常微分方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-07-21 04:36 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 和精礦樣品種類及來源的衰變/精礦（Oklahomakansas）壓碎的粗碎石（）精礦（）精礦（Idaho）精礦（Idaho）精礦（Washington）精礦（British Lolumbia）精礦（British Lolumbia）精礦（Bolivia）精礦（Austalia）140 這樣，我們不能利用（5）得到一個(gè)精確的或甚至是一個(gè)粗糙的畫的年代估計(jì)。不過，我們?nèi)匀荒軌蚶茫?）區(qū)別17世紀(jì)的畫和現(xiàn)代的偽造品。這種方法的基礎(chǔ)就是進(jìn)行簡(jiǎn)單的觀察，如果一幅畫與鉛的22年半衰期相比非常舊，那么，畫的樣品中，鉛210的放射量幾乎等于這個(gè)樣品中鐳的放射量。另一方面，如果一幅畫是現(xiàn)代作品（畫齡20年左右），那么鉛210的放射量比鐳的放射量要大的多。通過下面的方法，我們可以使這一論據(jù)變得更精確，假設(shè)問題中畫或者非常新，或者大約有300年的歷史。在（5）中設(shè)，那么作些簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算后，可看出 （6）如為了計(jì)算生產(chǎn)時(shí)每克白鉛每分鐘內(nèi)鉛210的衰變數(shù)，必須計(jì)算鉛210畫確實(shí)是件現(xiàn)代的偽造品，那么就應(yīng)不合理地大。為了確定什么是不合理的高衰變率，我們觀察到，在一個(gè)白鉛樣品中，如果鉛210最初（生產(chǎn)時(shí)）以每克白鉛中的衰變率衰變，那么用來提取這些鉛的礦石中，%。這樣高的鈾濃度是很少見的，（）。另一方面，在西半球存在非常稀有的礦石，其中鈾的含量是2%到3%。為了可靠起見，如果每克白鉛超過，我們就說鉛210的衰變速度肯定是不合理的。210現(xiàn)在的衰變率，鐳226的衰變率，以及。因?yàn)槿舾赡旰?，鏷210的衰變率等于鉛210的衰變率，而且鏷210的衰變率較易測(cè)得，我們就用鏷的這些值代替鉛210的有關(guān)值。為計(jì)算，由（3）觀察到。因此。所以我們要鑒別某畫的真?zhèn)?，我們要鑒定畫中的鏷210和鐳226的衰變率，由（6）計(jì)算出要鑒定的畫中白鉛。如果得一個(gè)數(shù)值非常大，那么這幅畫一定是現(xiàn)代的偽造品。二 測(cè)定考古發(fā)掘物的年齡利用放射現(xiàn)象我們還可以測(cè)定考古發(fā)掘物的年齡。這個(gè)方法的依據(jù)很簡(jiǎn)單，地于周圍的大氣層不斷的受到宇宙射線的轟擊。這些宇宙射線使地球中的大氣產(chǎn)生中子，這些中子同氮發(fā)生作用產(chǎn)生。因?yàn)闀?huì)發(fā)生放射性衰變，所以通常稱這種碳為放射性碳。這種放射性碳又結(jié)合到二氧化碳中在大氣中漂動(dòng)而被植物吸收。動(dòng)物通過吃植物又把放射性碳帶入它們的組織中，在活的組織中，的攝取率正好與的衰變率相平衡。但是，當(dāng)組織死亡以后，它就停止攝取，因此的濃度因的衰變而減少。地球的大氣被宇宙射線轟擊的速度始終不變，這是一個(gè)基本的物理假設(shè)。這就意味著，在挖掘中有木炭這樣的物質(zhì)時(shí)，原來的蛻變速度同現(xiàn)在測(cè)量出來的蛻變速度是一樣的。這樣我們就可以測(cè)定木炭樣品的年齡。設(shè)表示在時(shí)刻樣品中存在的的數(shù)量，單們時(shí)間衰變的原子數(shù)與成比例。即：表示在時(shí)刻時(shí)樣品中的數(shù)量狀況，即樣品形成時(shí)的數(shù)量。若是的衰變常數(shù)（的半衰期是5568年），則。