【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 t)*sin(t)ans =exp(t)*sin(t)+exp(t)*cos(t)矩陣計(jì)算是線性代數(shù)中的核心內(nèi)容，其對(duì)于整個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的計(jì)算方面的意義是十分巨大的，集中它的基本運(yùn)算包括最大值、最小值、均值、方差、轉(zhuǎn)置、逆、行列式、特征值的計(jì)算、矩陣的相乘、右除、左除、冪運(yùn)算等等，下面將具體介紹。矩陣的運(yùn)算都是要以矩陣為基礎(chǔ)的，本報(bào)告中決定選用一組矩陣來完成幾乎全部可以完成的計(jì)算，那么首先就得生成矩陣了。矩陣的定義和分配可以 有多種方法。最簡(jiǎn)單的方法是有方括號(hào)[]包圍的逐行給定元素。若定義一個(gè)標(biāo)量，則方括號(hào)就不需要了。相同行中的元素是由一行或多個(gè)空格‘’或一個(gè)逗號(hào)‘， ’分隔，列由分號(hào)‘。 ’或回車鍵分隔。沒有結(jié)尾分號(hào)的每個(gè)命令在屏幕上顯示出其結(jié)果。若結(jié)尾帶分號(hào)，就執(zhí)行計(jì)算，但計(jì)算結(jié)果并不顯示。如定義33矩陣如下： 則在命令窗口輸入：A=[2 3 5。5 6 8。3 5 10]屏幕顯示結(jié)果為：A = 2 3 55 6 83 5 10同上依次輸入：B=[1 9 12。6 6 9。1 5 13]就可以得到B矩陣（如下）。 矩陣的最大值、最小值MATLAB中max函數(shù)可以表示求每一列的最大值，那么經(jīng)過分析可以知道，先求出每一列的最大值然后求出這些最大值里面的最大值，下面以A矩陣為例。示例程序如下：y=max(A)x=max(y)運(yùn)行結(jié)果如下：對(duì)比A中數(shù)值發(fā)現(xiàn)結(jié)果是正確的。MATLAB中求最小值的函數(shù)為min，求解思路與求最大值思路類似，仍然以矩陣A為例。示例程序如下：y=min(A)x=min(y)運(yùn)行結(jié)果如下：對(duì)比A中數(shù)值發(fā)現(xiàn)結(jié)果是正確的。 矩陣的均值、方差MATLAB中求解矩陣均值的函數(shù)是mean，它的具體用法如下：mean(A,1)表示對(duì)列取平均，mean(A,2）表示對(duì)行取平均，mean(A）則默認(rèn)為mean(A,1)。下面以矩陣B分別舉例，程序示例如下：a=mean(B)b=mean(B,2)運(yùn)行結(jié)果如下：觀察可知，a，b分別顯示出了矩陣行列的均值。如果想求矩陣的均值可以進(jìn)行2次操作。示例程序如下：c=mean（a）運(yùn)行結(jié)果如下：可以觀察到c的值就是矩陣b所有值的均值。MATLAB中求解矩陣方差的函數(shù)是var，它的常用格式是V = var(X)，如果X是一個(gè)矩陣，var(X)返回一個(gè)包含矩陣X每一列方差的行向量。下面還是以矩陣B來示例，程序如下：d=var(var(B))運(yùn)行結(jié)果如下： 矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的一個(gè)重要的運(yùn)算是轉(zhuǎn)置，如果A是一個(gè)實(shí)數(shù)矩陣，那么它被轉(zhuǎn)置時(shí)，第1行變成第1列，第2行變成第2列，依此類推，一個(gè)mn矩陣變?yōu)橐粋€(gè)nm矩陣。如果矩陣是方陣，那么這個(gè)矩陣在主對(duì)角線反映出來。MATLAB中求轉(zhuǎn)置，以A為例，編程如下：e= A’運(yùn)行結(jié)果如下： 可以觀察到矩陣A轉(zhuǎn)置成了矩陣e。 矩陣的逆、行列式 實(shí)際中求矩陣的逆跟行列式均要求矩陣是方陣，MATLAB中求逆的函數(shù)是inv，格式為Y = inv(X)， 求矩陣的函數(shù)是det，格式為Y = det(X)。下面仍以矩陣A 為例來編程示例，如下：f=inv(A)運(yùn)行結(jié)果如下：編程如下：c=det(A)運(yùn)行結(jié)果： 矩陣特征值的計(jì)算矩陣的特征值的求解，就是找到方程組的解：其中λ是一個(gè)標(biāo)量，x是一個(gè)長度為n的列向量。