結果和一定的先驗知識的基礎之上的。這樣才能使得模型正確的反映系統(tǒng)的統(tǒng)計學規(guī)律，合理的融合先驗知識，有效的提高圖像質量[17]。本論文不對詳細的統(tǒng)計學過濾的推導過程做過多闡述，但是值得一提的是對于CT，這些推倒的前提都是基于X射線是服從泊松分布的。假設一條投影線上的觀測數(shù)據(jù)滿足泊松分布，直接給出其統(tǒng)計模型： () 其中代表一個探測器上的投影數(shù)據(jù)，為探測器序列；為重建圖像的向量表示，為像素序列；為投影矩陣，表示從第個像素放射出的光子被第個探測器接收到的概率，且,。 優(yōu)化準則 統(tǒng)計重建問題的“病態(tài)性”使只能在一定的優(yōu)化準則下考慮問題的求解。最常用的似然函數(shù)最大似然準則(maximum likelihood，ML)和最大后驗概率準則(，MAP)，也稱為“罰”函數(shù)似然準則(penalized—likelihood，PL)。ML準則僅能在一定迭代次數(shù)范圍內起到抵抗噪聲的作用，然而隨著迭代深入，該準則不能有效的抑制噪聲，圖像質量將變差。MAP準則通過引入先驗知識彌補了ML的缺點，降低了重建問題的“病態(tài)性”。下面本文將對這兩個優(yōu)化準則分別進行闡釋。 最大似然準則(ML)重建算法EM（Expectation Maximization），被廣泛應用于研究不完全數(shù)據(jù)極大似然估計的一種方法。1982年，Shepp和Vardi將EM算法引入到PET圖像重建當中。EM算法由于收斂解非負，迭代形式便于計算機實現(xiàn)，在一定的迭代次數(shù)內有較強的噪聲抑制能力等優(yōu)點，已經(jīng)成為隨機圖像重建的有力工具。另一方面，EM算法是從統(tǒng)計角度入手，是一種參數(shù)估計方法，因而以概率的形式來討論由此重建的圖像的誤差問題。最大似然估計的基本思想是: 在對被估計的未知參數(shù)沒有任何先驗知識的情況下，利用已知的若干觀測值估計該參數(shù)。因此,在使用最大似然估計方法時,被估計的參數(shù)假定是常數(shù)，但未知。而已知的觀測數(shù)據(jù)則是隨機變量。未知參數(shù)的最大似然估計可記作: ()式中，表示隨機變量的個觀測值，令矢量形式，隨機變量的概率密度函數(shù)有未知參數(shù)決定，記為。最大似然估計就是求使似然函數(shù)最大化的估計值[18]。最大似然最大期望值法圖像重建（Maximization Likelihood Expectation Maximization，MLEM）旨在尋找與測量的投影數(shù)據(jù)具有最大似然（ML）的估計解，其迭代過程是由最大期望值算法（EM）來實現(xiàn)的。EM算法認為在更高維的“完備數(shù)據(jù)空間”(plete data space)要比在投影數(shù)據(jù)空間中求解問題更容易。這里完備數(shù)據(jù)空間定義為其中表示從第個單元發(fā)射而被第個探測器探測到的光子數(shù)。MLEM算法的迭代過程分E步和M步，E步在空間上對似然函數(shù)求條件期望，M步通過最大化對圖像向量進行估計。最大化的過程要比直接最大化似然函數(shù)容易。其代理函數(shù)是通過求似然函數(shù)在完備數(shù)據(jù)空間上的條件期望得到。對于本文研究的圖像重建，可先將圖像區(qū)域離散化為像素的數(shù)字圖像。與每一個象素相對應的估計參數(shù)為，它與X射線在該處的衰減系數(shù)成正比；表示圖像矢量，其第個元素表示。假設對物體斷面進行掃描后一共獲得了個投影, 表示沿著第條投影線所探測到的投影值。如果表示第個像素對第條射線的(衰減)貢獻因子那么就是期望值為的Poisson分布的一個樣本，其中 ()此處是標準內積；是的系統(tǒng)矩陣轉置矩陣的第個列向量。這里有,。貢獻因子在重建圖像之前可以通過掃描結構計算出來，具體方法同迭代重建算法一章中的系統(tǒng)矩陣的求解方法。