【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 可實(shí)現(xiàn)模型可實(shí)現(xiàn)模型的湍動(dòng)能及其耗散率輸運(yùn)方程為 (165) (166)式中：。在上述方程中，表示由于平均速度梯度引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生，表示由于浮力影響引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生；表示可壓縮湍流脈動(dòng)膨脹對(duì)總的耗散率的影響；和是常數(shù)；和分別是湍動(dòng)能及其耗散率的湍流普朗特?cái)?shù)。在Fluent中，作為默認(rèn)值常數(shù)，=，=，=，=。該模型的湍流粘性系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)模型相同。不同的是，粘性系數(shù)中的不是常數(shù)，而是通過(guò)公式計(jì)算得到，其中， ，，表示在角速度旋轉(zhuǎn)參考系下的平均旋轉(zhuǎn)張量率。模型常數(shù)，，式中。從這些式子中發(fā)現(xiàn)，是平均應(yīng)變率與旋度的函數(shù)。在平衡邊界層慣性底層，可以得到，與標(biāo)準(zhǔn)模型中采用的常數(shù)一樣。該模型適合的流動(dòng)類(lèi)型比較廣泛，包括有旋均勻剪切流、自由流(射流和混合層)、腔道流動(dòng)和邊界層流動(dòng)。對(duì)以上流動(dòng)過(guò)程模擬結(jié)果都比標(biāo)準(zhǔn)模型的結(jié)果好，特別是可實(shí)現(xiàn)模型對(duì)圓口射流和平板射流模擬中，能給出較好的射流擴(kuò)張角。雙方程模型中，無(wú)論是標(biāo)準(zhǔn)模型、重整化群模型還是可實(shí)現(xiàn)模型，三個(gè)模型有類(lèi)似的形式，即都有k和的輸運(yùn)方程，它們的區(qū)別在于：①計(jì)算湍流粘性的方法不同；②控制湍流擴(kuò)散的湍流普朗特?cái)?shù)不同；③方程中的產(chǎn)生項(xiàng)和Gk關(guān)系不同。但都包含了相同的表示由于平均速度梯度引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生，表示由于浮力影響引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生；表示可壓縮湍流脈動(dòng)膨脹對(duì)總的耗散率的影響。湍動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng) (167) (168)式中：是能量的湍流普特朗數(shù)，對(duì)于可實(shí)現(xiàn)模型，；對(duì)于重整化群模型。熱膨脹系數(shù)，對(duì)于理想氣體，浮力引起的湍動(dòng)能產(chǎn)生項(xiàng)變?yōu)? (169)5) 雷諾應(yīng)力模型雷諾應(yīng)力模型(RSM)是求解雷諾應(yīng)力張量的各個(gè)分量的輸運(yùn)方程。具體形式為 (170)式中：左邊的第二項(xiàng)是對(duì)流項(xiàng)，右邊第一項(xiàng)是湍流擴(kuò)散項(xiàng)，第二項(xiàng)是分子擴(kuò)散項(xiàng)，第三項(xiàng)是應(yīng)力產(chǎn)生項(xiàng)，第四項(xiàng)是浮力產(chǎn)生項(xiàng)，第五項(xiàng)是壓力應(yīng)變項(xiàng)，第六項(xiàng)是耗散項(xiàng)，第七項(xiàng)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生項(xiàng)。在式(169)中，、不需要模擬，而、需要模擬以封閉方程。下面簡(jiǎn)單對(duì)幾個(gè)需要模擬項(xiàng)進(jìn)行模擬。可以用Delay和Harlow的梯度擴(kuò)散模型來(lái)模擬，但這個(gè)模型會(huì)導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定，在Fluent中是采用標(biāo)量湍流擴(kuò)散模型： (171)式中：湍流粘性系數(shù)用來(lái)計(jì)算，根據(jù)Lien和Leschziner。壓力應(yīng)變項(xiàng)可以分解為三項(xiàng)，即 (172)式中：、和分別是慢速項(xiàng)、快速項(xiàng)和壁面反射項(xiàng)，具體表述可以參見(jiàn)文獻(xiàn)[2]。