標(biāo)量λ是A的特征值，x是相對(duì)應(yīng)的特征向量。對(duì)于實(shí)數(shù)矩陣A來說，特征值和特征向量可能是復(fù)數(shù)。一個(gè) nn的矩陣有n個(gè)特征值，表示為。求矩陣的特征值和特征向量可用eig函數(shù)。Eig(A)求包含矩陣A的特征值的向量。[V,D] =eig(A)產(chǎn)生一個(gè)矩陣A的特征值在對(duì)角線上的對(duì)角矩陣D和矩陣V，它的列是相應(yīng)的特征向量，滿足AV=VD，下面以矩陣A為例來演示。編程如下： [V,D] =eig(A)運(yùn)行結(jié)果如下： 矩陣的相乘假定有兩個(gè)矩陣A和B，若A為mn矩陣，B為np矩陣，則C=AB為mp矩陣。元素是A的第i行和B的第j列的點(diǎn)積。對(duì)于方陣，也定義了積B A，但其結(jié)果通常與A B不同。MATLAB中求矩陣的乘積直接用符號(hào)*即可，下面以A、B矩陣為例來分別演示AB與BA區(qū)別。示例程序如下：c=A*Bd=B*A運(yùn)行結(jié)果如下：對(duì)比可以知道，AB與BA的結(jié)果是有區(qū)別的。 矩陣右除和左除在MATLAB中，有兩個(gè)矩陣除法的符號(hào)，左除“ \”和右除“/”。如果A是一個(gè)非奇異方陣，那么A \ B和B / A對(duì)應(yīng)A的逆與B的左乘和右乘，即分別等價(jià)于命令 inv(A)*B和B*inv(A)。可是，MATLAB執(zhí)行它們時(shí)是不同的，且在MATLAB中求解一個(gè)系統(tǒng)用左除比用逆和乘法所需的運(yùn)算次數(shù)要少。令R=B/A, L=A\B ， 下面仍然以A、B為例來演示。示例程序如下：R=B/AL=A\B運(yùn)行結(jié)果如下： 矩陣的冪運(yùn)算對(duì)于二維方陣，A的p次乘方可以用A^p實(shí)現(xiàn)。如果p是一個(gè)正整數(shù)，那么這個(gè)冪可以由許多矩陣乘法運(yùn)算定義。對(duì)于 p= 0，得到與A維數(shù)相同的同一個(gè)矩陣；當(dāng) p 0時(shí)，如果A 1存在，可定義A ^p，它是與inv(A)^(p)相同。A0=A^3，A1=A.^3，A2=A^3Ap0為3個(gè)A矩陣相乘，Ap1中的元素為A矩陣中相應(yīng)元素的立方，矩陣Ap2為矩陣A的逆矩陣的乘積，A3為A0的逆矩陣。以矩陣A為例，分別編程實(shí)例如下：A0=A^3 %3個(gè)A矩陣相乘A1=A.^3 % A矩陣中相應(yīng)元素的立方A2=A^3 %A的逆矩陣的乘積A3=A0^1 % A0的逆矩陣運(yùn)行結(jié)果如下： 對(duì)比可以知道A0與A1顯示了矩陣運(yùn)算與元素運(yùn)算的區(qū)別，A2跟A3是相同的，說明先逆后立方與先立方后逆效果一樣。多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要包括多項(xiàng)式加減乘除、多項(xiàng)式求導(dǎo)、求根和求值運(yùn)算、多項(xiàng)式的部分分式展開、多項(xiàng)式的擬合、插值運(yùn)算。為方面計(jì)算，我選用兩個(gè)典型的式子f(x)=2x^3+4x^2+6x+8,g(x)=3x^2+6x+。 多項(xiàng)式的四則運(yùn)算多項(xiàng)式的四則運(yùn)算就是包括加減乘除，其中加減運(yùn)算可以直接用+、來運(yùn)算，它們的運(yùn)算規(guī)則中注意要滿足向量的長度相同，而乘除就得用函數(shù)了，其中乘法的計(jì)算函數(shù)是conv，它本來是卷積的意思，同時(shí)它也符合多項(xiàng)式函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，除法運(yùn)算是相乘的逆運(yùn)算，但會(huì)有余子式。下面以f，g為例來進(jìn)行四則運(yùn)算。示例編程如下：f=[2,4,6,8]。g=[3,6,9]。