【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 左軌軌向右軌軌向水平注：測(cè)量時(shí)三大干線提速目標(biāo)為。圖3339為根據(jù)鐵科院軌道譜公式(314)，經(jīng)過(guò)單位變換（橫坐標(biāo)均變成波長(zhǎng)/，縱坐標(biāo)為功率譜密度/），利用MATLAB編程繪出中國(guó)三大干線譜，分別為高低、方向和水平不平順，譜線均用左軌參數(shù)作出。（具體程序詳見附錄1）圖37 三大干線左軌高低不平順軌道譜圖38 三大干線左軌軌向不平順軌道譜圖39 三大干線水平不平順軌道譜表34 鄭武線高速試驗(yàn)段軌道譜的特征參數(shù)參數(shù)ABCDEFG左軌高低右軌高低左軌軌向右軌軌向水平注：試驗(yàn)段最高試驗(yàn)速度達(dá)到。圖331312為根據(jù)鐵科院軌道譜公式(314)，經(jīng)過(guò)單位變換（橫坐標(biāo)均變成波長(zhǎng)/，縱坐標(biāo)為功率譜密度/），利用MATLAB編程繪出的鄭武線高速試驗(yàn)段軌道譜，分別為高低、方向和水平不平順。（具體程序詳見附錄1）圖310 鄭武線高速試驗(yàn)段左軌高低不平順軌道譜圖311 鄭武線高速試驗(yàn)段左軌軌向不平順軌道譜圖312 鄭武線高速試驗(yàn)段水平不平順軌道譜 軌道短波不平順功率譜以上的軌道不平順功率譜的波長(zhǎng)范圍都在幾米到幾十米范圍內(nèi)，所以它們一般只能滿足機(jī)車車輛和橋梁結(jié)構(gòu)的低頻隨機(jī)振動(dòng)分析，無(wú)法滿足軌道結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)研究的需要，因?yàn)榛上沦|(zhì)量和軌下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)主頻可達(dá)數(shù)百到數(shù)千赫茲。為此，1988年鐵科院王瀾在博士論文中對(duì)我國(guó)石太（石家莊—太原）線的軌道垂向短波不平順進(jìn)行了實(shí)測(cè)，測(cè)量方法是采用地面測(cè)量方式，用Colmar鋼軌磨耗測(cè)量?jī)x進(jìn)行測(cè)量，經(jīng)回歸分析，提出了我國(guó)鋼軌線路垂向短波不平順的功率譜密度函數(shù)的表達(dá)式，~1，即 (315)式中，的單位為；是空間頻率。 國(guó)內(nèi)外軌道譜比較分析由于我國(guó)至今沒(méi)有軌道譜標(biāo)準(zhǔn)，其中最具代表性的當(dāng)屬京滬、京廣、京哈三大干線軌道譜和鄭武線高速試驗(yàn)段軌道譜。然而，尚不清楚它們的基本特征是什么？與國(guó)外典型軌道譜有何差異？為了便于我們?cè)趧?dòng)力學(xué)分析中正確選取軌道隨機(jī)不平順激擾，有必要探明這些問(wèn)題。 普通線路軌道譜的比較首先比較常規(guī)速度運(yùn)行條件下的軌道譜。我國(guó)普通線路以京滬、京廣、京哈三大提速干線為例，其軌道譜適用于以下速度；國(guó)外普通線路軌道譜選取美國(guó)AAR標(biāo)準(zhǔn)五級(jí)線路譜（適用于以下速度）及六級(jí)線路譜（適用于以下速度）。為了方便比較，必須先將它們換算成同一單位（此處均換算成波長(zhǎng)－功率譜密度），對(duì)于公式(33)、(34)的美國(guó)譜和公式(314)的中國(guó)干線譜換算過(guò)程如下：設(shè)空間波長(zhǎng)為，則，根據(jù)能量守恒有，則可得：對(duì)于美國(guó)譜：高低不平順： (316)方向不平順： (317)由此可得、的單位為。對(duì)于三大干線譜： (318)由于根據(jù)上式無(wú)法推倒出的單位，故利用，由的單位可得到的單位為。經(jīng)過(guò)單位換算后，在MATLAB中編寫程序可以得到以下普通線路軌道譜比較圖：（具體程序詳見附錄1）圖313 普通線路軌道高低不平順功率譜密度圖314 普通線路軌道方向不平順功率譜密度圖31314分別給出了1~30波長(zhǎng)范圍內(nèi)（當(dāng)時(shí)我國(guó)軌檢車僅能測(cè)量1~30波長(zhǎng)范圍），美國(guó)五、六級(jí)線路譜和中國(guó)三大干線譜的高低不平順功率譜密度的對(duì)比結(jié)果和方向不平順功率譜密度的對(duì)比結(jié)果。