【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 慮產(chǎn)生的反射縱波和透射縱波、反射橫波和透射橫波的情況。地震子波—震源附近地震波以沖擊波的形式傳播，當(dāng)傳播到一定距離時(shí)，基于迭代再加權(quán)最小二乘的地震資料稀疏反演方法6波形逐漸穩(wěn)定，此時(shí)的地震波被稱為地震子波。進(jìn)行反演時(shí)，求取地震子波的方法一般有統(tǒng)計(jì)法和參數(shù)法。統(tǒng)計(jì)法是從實(shí)際地震記錄中統(tǒng)計(jì)出地震子波的振幅譜和相位譜，從而生成地震子波；參數(shù)法是給出某種地震子波類型的參數(shù)而生成地震子波（如 Ricker）子波。Ricker 子波是最常用的零相位子波，在時(shí)間域表示為 （211） 2)(21()tvMettf???其中， 是主頻。零相位子波分辨力較高，最有利于解釋。Mv 由定義可見(jiàn)，只有層狀介質(zhì)的波阻抗存在差異時(shí)反射系數(shù)才不為 0。當(dāng)子波遇到波阻抗界面后，會(huì)發(fā)生反射，從而被接收到。由于是按照時(shí)間序列排列的，以下分別記 為接收到的地震數(shù)據(jù)、子波、反射系數(shù)按照時(shí)間)(,)(trwtD的序列，并已經(jīng)過(guò)離散化，則按照定義，可以得到： )1().)1(2)(1)( Ltrwtrtrtb ?????L 表示子波的長(zhǎng)度。數(shù)學(xué)上定義此運(yùn)算為褶積；下記“*”為褶積運(yùn)算符，則上式可以表示為 （212）rwb*? 因此，地震記錄實(shí)際上是由反射系數(shù)與子波的褶積得到的。如果將子波作為輸入信號(hào)，地下介質(zhì)作為一個(gè)線性時(shí)不變的“系統(tǒng)” （或者濾波器） ，接收信號(hào)為信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后的輸出，則該褶積可以看做是一個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng)過(guò)程（陸基孟，1993） 。該響應(yīng)不但包括一次反射還包括多次放射。假定震源波形在向地下傳播的過(guò)程中不變，因此褶積模型不包括固有的吸收。地震記錄可以看作是由震源子波與地下反射率函數(shù)、多次反射、儀器等諸多因素的褶積的過(guò)程。雖然可以給合成地震記錄加上隨機(jī)噪音，但是這里的用來(lái)建立反褶積濾波器的褶積模型暫時(shí)不包括隨機(jī)噪音。第二章 波阻抗與稀疏反演概述7圖 21 模擬的反射系數(shù)、子波和合成的地震記錄 如果能求得一個(gè)算子 是子波 的逆，即： 。則它與地震)(tb)(tw)(1twty??記錄 褶積時(shí)，可由（）式得)(tD （21)()()()(1 trtrtty ???????3）即地震記錄 和子波的逆進(jìn)行褶積可以得到反射系數(shù)，這個(gè)過(guò)程叫做反褶積。)(t由以上過(guò)程可以看到，反射系數(shù)序列中含有波阻抗隨時(shí)間變化的信息，這就提供了速度和密度隨時(shí)間變化的信息，因此可得到地層、巖性及構(gòu)造在地下空間分布的信息，在有利條件下還可得到巖石孔隙率、滲透率、孔隙流體性質(zhì)（油、氣、水）乃至地層壓力的信息。波阻抗反演需要求出反射系數(shù)，因而其反演就是已知地震記錄 ，由提取的子波 反褶積得到反射系數(shù)序列 。)(tb)(tw)(tr在使用炸藥作為震源時(shí)，震源實(shí)際是一個(gè) δ 脈沖，由于地層的濾波作用，震源信號(hào)在地下傳播過(guò)程中高頻被衰減，能量被吸收，變成一個(gè)子波，所以在地震勘探中觀測(cè)的信號(hào)其峰值頻率往往小于 100Hz，這就導(dǎo)致了記錄信號(hào)的分辨率降低，記錄到的反射是減弱了強(qiáng)度的寬脈沖，并且通常隨著反射時(shí)間的增加信號(hào)越寬和越弱。子波在地層中傳播，攜帶著反射系數(shù)序列這種有用的地質(zhì)基于迭代再加權(quán)最小二乘的地震資料稀疏反演方法8信息返回地面，只有通過(guò)反褶積消除子波才能恢復(fù)反射系數(shù)序列；同時(shí)反褶積可以壓縮地震子波，壓制交混回響和短周期多次波，從而提高時(shí)間分辨率。反褶積可應(yīng)用于疊前資料，也可應(yīng)用于疊后資料。