然后我們通過如下的方法來實現(xiàn)圖像的重建：給定一組測量得到的投影矢量，找到一組圖像矢量使得概率有最大值。對投影值的各個統(tǒng)計變量是相互獨立的，由Bayes準則，可以轉化為求的最大值，即： ()為了使得最大，對式()兩邊取對數(shù)，等效于使其對數(shù)最大，得到： () 本文中前面已經(jīng)提到，測量得到的投影值就是期望值為的Poisson分布的一個樣本。這個Poisson分布由可以表示為： ()由于測量得到投影值只依賴于基于圖像矢量的它的期望值，因此又有： ()ML方法就是在限制為非負條件下使得這個概率最大，也就是使其似然函數(shù)大。聯(lián)合式()、()、()和()，我們可以得到式()的似然函數(shù)： ()令,可以得到圖像矢量的估計值： () 最大后驗準則(MAP)重建算法最大似然期望最大(MLEM)，但MLEM 有兩點不足：一、一定迭代次數(shù)以后噪聲隨著迭代增多而增多。ML類算法的迭代修正準則是投影的估計值與原始采集的投影數(shù)據(jù)越接近越好，而投影的估計值是無約束的，因而會出現(xiàn)重建圖像中的噪聲不斷增加，而投影的估計值卻與原始投影數(shù)據(jù)越來越接近的情況。二、重建需要太長時間。最大后驗概率重建算法(maximum a posteriori, MAP)根據(jù)圖像的先驗知識分布則可以有效的抑制噪聲。MAP重建算法在重建過程中施加一定的先驗約束來解決這一問題，即加入一項對圖像平滑度（或者圖像邊緣特性、像素非負性約束等）的估計利用該估計對圖像中的噪聲施加一定的約束,以達到抑制噪聲、平滑圖像或者加強圖像邊緣等的目的。MAP重建算法是一種貝葉斯重建(Bayesian Reconstruction, BR)算法,該類算法既考慮了投影數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性,又充分利用了源、射線的先驗知識分布，多次迭代后仍可以很好的抑制噪聲而且可以克服ML重建算法收斂慢的缺點。MAP重建算法相當于在ML類算法的基礎上多了一項約束即先驗知識分布，所以能夠更準確地描述投影數(shù)據(jù)的物理模型，得到質量更好的重建圖像。同MLEM算法，令矢量和矢量分別代表投影數(shù)據(jù)和重建圖像，MAP類算法采用的重建準則為求在已知條件下尋求使下面的后驗概率最大 () 其中為先驗知識分布,以Gibbs先驗知識為例。對于Gibbs先驗知識分布： () 是Gibbs參數(shù),決定了Gibbs prior對重建圖像的影響程度, 是正則化常數(shù), 為圖像的能量函數(shù), 是由鄰域內勢函數(shù)(為鄰域中兩像素值之差)相加得到： () 其中為權重因子，代表鄰域，和為鄰域中像素和像素的像素值。MAP類算法尋求式()的后驗概率最大，等同于下式中尋求對數(shù)后驗概率最大： ()其中為式()中分母和式()中的貢獻，為常數(shù)。則對式()運用泊松統(tǒng)計學，給出了如下的迭代公式： ()其中為像素發(fā)出光子被投影單元檢測到的概率，為投影單元投影值。上式和MLEM迭代公式相似，在分母上多一項。當值趨于零，變成MLEM算法是MAP類算法的一個特例。我們采用馬爾可夫隨機場(Markov random fields, MRF)描述圖像,不同的先驗知識分布模型里又可選擇不同的勢函數(shù)。,。 高斯先驗知識分布 以下是先驗知識分布里不同的鄰域的選擇方法廣義高斯先驗分布在鄰域類型確定后選擇不同的勢函數(shù)=零階鄰域 泊松先驗知識分布一階鄰域吉布斯先驗知識分布先驗知識分布二階鄰域伽馬先驗知識分布混合伽馬先驗知識分布最大熵先驗知識分布小波模型先驗知識分布 先驗知識分布 部分常用勢函數(shù) 抑制噪聲并能保護圖像邊緣，凹函數(shù)勢函數(shù) 特點 只能在抑制噪聲和保護圖像邊緣中折衷選取，凹函數(shù) 抑制噪聲并能保護圖像邊緣，凸函數(shù)