由圖313可見，我國(guó)三大干線軌道譜的高低不平順總體上介于美國(guó)五級(jí)譜和六級(jí)譜之間。具體比較結(jié)果發(fā)現(xiàn)：在1~25波長(zhǎng)范圍內(nèi)，中國(guó)三大干線軌道譜高低不平順數(shù)值小于美國(guó)五級(jí)譜而大于美國(guó)六級(jí)譜；在25~30波長(zhǎng)范圍內(nèi)，我國(guó)三大干線譜還略優(yōu)于美國(guó)六級(jí)譜。由于長(zhǎng)波不平順主要影響車輛運(yùn)行平穩(wěn)性，短波不平順對(duì)輪軌動(dòng)力作用有重要影響，由此可推知，在我國(guó)三大干線譜激擾下，中低速列車垂向平穩(wěn)性要優(yōu)于美國(guó)五級(jí)譜下的舒適度，但較美國(guó)六級(jí)譜的舒適度要差。由圖314可以看出，我國(guó)三大干線軌道譜的方向不平順總體大于美國(guó)五級(jí)譜和六級(jí)譜數(shù)值，這表明線路方向幾何狀態(tài)較差。具體比較結(jié)果如下：與美國(guó)六級(jí)譜相比，在1~25波長(zhǎng)范圍內(nèi)，我國(guó)三大干線譜密度值明顯較大，而在25以上的少許波長(zhǎng)下，三大干線譜密度值要小些；與美國(guó)五級(jí)譜相比，在7~20波長(zhǎng)范圍內(nèi)，二者的功率譜密度非常接近，波長(zhǎng)大于20時(shí)，三大干線譜優(yōu)于美國(guó)五級(jí)譜，波長(zhǎng)小于7時(shí)，前者差于后者。因此可以預(yù)計(jì)，車輛在我國(guó)三大干線上的橫向平穩(wěn)性與美國(guó)五級(jí)譜條件下的基本相當(dāng)，但差于美國(guó)六級(jí)譜下的舒適性，而輪軌橫向動(dòng)力作用性能均不及美國(guó)五級(jí)、六級(jí)線路情形。 高速線路軌道譜的比較關(guān)于高速運(yùn)行條件下的軌道譜，國(guó)外最典型的標(biāo)準(zhǔn)要數(shù)德國(guó)軌道譜，包括低干擾（適合及其以上速度）和高干擾譜（適合以下速度）兩種，我國(guó)尚無(wú)高速軌道譜標(biāo)準(zhǔn)，1998年曾在鄭武線上按高速運(yùn)行要求改造了一段所謂高速試驗(yàn)段（試驗(yàn)段從許昌至小商橋之間，曾創(chuàng)下當(dāng)時(shí)中國(guó)鐵路最高試驗(yàn)速度），通過(guò)軌檢車測(cè)量并擬合了軌道譜，這里就以此作為比較對(duì)象。同樣對(duì)德國(guó)軌道譜進(jìn)行單位變換，得高低不平順： (319)方向不平順： (320)由此可得、的單位為。經(jīng)過(guò)單位換算后，在MATLAB中編寫程序可以得到以下高速線路軌道譜比較圖：（具體程序詳見附錄1）圖315 高速線路軌道高低不平順功率譜密度圖316 高速線路軌道方向不平順功率譜密度圖31316分別給出了德國(guó)低干擾譜、高干擾譜和鄭武段高速軌道譜的高低不平順及方向不平順功率譜密度在1~30波長(zhǎng)范圍內(nèi)的對(duì)比結(jié)果。文獻(xiàn)［2］中通過(guò)地面測(cè)量得到了30以上的長(zhǎng)波高低不平順，這是因?yàn)殚L(zhǎng)波不平順對(duì)高速列車運(yùn)行的舒適度影響很大。根據(jù)圖315和圖316的結(jié)果可知：對(duì)于高低不平順，中國(guó)高速試驗(yàn)段軌道譜與德國(guó)高干擾譜互有優(yōu)劣，在7~10波長(zhǎng)范圍內(nèi)，二者的功率譜密度值相差不多；在10~30波長(zhǎng)范圍內(nèi)，中國(guó)譜密度值要比德國(guó)高干擾譜的功率譜密度值??；而在1~7波長(zhǎng)范圍內(nèi)，中國(guó)譜密度值要比德國(guó)高干擾譜的功率譜密度值大一些。中國(guó)高速試驗(yàn)譜與德國(guó)低干擾譜相比，從波長(zhǎng)1~30范圍內(nèi)，中國(guó)高速試驗(yàn)譜明顯要差。由于長(zhǎng)波不平順對(duì)高速列車運(yùn)行舒適性有重要影響，短波不平順對(duì)高速列車的動(dòng)力特性影響較大，故可以推斷，對(duì)于垂向舒適度，中國(guó)高速試驗(yàn)譜要優(yōu)于德國(guó)高干擾譜，而比德國(guó)低干擾譜差；而對(duì)于輪軌垂向動(dòng)力作用性能，中國(guó)高速試驗(yàn)譜不僅差于德國(guó)高干擾譜，更差于德國(guó)低干擾譜。