【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。顯然，同一網(wǎng)絡(luò)按這三種方法所編節(jié)點(diǎn)號(hào)往往不相同。最嚴(yán)格的方法是動(dòng)態(tài)優(yōu)化法，但是其計(jì)算量比半動(dòng)態(tài)優(yōu)化法大得多。第三章 狀態(tài)估計(jì)電力系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)[15]一般包括網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浞治?、可觀測(cè)性檢驗(yàn)、估計(jì)計(jì)算和不良數(shù)據(jù)的處理四個(gè)基本步驟[16]。其中狀態(tài)估計(jì)算法是狀態(tài)估計(jì)程序的核心部分。本章首先介紹了在給出網(wǎng)絡(luò)接線和網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的條件下確定量測(cè)函數(shù)方程和量測(cè)誤差方差陣的過(guò)程，接著介紹了估計(jì)算法中最常用的方法類型：最小二乘算法[17, 18]。具體分析了幾種常見最小二乘算法的特點(diǎn)，指出了他們的優(yōu)缺點(diǎn)及其適應(yīng)范圍。第一節(jié) 狀態(tài)估計(jì)的數(shù)學(xué)模型一、狀態(tài)估計(jì)的量測(cè)方程電力系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)可以用節(jié)點(diǎn)電壓模值、電壓相角、線路有功與無(wú)功潮流、節(jié)點(diǎn)有功與無(wú)功注入等物理量來(lái)表示。狀態(tài)估計(jì)的目的就是應(yīng)用經(jīng)量測(cè)量得到的上述物理量通過(guò)估計(jì)計(jì)算來(lái)求得能表征系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的狀態(tài)變量。電力系統(tǒng)靜態(tài)運(yùn)行的狀態(tài)變量，通常取節(jié)點(diǎn)電壓模值與電壓相角。當(dāng)有一個(gè)平衡節(jié)點(diǎn)時(shí)，N個(gè)節(jié)點(diǎn)的電力系統(tǒng)狀態(tài)變量維數(shù)為n=2N?1。如果假定電氣接線與參數(shù)都已知，根據(jù)狀態(tài)變量不難求取各個(gè)支路的有功、無(wú)功潮流及所有節(jié)點(diǎn)的注入量測(cè)。在估計(jì)中，狀態(tài)變量需要借助量測(cè)方程式，即聯(lián)系狀態(tài)向量與量測(cè)向量之間函數(shù)關(guān)系來(lái)間接求得。在考慮有量測(cè)噪聲式，它們之間的關(guān)系可以寫成： 式中：為維的量測(cè)量向量；為量測(cè)函數(shù)向量。其中： 為量測(cè)噪聲向量，其表達(dá)式為： 很容易寫出狀態(tài)變量x與支路潮流的非線性函數(shù)表達(dá)式，稱為節(jié)點(diǎn)電壓量測(cè)方程式；也可以寫出節(jié)點(diǎn)注入量測(cè)功率與支路潮流的非線性函數(shù)表達(dá)式，稱之為功率量測(cè)方程式。表31列出五種基本的量測(cè)方式。第一種量測(cè)其維數(shù)為2N?1，顯然沒(méi)有任何冗余度，這在狀態(tài)估計(jì)中是不實(shí)際的。第五種量測(cè)方式具有最高的維數(shù)和冗余度，但是所需要的投資太高，也是不現(xiàn)實(shí)的。因此，實(shí)際電力系統(tǒng)量測(cè)方式是第一種到第四種的組合。表 31 五種基本量測(cè)方程測(cè)量方式z的分量方程式h(x)z的維數(shù)（1）除平衡節(jié)點(diǎn)外所有節(jié)點(diǎn)的注入功率式（34）式（35）2N?1（2）除了（1）的量測(cè)外再加上所有的節(jié)點(diǎn)的電壓模值式（34）式（35）式（314）3N?1（3）每條支路兩側(cè)的有功、無(wú)功潮流式（36）式（37）4M（4）除了（3）的量測(cè)外再加上所有的節(jié)點(diǎn)的電壓模值式（36）式（37）式（38）4M+N（5）完全的量測(cè)系統(tǒng)式（34）～式（315）4(M+ N)?1注：為節(jié)點(diǎn)數(shù)；為支路數(shù)。