a=f+[0,g] %因?yàn)閮蓚€(gè)向量長度不同，而加運(yùn)算要求長度相同，所以要補(bǔ)0b=f[0,g] %減法運(yùn)算c=conv(f,g)%乘法運(yùn)算[d,r]=deconv(c,f)%除法運(yùn)算，因?yàn)檫€有余子式，所以選用相乘的結(jié)果除，使得結(jié)果干凈運(yùn)行結(jié)果如下： 多項(xiàng)式的求導(dǎo)、求根、求值多項(xiàng)式的求導(dǎo)、求根、求值運(yùn)算是多項(xiàng)式運(yùn)算的又一大板塊，其中多項(xiàng)式求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)是polyder，調(diào)用格式是e=polyder（c），其中c表示的是待求導(dǎo)的函數(shù)式，然后求根運(yùn)算的函數(shù)是roots或poly，其中roots是根據(jù)函數(shù)求多項(xiàng)式的根，它的調(diào)用格式是h=roots（c），c代表待求根的函數(shù)式，而poly函數(shù)是根據(jù)根求函數(shù)，格式是i=poly（h），表示根據(jù)h求函數(shù)i，然后求值運(yùn)算的函數(shù)是polyval，將多項(xiàng)式的自變量賦予值z(mì)，則調(diào)用格式是j=polyval（f，z），表示當(dāng)變量是1時(shí)，函數(shù)f的結(jié)果。下面編程演示。示例編程如下：e=polyder(c)%求函數(shù)c的導(dǎo)數(shù)h=roots(c)%求函數(shù)c的根i=poly(h)%根據(jù)所求的根求函數(shù)j=polyval(c,1)%當(dāng)變量值為1時(shí)，函數(shù)c的值運(yùn)行結(jié)果如下： 多項(xiàng)式的部分分式展開函數(shù)residue可以將多項(xiàng)式之比用部分分式展開，也可以將一個(gè)部分分式表示為多項(xiàng)式之比。其調(diào)用格式如下：[r,p,k]=residue(a,b)返回多項(xiàng)式之比a/b的部分分式展開，參照下面公式。[a,b]=residue(r,p,k)返回部分分式的多項(xiàng)式向量。示例程序如下：a=[2 3 4 1]。 b=[1 3 2]。[r,p,k]=residue(a,b)%返回多項(xiàng)式之比a/b的部分分式展開[c,d]=residue(r,p,k)%f返回部分分式的多項(xiàng)式向量運(yùn)行結(jié)果如下：運(yùn)行結(jié)果如下： 多項(xiàng)式的擬合多項(xiàng)式擬合用polyfit(x,y,n)來實(shí)現(xiàn)，n是擬合多項(xiàng)式的階次。調(diào)用函數(shù)polyfit常用格式為p = polyfit(x,y,n)，x為變量，y為函數(shù)，n為階數(shù)。為了能形象說明問題，采用繪圖來演示。示例程序如下：x=linspace(0,2*pi,100)。%定義向量，從0到2派分為100份 y=cos(x)。%定義函數(shù) t=polyfit(x,y,6)。%6次擬合 y1=polyval(t,x)。%根據(jù)擬合的結(jié)果求多項(xiàng)式的值subplot(2,1,1), plot(x,y,39。ro39。,x,y1,39。g39。)%作圖 s=polyfit(x,y,3)。%3次擬合 y2=polyval(s,x)。%根據(jù)擬合的結(jié)果求多項(xiàng)式的值 subplot(2,1,2),plot(x,y,39。ro39。,x,y2,39。g39。)%作圖運(yùn)行結(jié)果如下:對(duì)比可以知道高次擬合的效果要好一些。 多項(xiàng)式插值運(yùn)算插值函數(shù)通常是分段的，插值數(shù)據(jù)通過給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)x，y。插值函數(shù)一般地可表示為yi=interpi（x,y,xi,’method’）其中i代表幾維插值可取2,xi為插值范圍內(nèi)的任意點(diǎn)集的x坐標(biāo),yi是插值后對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)點(diǎn)集的坐標(biāo),method為插值函數(shù)的類型選項(xiàng)，有l(wèi)inear為線性，也是缺省項(xiàng)，cubic和cubic spl