對(duì)于方向不平順，在1~15波長(zhǎng)范圍內(nèi)，中國(guó)高速試驗(yàn)段軌道譜要差于德國(guó)高干擾譜和低干擾譜，尤其對(duì)數(shù)米以下波長(zhǎng)非常明顯；在15~30波長(zhǎng)范圍內(nèi)，中國(guó)高速試驗(yàn)段軌道譜略優(yōu)于德國(guó)高干擾軌道譜，但明顯劣于德國(guó)低干擾譜。同樣可以推斷，在德國(guó)低干擾譜激擾下列車橫向運(yùn)行舒適性優(yōu)于其它兩種譜下的舒適性，而中國(guó)高速試驗(yàn)譜激擾下的車輛橫向舒適性接近于德國(guó)高干擾譜激擾結(jié)果。 結(jié)論① 我國(guó)三大干線譜高低不平順在25以下波長(zhǎng)范圍內(nèi)，比美國(guó)五級(jí)線路譜要好，比美國(guó)六級(jí)線路譜要差。② 我國(guó)三大干線軌道譜的方向不平順在7~20的波長(zhǎng)范圍內(nèi)基本與美國(guó)五級(jí)線路譜相當(dāng)，在1~7的波長(zhǎng)范圍內(nèi)尚不如美國(guó)五級(jí)線路譜好，在25以下波長(zhǎng)范圍均比美國(guó)六級(jí)線路譜明顯要差。③ 中國(guó)高速試驗(yàn)段軌道譜的高低不平順在7~30波長(zhǎng)范圍內(nèi)，其高低不平順和方向不平順基本與德國(guó)高干擾譜相當(dāng)，而在1~7波長(zhǎng)范圍內(nèi)的高低和方向不平順，尚不如德國(guó)高干擾譜，離德國(guó)低干擾譜相差很遠(yuǎn)。第4章 軌道譜估計(jì)在第1章已經(jīng)提到，軌道不平順影響因素的多樣性和隨機(jī)性決定了軌道不平順的隨機(jī)性，沿線路長(zhǎng)度方向的軌道不平順可以看作一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，軌道不平順是里程的隨機(jī)函數(shù)，任一特定區(qū)段的軌道不平順可以看作隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本。所以軌道不平順不能用一個(gè)確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述，只能應(yīng)用隨機(jī)信號(hào)理論[3]加以描述。 隨機(jī)過(guò)程及其特征描述 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程通常用表示，定義為兩個(gè)自變量和的一個(gè)集合函數(shù)。其中，是隨機(jī)變量族的樣本空間，是參數(shù)的集合。隨機(jī)過(guò)程能以兩種方法描述：表示成隨機(jī)變量族，對(duì)任何固定的，是隨機(jī)變量。表示成上的一個(gè)函數(shù)集，對(duì)任何固定的，是一個(gè)樣本函數(shù)，或稱為過(guò)程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程1．嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程——從n維概率分布函數(shù)出發(fā)設(shè)是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，如果對(duì)于任意的，過(guò)程與有同樣的分布，即 (41)對(duì)一切有限集和任意都成立，則稱為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程（也稱狹義平穩(wěn)過(guò)程或強(qiáng)平穩(wěn)過(guò)程）。嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程描述的物理系統(tǒng)，其任意的有限維分布不隨時(shí)間改變。注意，只是分布不隨時(shí)間變化，并不涉及服從什么分布。2．寬平穩(wěn)過(guò)程——只考慮一階矩和二階矩設(shè)是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，如果有① 為二階矩過(guò)程，即， (42)② 為常數(shù)，且相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，即 (43)其中，為隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)，則稱為一個(gè)寬平穩(wěn)過(guò)程（也稱廣義平穩(wěn)過(guò)程或弱平穩(wěn)過(guò)程），簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過(guò)程。