holder不等式的幾種不同形式及其證明和應(yīng)用大學(xué)畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-20 19:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 將（1）式兩邊同時處以, 得 令則上式變?yōu)? （2）所以, 我們只需證明（2）式成立就可以了.令，則令得對再求導(dǎo), 得以代入的表達式中, 得則是的極大值點.故是函數(shù)在上的最大值. 所以，當(dāng)時成立, 從而（1）式成立. 證畢.設(shè)由引理4的不等式可以得到這個不等式對任何都成立, 同時這個不等式是引理1的二元形式. (引理5)（Young不等式）設(shè)且則以下不等式成立：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?證法一：當(dāng)時, 以上不等式顯然成立.當(dāng)時, 令則其次, 對于上式兩端同時乘以 有由可得所以 證畢.證法二：考察函數(shù)顯然是凸函數(shù).因此，當(dāng)時， 上式不等號是由于凸函數(shù)的性質(zhì).當(dāng) 時，顯然有 由上述1和2, 引理5得證. (引理6)若在上連續(xù), 將等分 (分點包括兩端點)，有 記等分的每個小區(qū)間長度為而 則有：證明：由得又由在上連續(xù)，在上存在定積分，而是在上的“積分和”的一種特殊情況.故有證畢. (引理7)設(shè)是中給定的可測集, 是定義在上的可測函數(shù)., 若可積, 稱是冪可積的函數(shù)構(gòu)成一個類，記成或簡稱為, 稱為空間，即對于空間的元, 稱為的范數(shù).2. H246。lder不等式的多種形式及證明方法 H246。lder不等式的離散形式及其證明離散形式：設(shè)以及 則 等號成立當(dāng)且僅當(dāng)與成比例.證法一 ：（應(yīng)用引理5）因此成立.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立. 證法二：在引理4中, 取則式子變?yōu)閷⑸鲜絻蛇厡η蠛? 便得令 代入上式, 即有 即所以 證法三：在引理5中我們?nèi)∫?式變?yōu)閷⑸厦鎯蛇厡η蠛捅愕? 所以2 .2 H246。lder不等式的積分形式及其證明 積分形式：設(shè)在上可積, 其中且, 則有 證法一：令則利用引理5得兩邊關(guān)于在上積分有從而有得證.證法二:設(shè)為上的非負可積函數(shù)，則當(dāng)或時, 上式顯然成立. 令則由H246。lder不等式的離散形式可知（1）在（1）
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