浮力引起的產(chǎn)生項(xiàng)模擬為 (173)耗散張量模擬為 (174)式中：，是馬赫數(shù)；標(biāo)量耗散率用標(biāo)準(zhǔn)模型中采用的耗散率輸運(yùn)方程求解。6) 大渦模擬湍流中包含了不同時(shí)間與長(zhǎng)度尺度的渦旋。最大長(zhǎng)度尺度通常為平均流動(dòng)的特征長(zhǎng)度尺度。最小尺度為Komogrov尺度。LES的基本假設(shè)是：①動(dòng)量、能量、質(zhì)量及其他標(biāo)量主要由大渦輸運(yùn)；②流動(dòng)的幾何和邊界條件決定了大渦的特性，而流動(dòng)特性主要在大渦中體現(xiàn)；③小尺度渦旋受幾何和邊界條件影響較小，并且各向同性，大渦模擬(LES)過(guò)程中，直接求解大渦，小尺度渦旋模擬，從而使得網(wǎng)格要求比DNS低。LES的控制方程是對(duì)NavierStokes方程在波數(shù)空間或者物理空間進(jìn)行過(guò)濾得到的。過(guò)濾的過(guò)程是去掉比過(guò)濾寬度或者給定物理寬度小的渦旋，從而得到大渦旋的控制方程： (175) (176)式中：為亞網(wǎng)格應(yīng)力。很明顯，上述方程與雷諾平均方程很相似，只不過(guò)大渦模擬中的變量是過(guò)濾過(guò)的量，而非時(shí)間平均量，并且湍流應(yīng)力也不同。 初始條件和邊界條件計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(CFD)分析中，初始條件和邊界條件的正確設(shè)置是關(guān)鍵的一步。現(xiàn)有的CFD軟件都提供了現(xiàn)成的各種類(lèi)型的邊界條件，這里對(duì)有關(guān)的初始條件和邊界條件作一般討論。1. 初始條件顧名思義，初始條件就是計(jì)算初始給定的參數(shù)，即時(shí)給出各未知量的函數(shù)分布，如 (177)很明顯，當(dāng)流體運(yùn)動(dòng)定常時(shí)，無(wú)初始條件問(wèn)題。2. 邊界條件所謂邊界條件就是流體力學(xué)方程組在求解域的邊界上，流體物理量應(yīng)滿(mǎn)足的條件。例如，流體被固壁所限，流體將不應(yīng)有穿過(guò)固壁的速度分量；在水面這個(gè)邊界上，大氣壓強(qiáng)認(rèn)為是常數(shù)(一般在距離不大的范圍內(nèi)可如此)；在流體與外界無(wú)熱傳導(dǎo)的邊界上，流體與邊界之間無(wú)溫差，如此等。由于各種具體問(wèn)題不同，邊界條件提法千差萬(wàn)別，一般要保持恰當(dāng)：①保持在物理上是正確的；②要在數(shù)學(xué)上不多不少，剛好能用來(lái)確定積分微分方程中的積分常數(shù)，而不是矛盾的或有隨意性。通常流體邊界分為流固交界面和流流(液液、液氣)交界面，下面分別討論。1) 流固分界面邊界條件飛機(jī)、船舶在空氣及水中運(yùn)動(dòng)時(shí)的流固分界面，水在岸邊及底部的流固分界面，均屬這一類(lèi)。一般而言，流體在固體邊界上的速度依流體有無(wú)粘性而定。對(duì)于粘性流體，流體將粘附于固體表面(無(wú)滑移)，即 (178)式中：是流體速度；是固壁面相應(yīng)點(diǎn)的速度。式(178)表明，在流固邊界面上，流體在一點(diǎn)的速度等于固體在該點(diǎn)的速度。對(duì)于無(wú)粘性流體，流體可沿界面滑移，即有速度的切向分量，但不能離開(kāi)界面，也就是流體的法向速度分量等于固體的法向速度分量，即 (179)另外，也可視所給條件，給出無(wú)溫差條件： (180)式中：是流體溫度，是固壁面相應(yīng)點(diǎn)的溫度。2) 液液分界面邊界條件密度不同的兩種液體的分界面就屬于這一類(lèi)。一般而言，對(duì)分界面兩側(cè)的液體情況經(jīng)常給出的條件是 (181)對(duì)應(yīng)力及傳導(dǎo)熱情況給出的條件是 (182) (183)3) 液氣分界面邊界條件液氣分界面最典型的是水與大氣的分界面，即自由面。由于自由面本身是運(yùn)動(dòng)和變形的，而且其形狀常常也是一個(gè)需要求解的未知函數(shù)，因此就有一個(gè)自由面的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件問(wèn)題。設(shè)自由面方程為 (184)并假定在自由面上的流體質(zhì)點(diǎn)始終保持在自由面上，則流體質(zhì)點(diǎn)在自由面上一點(diǎn)的法向速度，應(yīng)該等于自由面本身在這一點(diǎn)的法向速度。經(jīng)過(guò)一系列推導(dǎo)(參見(jiàn)文獻(xiàn)[2])，得到自由液面運(yùn)動(dòng)學(xué)條件： (185)如果要考慮液氣邊界上的表面張力，則在界面兩側(cè)，兩種介質(zhì)的壓強(qiáng)差與表面張力有如下關(guān)系： (186)這就是自由面上的動(dòng)力學(xué)條件。