寬平穩(wěn)過(guò)程不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程；反過(guò)來(lái)，嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程也不一定是寬平穩(wěn)過(guò)程，因?yàn)閷捚椒€(wěn)過(guò)程必須是二階矩過(guò)程。3．各態(tài)歷經(jīng)性如果隨機(jī)過(guò)程任一樣本函數(shù)的時(shí)間平均等于過(guò)程的集合平均，則稱隨機(jī)過(guò)程是各態(tài)歷經(jīng)的或各態(tài)遍歷的，即，如果有 (44)則稱為均值各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程；如果有 (45)則稱為自相關(guān)各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程?？梢姡瑢?duì)各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過(guò)程，可以用一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均計(jì)算隨機(jī)過(guò)程的集合平均。這一點(diǎn)為實(shí)際操作帶來(lái)很大的方便，因?yàn)閷?duì)一個(gè)樣本過(guò)程進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間統(tǒng)計(jì)比同時(shí)對(duì)許多樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)要容易實(shí)現(xiàn)。本文計(jì)算所涉及的隨機(jī)數(shù)據(jù)均看作廣義平穩(wěn)和各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過(guò)程。 隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)定義為 (46)式中是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，代表取共軛，如果是實(shí)隨機(jī)信號(hào)，則上式成為 (47)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)具有如下性質(zhì)：① 若為實(shí)信號(hào)，則為實(shí)偶函數(shù)，即 (48) (49)若為復(fù)信號(hào)，則共軛偶對(duì)稱，即 (410)本文所用到的隨機(jī)信號(hào)均為實(shí)隨機(jī)信號(hào)。② 在時(shí)，取得最大值，即且就是序列的平均功率，即 (411)③ 維納辛欽定理隨機(jī)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換是信號(hào)的功率譜密度。如果用表示隨機(jī)信號(hào)序列的功率譜密度，則有 (412) (413)在式中令，可得 (414)因?yàn)闉樾盘?hào)的平均功率，所以將稱為隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度(PSD)或功率譜密度譜，簡(jiǎn)稱功率譜。 隨機(jī)信號(hào)的功率譜對(duì)確定性能量信號(hào)，可以用FFT（快速傅立葉變換）作頻譜分析，得到頻域特性。對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，因?yàn)槭菬o(wú)限能量的信號(hào)，故其傅立葉變換不存在（在z平面的單位圓上不滿足絕對(duì)可和的條件）。由于自相關(guān)函數(shù)序列是一個(gè)能量有限的確定性序列，故能滿足序列傅立葉變換絕對(duì)可和的條件。由維納辛欽定理可知，對(duì)序列求傅立葉變換得到的就是序列的功率譜。