表31中的各種方程式，當(dāng)用圖31中所標(biāo)的量并以直角坐標(biāo)形式表示時(shí)，節(jié)點(diǎn)注入功率方程式為： 由節(jié)點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)的支路潮流為： 上四式中：、和分別為節(jié)點(diǎn)電壓的不合虛部；、和為圖21所示的p形路線原件模型中的參數(shù)；和為導(dǎo)納矩陣元素。 圖 31 p形線路元件模型圖圖 32 π形線路元件導(dǎo)納模型圖圖 33 變壓器等值電路圖交流電力系統(tǒng)中的潮流方程也可以用極坐標(biāo)形式表示。線路的等值電路如圖 32所示。節(jié)點(diǎn)注入量測(cè)功率量測(cè)的極坐標(biāo)形式為： 上式中： ，約定、分別為節(jié)點(diǎn)、的電壓幅值；和為導(dǎo)納矩陣元素。支路上節(jié)點(diǎn)側(cè)線路潮流的極坐標(biāo)表示形式為： 如變壓器的等值電路如圖 33 所示。變壓器支路側(cè)潮流方程的極坐標(biāo)形式為： 式中：為變壓器非標(biāo)準(zhǔn)變比。為標(biāo)準(zhǔn)側(cè)，變比為1；為非標(biāo)準(zhǔn)變比側(cè)，變比為；為變壓器標(biāo)準(zhǔn)測(cè)的電納，有，其中為變壓器標(biāo)準(zhǔn)側(cè)電抗。、和的關(guān)系如下： 二、量測(cè)誤差方差矩陣用量測(cè)量來(lái)估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)存在若干不確定或者不精確的因素，概括起來(lái)有以下內(nèi)容：（1）數(shù)學(xué)模型不完善。測(cè)量數(shù)學(xué)模型中通常往往包含有工程性的近似處理。除此以外，還可能存在模型中所采用參數(shù)不精確的問(wèn)題，還有當(dāng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變化時(shí)，所采用的結(jié)構(gòu)模型不能及時(shí)更新。上述問(wèn)題中屬于參數(shù)不精確的，通?？捎脜?shù)估計(jì)方法來(lái)解決；屬于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)錯(cuò)誤的，則采用網(wǎng)絡(luò)接線錯(cuò)誤的檢測(cè)與辨識(shí)來(lái)解決。（2）測(cè)量系統(tǒng)的系統(tǒng)誤差。這是由于儀表不精確，通道不完善所引起的。它的特點(diǎn)是誤差恒為正或負(fù)且沒(méi)有隨機(jī)性。一般這類數(shù)據(jù)屬于不良數(shù)據(jù)。清除這類誤差的方法，主要是依靠提高測(cè)量系統(tǒng)的精確性與可靠性，也可以用軟件方法來(lái)檢測(cè)與辨識(shí)，然后找出不良數(shù)據(jù)，并通過(guò)增加量測(cè)系統(tǒng)的冗余度來(lái)補(bǔ)救，但這僅是一種輔助手段。（3）隨機(jī)誤差。這是量測(cè)系統(tǒng)中不可避免的。其特點(diǎn)就是小誤差比大誤差出現(xiàn)的概率大，正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等，即概率密度曲線對(duì)稱于零值或誤差的數(shù)學(xué)期望為零。在狀態(tài)估計(jì)式（31）和（33）中的誤差向量就是指的這種誤差。測(cè)量的隨機(jī)誤差或噪聲向量v是均值為零的高斯白噪聲，由于不同時(shí)間的測(cè)量之間是不相關(guān)的，而且在一般情況下，不同測(cè)量的誤差之間也是不相關(guān)的。誤差的概率密度或者協(xié)方差很難由測(cè)量或計(jì)算來(lái)確定，因此在實(shí)際應(yīng)用中常用測(cè)量設(shè)備的誤差來(lái)確定。記每個(gè)測(cè)量誤差的方差為。測(cè)量誤差的方差陣，可以寫成每個(gè)測(cè)量誤差方差的對(duì)角陣。 各個(gè)量測(cè)值不可避免地帶有隨機(jī)誤差，量測(cè)值與被量測(cè)的物理量的真值之間總是有差異的。