理想的反褶積應(yīng)該壓縮子波并消除多次波，在地震道內(nèi)只留下地層反射系數(shù)。子波壓縮可以通過(guò)將反濾波器作為反褶積算子來(lái)實(shí)現(xiàn)，反濾波器可以將地震子波轉(zhuǎn)變成尖脈沖，每個(gè)脈沖的強(qiáng)弱與界面的反射系數(shù)的大小成正比，脈沖的極性反映界面反射系數(shù)的符號(hào)。當(dāng)應(yīng)用于地震合成記錄時(shí)，反濾波輸出應(yīng)為地層脈沖響應(yīng)。 反射系數(shù)—根據(jù)彈性波理論，當(dāng)一個(gè)縱波入射到波阻抗不同的兩種介質(zhì)分界面時(shí)，一般要產(chǎn)生反射縱波、反射橫波、透過(guò)縱波、透過(guò)橫波四種新的波動(dòng)。在實(shí)際生產(chǎn)工作中，主要研究縱波反射波。界面傾角不大時(shí)，可近似認(rèn)為是垂直入射。在垂直入射的情況下，將會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)化，縱波入射時(shí)我們將只考慮產(chǎn)生的反射縱波和透射縱波、反射橫波和透射橫波的情況。這時(shí)界面的反射系數(shù)定義為 （214）1212VZARF?????其中 AF，A R 分別表示反射振幅和入射振幅。而 ； ； 分別對(duì)應(yīng)2,Z21,?21,V上層和下層的波阻抗、密度、速度。當(dāng)平面波非垂直入射時(shí)，反射系數(shù)將隨著入射角的變化而變化，這種變化與界面兩邊介質(zhì)的波阻抗和各種彈性參數(shù)有關(guān)，特別是與介質(zhì)的泊松比有很密切的關(guān)系（Zoppritz 方程，入射角等于零是它的特例） 。褶積模型—根據(jù)介質(zhì)模型假設(shè)不同，波阻抗反演分為基于波動(dòng)方程的反演和基于褶積模型的反演兩大類。前者由于算法結(jié)構(gòu)復(fù)雜、計(jì)算量大、抗干擾差，很難獲得一個(gè)穩(wěn)定解，在實(shí)際中未得到廣泛應(yīng)用。目前主要使用基于褶積模型的直接反演方法，它算法簡(jiǎn)單，對(duì)地震噪音敏感性小，但一般情況下并不一定能得到一個(gè)穩(wěn)定的解。（1）褶積：在時(shí)域中為了便于求得線性時(shí)不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，如果能夠?qū)⑷我饧?lì)信號(hào)分解為單元信號(hào)，并使每一單元信號(hào)在系統(tǒng)中產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)易于求得，那么根據(jù)系統(tǒng)的線性時(shí)不變特性，就可以利用疊加原理很容易求得原信號(hào)在系統(tǒng)中產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)對(duì)單位沖擊函數(shù) 的零狀態(tài)響應(yīng)為)(t?，對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，當(dāng)激勵(lì)是強(qiáng)度為 的延時(shí)沖擊函數(shù) 時(shí)，)(th k)0tk?第二章 波阻抗與稀疏反演概述9其零狀態(tài)響應(yīng)為 ，任意信號(hào) 可表示為)(0tkh?)(te （215）???dtktetekt )((lim)(0 ????????????作用下系統(tǒng)響應(yīng) 為)(t )(tr (216)?dthetkthetkt )()(li)(0 ????????????其中 為積分變量， 為參變量，上式褶積積分又可記作：? （217）)(*)(tetr（2）模型產(chǎn)生：水平層狀介質(zhì)模型是共中心點(diǎn)（CMP）疊加方法的基礎(chǔ)，在CMP 疊加中，對(duì)分享同一炮檢中點(diǎn)的一些地震道進(jìn)行正常時(shí)差校正求和，產(chǎn)生一個(gè)逼近 1D 層狀介質(zhì)垂直入射平面波響應(yīng)的求和道。本著這種數(shù)據(jù)，形成了一種地震道模型。假定從波阻抗不連續(xù)界面反射（或透射）的子波與入射子波具有同樣的波形，一個(gè)地震道順序記錄這樣一系列連續(xù)子波，也就記錄了波阻抗不連續(xù)面。