平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜具有如下性質(zhì)：① 不論是實(shí)序列還是復(fù)序列，都是的實(shí)函數(shù)。② 如果是實(shí)序列，具有偶對(duì)稱性。③ 對(duì)所有的都是非負(fù)的，且是的周期函數(shù)，周期為。 功率譜估計(jì)的各種方法根據(jù)維納辛欽定理，廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜是自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，它取決于無(wú)限多個(gè)自相關(guān)函數(shù)值。但對(duì)于許多實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，可資利用的觀測(cè)數(shù)據(jù)往往是有限的，所以要準(zhǔn)確計(jì)算功率譜通常是不可能的。比較合理的目標(biāo)是設(shè)法得到功率譜的一個(gè)好的估計(jì)值，這就是功率譜估計(jì)。也就是說(shuō)，功率譜估計(jì)是根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程一個(gè)實(shí)現(xiàn)的有限個(gè)觀測(cè)值，來(lái)估計(jì)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度（PSD）。這里涉及到兩個(gè)問(wèn)題，怎樣評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)是好的估計(jì)？怎樣得到好的估計(jì)？功率譜估計(jì)評(píng)價(jià)指標(biāo)包括客觀度量和統(tǒng)計(jì)度量。在客觀度量中，譜分辨率特性是一個(gè)主要指標(biāo)。譜分辨率是指估計(jì)譜對(duì)真實(shí)譜中兩個(gè)靠的很近的譜峰的分辨能力。統(tǒng)計(jì)度量是指估計(jì)的偏差、方差、均方誤差、一致性等評(píng)價(jià)指標(biāo)。但需要注意的是，對(duì)統(tǒng)計(jì)特性的分析方法只適用于長(zhǎng)數(shù)據(jù)記錄。所以，利用統(tǒng)計(jì)度量對(duì)不同的譜估計(jì)方法進(jìn)行比較是不妥當(dāng)?shù)?，只能用?lái)對(duì)某種譜估計(jì)方法進(jìn)行描述，并且一般只用來(lái)描述古典譜估計(jì)方法，因?yàn)楝F(xiàn)代譜估計(jì)方法往往用于短數(shù)據(jù)記錄情況。至于怎樣得到好的估計(jì)，這就是后面將要介紹的各種譜估計(jì)方法。這些方法主要分為兩大類。通常，將以傅立葉分析為理論基礎(chǔ)的譜估計(jì)方法叫做古典譜估計(jì)方法或經(jīng)典譜估計(jì)方法；而把不同于傅立葉分析的新的譜估計(jì)方法叫做現(xiàn)代譜估計(jì)或近代譜估計(jì)。本文主要介紹了古典譜估計(jì)和最大熵譜估計(jì)，分述如下： 古典譜估計(jì)古典譜估計(jì)主要有相關(guān)法（間接法）和周期圖法（直接法）兩種，以及由此派生出來(lái)的各種改進(jìn)算法。 相關(guān)法譜估計(jì)相關(guān)法譜估計(jì)是以相關(guān)函數(shù)為媒介來(lái)計(jì)算功率譜，所以又叫間接法。它的理論基礎(chǔ)是維納辛欽定理，因?yàn)槭怯葿lackman和Turkey提出的，所以又叫BT法。其具體步驟如下：第一步：由獲得的點(diǎn)數(shù)據(jù)構(gòu)成的有限長(zhǎng)序列來(lái)估計(jì)自相關(guān)函數(shù)序列，即 (415)這一步要注意三個(gè)問(wèn)題：①是雙邊序列，自變量的取值范圍應(yīng)為。對(duì)實(shí)數(shù)序列，由自相關(guān)函數(shù)的偶對(duì)稱性，只需求出的，另一半也就知道了。②因?yàn)榈玫降闹皇堑膫€(gè)觀測(cè)值，所以對(duì)時(shí)的的值只能假設(shè)為零。③為了較少地使用已知數(shù)據(jù)段之外的數(shù)據(jù)，通常取。所以，計(jì)算自相關(guān)函數(shù)時(shí)只需求出的（這里），然后利用求出另一半。第二步