即使被測(cè)量的物理量沒(méi)有變化，重復(fù)測(cè)量得到的量測(cè)值也是不會(huì)完全相同的。如果根據(jù)理想的量測(cè)方程,由量測(cè)的量測(cè)值來(lái)求取系統(tǒng)的狀態(tài)量，并假定量測(cè)方程是線性的。這樣由量測(cè)量來(lái)求解狀態(tài)量就是解線性方程的問(wèn)題。一般量測(cè)量的維數(shù)大于狀態(tài)量的維數(shù)，即方程數(shù)大于未知量數(shù)。由于量測(cè)量的誤差，線性方程組存在矛盾方程而無(wú)解。但這樣的系統(tǒng)仍然是可觀測(cè)的，雖然不能直接解方程組，但可以用擬合的辦法根據(jù)帶誤差的量測(cè)量求出系統(tǒng)狀態(tài)在某種估計(jì)準(zhǔn)則意義下的最優(yōu)估計(jì)值。所謂優(yōu)化總是對(duì)一定的目標(biāo)函數(shù)來(lái)講的。對(duì)于給定的目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)狀態(tài)量的估計(jì)值為最優(yōu)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取極值。最小方差估計(jì)、極大驗(yàn)后估計(jì)和極大似然估計(jì)，這三種估計(jì)方法都是統(tǒng)計(jì)學(xué)的估計(jì)方法，雖然有較好的估計(jì)質(zhì)量，但是都要求事先掌握較多的隨機(jī)矢量的統(tǒng)計(jì)特性。這些要求在電力系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的實(shí)際計(jì)算中是不容易做到的，因此也是難于實(shí)現(xiàn)的。三、狀態(tài)估計(jì)準(zhǔn)則狀態(tài)估計(jì)準(zhǔn)則是指求解狀態(tài)變量的原則，電力系統(tǒng)采用的估計(jì)準(zhǔn)則大多是極大似然估計(jì)，即求解狀態(tài)變量使量測(cè)值被觀測(cè)到的可能性最大。根據(jù)給定不同的目標(biāo)函數(shù)，可以得到不同的估計(jì)準(zhǔn)則。目前有以下估計(jì)準(zhǔn)則：加權(quán)最小二乘準(zhǔn)則(WLS)、非二次準(zhǔn)則(nonquadratic)、加權(quán)最小絕對(duì)值(WLAV)、LMS (least median of squares)和LTS (least trimmed squares)。加權(quán)最小二乘準(zhǔn)則假設(shè)量測(cè)量嚴(yán)格服從正態(tài)分布；LMS、LTS假設(shè)量測(cè)量服從拉普拉斯分布；非二次準(zhǔn)則假設(shè)量測(cè)量服從Huber；分布。目前應(yīng)用最多的是WLS估計(jì)準(zhǔn)則。它的優(yōu)點(diǎn)是模型簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，對(duì)理想正態(tài)分布的量測(cè)量，估計(jì)具有最優(yōu)一致且無(wú)偏等優(yōu)良統(tǒng)計(jì)特性。在量測(cè)方程式中，由于量測(cè)誤差是一個(gè)隨機(jī)變量，所以量測(cè)量也是一個(gè)隨機(jī)變量。當(dāng)給定量測(cè)矢量以后，加權(quán)最小二乘方(WLS)狀態(tài)估計(jì)的目標(biāo)函數(shù)： 狀態(tài)估計(jì)就是求解滿足(317)式的狀態(tài)向量。第二節(jié) 狀態(tài)估計(jì)的基本方法一、無(wú)約束加權(quán)最小二乘法要使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值，加權(quán)最小二乘法(317)式所給出的狀態(tài)估計(jì)量必須滿足極值條件，即 其中 為雅可比矩陣非線性方程(318)式的解可以通過(guò)將其線性化再迭代求解線性化的方程求得。 得： 求解該式首先形成增益矩陣并對(duì)其進(jìn)行三角分解求得因子表。二、正交變換法線性加權(quán)最小二乘方式在每次迭代中的目標(biāo)函數(shù)為： 簡(jiǎn)化得： 設(shè)為一正交矩陣，即，為單位陣，使得 其中為一上三角矩陣，則(323)式可進(jìn)一步化為 當(dāng) 時(shí)，取得最小值。