地震道可以簡(jiǎn)單地看成是每一個(gè)獨(dú)立的反射界面疊加的結(jié)果，這里每個(gè)反射界面都認(rèn)為是一個(gè)濾波器。地震記錄可認(rèn)為是震源子波與介質(zhì)反射系數(shù)（即地下垂直入射反射系數(shù)序列）的褶積。1）時(shí)間域表達(dá)：連續(xù)情形： (218))()())()()( tedtrwtetrtwtb ???????????其中 為地震子波， 為地震反射序列， 為地震記錄， 為隨機(jī)噪音。 矩陣向量情形： （21Wrb9）其中 為地震反射系數(shù)向量， 為噪音列向量，??nrr,10??e為地震波記錄向量， 為子波陣，子波長(zhǎng)度為 ,),(bb? L基于迭代再加權(quán)最小二乘的地震資料稀疏反演方法10 ?????????????? LLLLnL W?? 21212121)1(2）頻率域表達(dá)： 連續(xù)情形： （21)()(??erWb??10）各表示傅立葉變化下的： 地震記錄， 子波， 反射系數(shù)， 噪音。re 波阻抗反演的分類波阻抗信息是聯(lián)系地質(zhì)和地球物理的重要媒介，其疊后計(jì)算數(shù)據(jù)量相對(duì)較少，在實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)用方便、效果明顯，因此通常的地震反演概念指的就是波阻抗反演。將地震剖面轉(zhuǎn)換成波阻抗剖面，不僅便于解釋人員將地震資料與測(cè)井資料連接對(duì)比，而且能有效地對(duì)儲(chǔ)層物性參數(shù)的變化進(jìn)行研究，從而得到物性參數(shù)在空間上的分布規(guī)律，對(duì)油氣的勘探和開(kāi)發(fā)有很重要的指導(dǎo)意義。對(duì)于波阻抗反演的重要性，一個(gè)很經(jīng)典的論述是著名的地球物理學(xué)家李慶忠院士所說(shuō)的“交到地質(zhì)人員手中的地震資料應(yīng)是作了反演的波阻抗剖面” 、 “波阻抗反演是高分辨率地震資料處理的最終表達(dá)形式” [25,26]。而常常被人們引用的美國(guó)阿莫克石油公司在墨西哥灣海上尋找非背斜油藏不斷取得成功的例子 [29]也印證了這一說(shuō)法。波阻抗反演是目前應(yīng)用最廣泛的儲(chǔ)層預(yù)測(cè)和油藏描述手段之一，其發(fā)展日新月異，計(jì)算方法多種多樣，這些方法由于其基于的數(shù)學(xué)物理模型不同，各有優(yōu)缺點(diǎn)，利用的基礎(chǔ)資料和能夠達(dá)到的反演效果是不同的。波阻抗反演方法有多種（Seislog,Velog,Delog,PIVT,BCI,ROVIM,SLIM,PARM 和 Strata） [14],概括起來(lái)有兩大類：基于反射系數(shù)逆公式的直接反演和基于正演模型的迭代反演。迭代反演又可以分為無(wú)井條件下的廣義性反演（GLI）和有井條件下的寬帶約束第二章 波阻抗與稀疏反演概述11反演（BCI） [33]。還有一些屬于非線性反演范疇的方法，如混沌理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。（1）依據(jù)算法的實(shí)現(xiàn)方式分為：基于反褶積的反演，包括道積分、遞歸、廣義線性、稀疏脈沖反演等；基于波動(dòng)方程的反演，包括 Born 反散射反演等；基于隨機(jī)過(guò)程的反演，包括隨機(jī)反演、隨機(jī)模擬、模擬退火反演等；基于特征分析的反演，包括特征反演、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演等；基于動(dòng)力學(xué)特征的反演，包括混沌反演等（2）按測(cè)井和地震的相對(duì)作用：無(wú)井反演，包括道積分等；地震為主的測(cè)井約束類反演，包括遞歸反演、廣義線性、寬帶約束反演、稀疏脈沖、模擬退火反演等；測(cè)井為主的統(tǒng)計(jì)類反演，包括隨機(jī)模擬、隨機(jī)反演等；井震約束聯(lián)合反演，包括特征反演、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反演等。這種分類方案體現(xiàn)了測(cè)井資料對(duì)反演約束作用的強(qiáng)弱，便于研究人員根據(jù)測(cè)井和地震基礎(chǔ)資料評(píng)價(jià)各種反演方法的反演效果。（3）依數(shù)學(xué)算法不同可分為：線性反演，包括道積分、遞歸反演、廣義線性、寬帶約束反演、稀疏脈沖等；非線性反演，包括隨機(jī)模擬、隨機(jī)反演等。 