當(dāng)不考慮表面張力時(shí)，有 (187)式中：為大氣壓強(qiáng)。4) 無(wú)限遠(yuǎn)的條件流體力學(xué)中的很多問(wèn)題，流體域是無(wú)限遠(yuǎn)的。例如，飛機(jī)在空中飛行時(shí)，流體是無(wú)界的。如果將坐標(biāo)系取在運(yùn)動(dòng)物體上，這時(shí)無(wú)限遠(yuǎn)處的邊界條件為當(dāng)→時(shí)， (188)其中下標(biāo)表示無(wú)窮遠(yuǎn)處的值。 CFD模型的離散——有限體積法 CFD模型的數(shù)值求解方法概述從上面的分析看到，CFD模型(控制方程)是一系列偏微分方程組，要得到解析解比較困難，目前，均采用數(shù)值方法得到其滿(mǎn)足實(shí)際需要的近似解。數(shù)值方法求解CFD模型的基本思想是：把原來(lái)在空間與時(shí)間坐標(biāo)中連續(xù)的物理量的場(chǎng)(如速度場(chǎng)、溫度場(chǎng)、濃度場(chǎng)等)，用一系列有限個(gè)離散點(diǎn)(稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)，node)上的值的集合來(lái)代替，通過(guò)一定的原則建立起這些離散點(diǎn)上變量值之間關(guān)系的代數(shù)方程(稱(chēng)為離散方程，discretization equation)，求解所建立起來(lái)的代數(shù)方程以獲得所求解變量的近似解。在過(guò)去的幾十年內(nèi)已經(jīng)發(fā)展了多種數(shù)值解法，其間的主要區(qū)別在于區(qū)域的離散方式、方程的離散方式及代數(shù)方程求解的方法這三個(gè)環(huán)節(jié)上。在CFD求解計(jì)算中用得較多的數(shù)值方法有：有限差分法(finite difference method，F(xiàn)DM)、有限體積法(finite volume method，F(xiàn)VM)、有限元法(finite element method，F(xiàn)EM)及有限分析法(finite analytic method，F(xiàn)AM)。下面簡(jiǎn)要介紹，后面將著重介紹有限體積法。1. 有限差分法有限差分法是歷史上采用最早的數(shù)值方法，對(duì)簡(jiǎn)單幾何形狀中的流動(dòng)與換熱問(wèn)題也是一種最容易實(shí)施的數(shù)值方法。其基本點(diǎn)是：將求解區(qū)域用與坐標(biāo)軸平行的一系列網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)所組成的點(diǎn)的集合來(lái)代替，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上，將控制方程中每一個(gè)導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的差分表達(dá)式來(lái)代替，從而在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上形成一個(gè)代數(shù)方程，每個(gè)方程中包括了本節(jié)點(diǎn)及其附近一些節(jié)點(diǎn)上的未知值，求解這些代數(shù)方程就獲得了所需的數(shù)值解。由于各階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式可以從Taylor(泰勒)展開(kāi)式來(lái)導(dǎo)出，這種方法又稱(chēng)建立離散方程的Taylor展開(kāi)法。有限差分法軟件一般研究者自己編寫(xiě)，很少看到商品的有限差分法軟件。2. 有限體積法在有限體積法中將所計(jì)算的區(qū)域劃分成一系列控制體積，每個(gè)控制體積都有一個(gè)節(jié)點(diǎn)作代表，通過(guò)將守恒型的控制方程對(duì)控制體積作積分來(lái)導(dǎo)出離散方程。在導(dǎo)出過(guò)程中，需要對(duì)界面上的被求函數(shù)本身及其一階導(dǎo)數(shù)的構(gòu)成作出假定，這種構(gòu)成的方式就是有限體積法中的離散格式。用有限體積法導(dǎo)出的離散方程可以保證具有守恒特性，而且離散方程系數(shù)的物理意義明確，是目前流動(dòng)與傳熱問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算中應(yīng)用最廣泛的一種方法。Phoenics是最早投入市場(chǎng)的有限體積法軟件，F(xiàn)luent、STARCD和CFX都是常用的有限體積法軟件，它們?cè)诹鲃?dòng)、傳熱傳質(zhì)、燃燒和輻射等方面應(yīng)用廣泛。