三、混合法由(323)式可得到增益矩陣 這樣方程(319)式可變?yōu)? 混合法就是用正交因子迭代求解方程(327)。四、帶約束的加權(quán)最小二乘法實(shí)際系統(tǒng)中往往存在T型接線。T型接線點(diǎn)處的虛擬量測(cè)量Z，其量測(cè)方程為 虛擬量測(cè)量的量測(cè)誤差為零，其權(quán)重在理論上應(yīng)為無(wú)窮大，其中i為T型接線點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)號(hào)。為了避免因權(quán)重值相差懸殊而導(dǎo)致方程數(shù)值不穩(wěn)定等式約束。根據(jù)線性規(guī)劃理論，引入拉格朗日乘子向量，則加權(quán)最小二乘法狀態(tài)估計(jì)的拉格朗日函數(shù)為 五、Hachtel矩陣法定義殘差方程 Hachtel方法是把殘差方程式作為等式約束增廣到帶約束的加權(quán)最小二乘法中，采用一組更大和更稀疏的方程組來(lái)描述被求解問(wèn)題，以提高數(shù)值穩(wěn)定性。則帶約束加權(quán)最小二乘方狀態(tài)估計(jì)的朗格朗日函數(shù)變?yōu)椋? 第三節(jié) 算法比較本節(jié)對(duì)上一節(jié)所述的狀態(tài)估計(jì)的五種算法從以下幾方面進(jìn)行比較：(1) 數(shù)值穩(wěn)定性。(2) 計(jì)算效率。(3) 實(shí)現(xiàn)復(fù)雜性。1. 正交變換法和無(wú)約束加權(quán)最小二乘法方程系數(shù)矩陣的條件數(shù)是方程病態(tài)條件的量度，由于無(wú)約束加權(quán)最小二乘法中增益矩陣的條件數(shù)是正交變換法中H陣條件數(shù)(大于l)的平方，所以正交變換法的數(shù)值穩(wěn)定性比無(wú)約束加權(quán)最小二乘法好。在(323)式中H陣的QR因子化比無(wú)約束加權(quán)最小二乘法中的增益矩陣G的因子化需要更多的計(jì)算量。此外，正交變換法不能利用有功和無(wú)功解耦有效地實(shí)現(xiàn)，而無(wú)約束加權(quán)最小二乘法的快速解耦算法非常有效，并在能量管理系統(tǒng)中得以廣泛應(yīng)用。解耦算法的主要優(yōu)點(diǎn)是只需在進(jìn)入循環(huán)迭代前因子化一次。正交矩陣Q是非稀疏的，并且它的維數(shù)會(huì)很高，對(duì)于量測(cè)冗余度較大的系統(tǒng)尤其如此。保留Q陣將需要很大的存貯量，如果在每次迭代時(shí)都形成QR因子，就失去解耦算法在計(jì)算上的優(yōu)越性，因此，正交變換法的解耦算法是不可行的。2. 混合法和正交變換法混合法和正交變換法的差別在于兩個(gè)方程(325)和(327)的求解過(guò)程不同。后一個(gè)方程的右端向量分為兩部分，一部分為遙測(cè)量，一部分為虛擬量測(cè)量，設(shè)虛擬量測(cè)量的權(quán)重值是遙測(cè)量權(quán)重值的倍，當(dāng)很大時(shí)，第二部分占優(yōu)勢(shì)，第一部分將會(huì)在迭代過(guò)程中被當(dāng)作舍入誤差去掉，在方程接近收斂時(shí)更是如此，這對(duì)方程的數(shù)值穩(wěn)定性很不利，所以混合法的數(shù)值穩(wěn)定性比正交變換法差。此外，混合法不需存貯Q陣，而且能夠很容易地用快速解耦算法實(shí)現(xiàn)。3. 帶約束的最小二乘法和無(wú)約束加權(quán)最小二乘法由于把虛擬量測(cè)量作為等式約束處理，帶約束的最小二乘法避免了因權(quán)重值相差懸殊而產(chǎn)生病態(tài)的可能性，從數(shù)值穩(wěn)定性來(lái)看，帶約束的最小二乘法比無(wú)約束加權(quán)最小二乘法好。帶約束的最小二乘法的系數(shù)矩陣是不定的，這就必須使用較為復(fù)雜的因子化方法。4. Hachtel方法和帶約束加權(quán)最小二乘法Hachtel方法和帶約束加權(quán)最小二乘法方法的系數(shù)矩陣都是對(duì)稱的，但都是不定的，都需要比較復(fù)雜的優(yōu)化和排序方法。Hachtel方法系數(shù)矩陣的維數(shù)比帶約束加權(quán)最小二乘法方法高，但這對(duì)于系數(shù)矩陣而言并