稀疏反演方法 常規(guī)反褶積得到的地震資料分辨率低，由于地震子波僅有有限寬度的頻譜，而反射系數(shù)序列具有無(wú)限寬度的頻譜，使得利用地震數(shù)據(jù)求取反射系數(shù)序列具有高度的不適定性，特別是具有無(wú)窮多個(gè)解能夠擬合地震數(shù)據(jù)。此外地震數(shù)據(jù)往往含有隨機(jī)噪聲，會(huì)使得地震反演具有不穩(wěn)定性。為了提高地震數(shù)據(jù)的分辨率，更客觀地反映地下介質(zhì)的分布規(guī)律，需從地震數(shù)據(jù)中可靠地消除地震子波的影響，這就要求對(duì)地震反演問(wèn)題進(jìn)行正則化處理或加入先驗(yàn)知識(shí)加以約束?？紤]到地球介質(zhì)沉積過(guò)程的成層特征，可合理假設(shè)反射系數(shù)序列具有一定的稀疏性，而稀疏性正是各沉積地層厚度不同特征的數(shù)學(xué)表征，即利用等時(shí)間間隔表示反射系數(shù)序列時(shí)，反射系數(shù)序列中某些時(shí)刻的反射系數(shù)肯定為零。利用反射系數(shù)序列稀疏性，實(shí)現(xiàn)地震數(shù)據(jù)的反演，可在地震數(shù)據(jù)含有噪聲條件下，有效地消除地震子波的影響，提高地震數(shù)據(jù)分辨能力，提高對(duì)地下介質(zhì)真實(shí)分布情況的刻畫能力?？梢哉f(shuō)，地震數(shù)據(jù)的稀疏反演構(gòu)成當(dāng)前提高地震分辨能力的主要途徑?；诘偌訖?quán)最小二乘的地震資料稀疏反演方法12 匹配追蹤常規(guī)反褶積得到的地震資料分辨率低，子波及反射系數(shù)準(zhǔn)確度不高。因此為了提高分辨率，要求反射系數(shù)能夠稀疏化。但同時(shí)，稀疏化后的反射系數(shù)再經(jīng)過(guò)褶積過(guò)程會(huì)與原始數(shù)據(jù)產(chǎn)生偏差，導(dǎo)致信噪比降低。因此，需要尋求一種方法，在提高分辨率的同時(shí)信噪比不會(huì)顯著降低，使分離的子波及反射系數(shù)更接近真實(shí)情況。對(duì)于稀疏解的求取，一類常用的方法是匹配追蹤算法（Matching pursuit, MP） （ Davis et al，1997；Mallat et al，1993） 。對(duì)于常見(jiàn)的信號(hào)處理過(guò)程，通?？梢员磉_(dá)為 bAr?的形式，其中是 A 一個(gè) 變換矩陣，A 的每個(gè)列向量稱為一個(gè)原子。 b 是時(shí)nm?空域中的信號(hào)，r 是在變換域中的系數(shù)，是求解的對(duì)象。通常 A 是欠定的，所以存在無(wú)窮多滿足上式。匹配追蹤法作為一種貪婪算法，能夠迭代的求出最稀疏的。因?yàn)?b 表示為 A 的列向量的線性組合，所以最稀疏的表示方式是唯一的。令 是 A 的 列向量，將上式展開(kāi)得 。niA,.21 ,? nxxb????21匹配追蹤法的每次迭代包括兩步：1. 尋找當(dāng)前剩余的相關(guān)最大的列，然后求出當(dāng)前列的系數(shù)。2. 升級(jí)剩余，即由當(dāng)前的剩余，減去選出的列，得到新的剩余。首先令初始剩余 ，令初始 r 為 0 向量。在第 k 步迭代，選出與當(dāng)前bR?0剩余 相關(guān)絕對(duì)值最大的列，即滿足：1?kR ????iknik ARA,maxrg11 之后求出第 k 步的剩余 ，求出新原子的系數(shù)kkkR??,11，然后繼續(xù)下一步的迭代。由此可見(jiàn)，匹配追蹤法算法簡(jiǎn)單，?????kr,1易行。缺點(diǎn)是循環(huán)量大，即使某個(gè)原子被選出來(lái)，但是其系數(shù)沒(méi)有經(jīng)過(guò)優(yōu)化，所以，在以后的迭代中還會(huì)選出這個(gè)原子。這樣就使得迭代步數(shù)增加。匹配追蹤類方法還包括正交匹配追蹤方法及其變形（Davis et 第二章 波阻抗與稀疏反演概述13al，1997；Donoho et al，2022；Tropp，2022） 。正交匹配追蹤法比匹配追蹤法多一個(gè)正交化的過(guò)程，一旦選出上述過(guò)程中要求的原子，就執(zhí)行正交化過(guò)程求出最優(yōu)系數(shù)，以后的迭代就不會(huì)再選這個(gè)原子，因此比匹配追蹤法效率要高。匹配追蹤方法保證每次迭代使得解更加逼近真實(shí)解。如果