所以 則有由此我們測(cè)出木炭中目前的蛻變速度，而來的蛻變速度是，因此： ，從而。所以如果我們測(cè)出木炭中目前的蛻變速度，并且注意到必須等于相當(dāng)數(shù)量的活的樹木中的蛻變速度，那么我們就能算出木炭的年齡，從而知道發(fā)掘物的年齡。三 在軍事上的應(yīng)用利用常微分方程可了解深水炸彈在水下的運(yùn)動(dòng)。一質(zhì)量為的深水炸彈，從高為處自由下落到水中。如果不考慮人水炸彈在水平方向的運(yùn)動(dòng)，而僅考慮它在豎直方向的運(yùn)動(dòng)。由經(jīng)典力學(xué)知：物體從高為米處自由下落至海平面時(shí)，其豎直方向的速度為：（為重力加速度）。深水炸彈自高度為米處自由下落至海平面的瞬時(shí)時(shí)間為，于是深水炸彈的初始狀態(tài)為：，深水炸彈在海水中運(yùn)動(dòng)時(shí)，它受到三個(gè)力的作用：一是地球吸引力，其方向豎直向下，二是海水對(duì)它的浮力，鼉外是海水對(duì)炸彈的摩擦力，這個(gè)摩擦力是很復(fù)雜的，它和炸彈的形狀、速度等因素有關(guān)。這里僅近似的認(rèn)為摩擦力的大小和炸彈的速度成正比，比例系數(shù)即摩擦系數(shù)為常數(shù)。摩擦力的方向與炸彈的速度方向相反，因而是豎直向上的。于是摩擦力表示為：。根據(jù)牛頓第二定律知深水炸彈在水下運(yùn)動(dòng)的規(guī)律為當(dāng)今世界的主題雖然是和平和發(fā)展，但是局部地區(qū)的戰(zhàn)爭(zhēng)，也引起了人們的關(guān)注和重視，戰(zhàn)爭(zhēng)以及為戰(zhàn)爭(zhēng)做準(zhǔn)備依然是人類主要關(guān)注的問題。常微分方程也應(yīng)用于研究和分析戰(zhàn)爭(zhēng)。如果一支部隊(duì)和一支部隊(duì)互相交戰(zhàn)，設(shè)和分別代表兩個(gè)部隊(duì)在時(shí)刻的力量，其中從戰(zhàn)斗開始時(shí)以天計(jì)算。將力量定量化是不容易的。因?yàn)樗ǎ菏勘鴶?shù)量、戰(zhàn)斗準(zhǔn)備就緒情況、武器性能和數(shù)量、指揮員的素質(zhì)，以及大量心理的和無形的因素。這些因素連描述都很困難，就更不用說轉(zhuǎn)化為數(shù)量了。我們將采一種簡(jiǎn)單的回避方法，即把力量看作是和為士兵的數(shù)量。假設(shè)和連續(xù)的變化，并且為時(shí)間的可導(dǎo)函數(shù)。當(dāng)然，這是事態(tài)真實(shí)狀況的一種理想化，因?yàn)楸Ρ仨毷钦麛?shù)，而且隨時(shí)間整數(shù)的變化，但是當(dāng)兵力很大時(shí)增加一個(gè)或兩個(gè)人，與總數(shù)相比簡(jiǎn)直是一個(gè)無窮小，我們進(jìn)而允許戰(zhàn)斗力在很短的時(shí)間間隔內(nèi)作任意小量而不僅是整數(shù)的變化。雖然還沒有關(guān)于的具體公式（比如作為的函數(shù)），但是，我們可以獲得大量有關(guān)部隊(duì)的自然損失率（即由于各種不可避免的疾病、開小差以及其他非作戰(zhàn)事故所引起損失率），由于與部隊(duì)遭遇而 生的戰(zhàn)斗損失率，以及補(bǔ)充率等信息。假定的凈變化率由下式給出： （1）部隊(duì)也有一個(gè)類似的方程。問題要求出關(guān)于每個(gè)部隊(duì)的這些變化率的適當(dāng)?shù)墓?。然后分析相?yīng)的微分方程的解和從而確定誰將贏得戰(zhàn)爭(zhēng)的勝利。用表示非負(fù)損失率常數(shù)。用表示時(shí)刻敵對(duì)部隊(duì)雙方的戰(zhàn)斗力。表示戰(zhàn)斗開始時(shí)雙方的戰(zhàn)斗力。為按天計(jì)算的
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