3. 有限元法在有限元法中把計(jì)算區(qū)域劃分成一系列單元體(在二維情況下，單元體多為三角形或四邊形)，在每個(gè)單元體上取數(shù)個(gè)點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，然后通過(guò)對(duì)控制方程做積分來(lái)獲得離散方程。它與有限體積法區(qū)別主要在于如下兩點(diǎn)。(1) 要選定一個(gè)形狀函數(shù)(最簡(jiǎn)單的是線(xiàn)性函數(shù))，并通過(guò)單元體中節(jié)點(diǎn)上的被求變量之值來(lái)表示該形狀函數(shù)，在積分之前將該形狀函數(shù)代入到控制方程中去。這一形狀函數(shù)在建立離散方程及求解后結(jié)果的處理上都要應(yīng)用。(2) 控制方程在積分之前要乘上一個(gè)權(quán)函數(shù)，要求在整個(gè)計(jì)算區(qū)域上控制方程余量(即代入形狀函數(shù)后使控制方程等號(hào)兩端不相等的差值)的加權(quán)平均值等于零，從而得出一組關(guān)于節(jié)點(diǎn)上的被求變量的代數(shù)方程組。 有限元法的最大優(yōu)點(diǎn)是對(duì)不規(guī)則區(qū)域的適應(yīng)性好。但計(jì)算的工作量一般較有限體積法大，而且在求解流動(dòng)與換熱問(wèn)題時(shí)，對(duì)流項(xiàng)的離散處理方法及不可壓流體原始變量法求解方面沒(méi)有有限體積法成熟。Ansys、Sysweld和北京飛箭公司的FEPG(finite element programs generator)等有限元軟件比較流行。4. 有限分析法有限分析法是由美籍華裔科學(xué)家陳景仁教授在1981年提出的。在這種方法中，也像有限差分法那樣，用一系列網(wǎng)格線(xiàn)將區(qū)域離散，所不同的是每個(gè)節(jié)點(diǎn)與相鄰的4個(gè)網(wǎng)格(二維)問(wèn)題組成計(jì)算單元，即一個(gè)計(jì)算單元由一個(gè)中心節(jié)點(diǎn)與8個(gè)鄰點(diǎn)組成。在計(jì)算單元中把控制方程中的非線(xiàn)性項(xiàng)(如NavierStokes方程中的對(duì)流項(xiàng))局部線(xiàn)性化(即認(rèn)為流速已知)，并對(duì)該單元上未知函數(shù)的變化型線(xiàn)作出假設(shè)，把所選定型線(xiàn)表達(dá)式中的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)用單元邊界節(jié)點(diǎn)上未知的變量值來(lái)表示，這樣該單元內(nèi)的被求問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為第一類(lèi)邊界條件下的一個(gè)定解問(wèn)題，可以找出其分析解；然后利用這一分析解，得出該單元中點(diǎn)及邊界上8個(gè)鄰點(diǎn)上未知值間的代數(shù)方程，此即為單元中點(diǎn)的離散方程。有限分析法中的系數(shù)不像有限體積法中那樣有明確的物理意義，對(duì)不規(guī)則區(qū)域的適應(yīng)性也較差。 有限體積法從上面的簡(jiǎn)介看到，有限體積法是一種分塊近似的計(jì)算方法，其中比較重要步驟是計(jì)算區(qū)域的離散和控制方程的離散。1. 計(jì)算區(qū)域的離散化所謂區(qū)域的離散化(domain discretization)實(shí)質(zhì)上就是用一組有限個(gè)離散的點(diǎn)來(lái)代替原來(lái)的連續(xù)空間。一般的實(shí)施過(guò)程是：把所計(jì)算的區(qū)域劃分成許多個(gè)互不重疊的子區(qū)域(subdomain)，確定每個(gè)子區(qū)域中的節(jié)點(diǎn)位置及該節(jié)點(diǎn)所代表的控制體積。區(qū)域離散后，得到以下四種幾何要素。l 節(jié)點(diǎn)(node)：需要求解的未知物理量的幾何位置。l 控制體積(control volume)：應(yīng)用控制方程或守恒定律的最小幾何單位。l 界面(face)：它定義了與各節(jié)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的控制體積的界面位置。l 網(wǎng)格線(xiàn)(grid line)：連接相鄰兩節(jié)點(diǎn)面形成的曲線(xiàn)簇。一般把節(jié)點(diǎn)看成是控制體積的代表。在離散過(guò)程中，將一個(gè)控制體積上的物理量定義并存儲(chǔ)在該節(jié)點(diǎn)處。圖12給出了一維問(wèn)題的有限體積法計(jì)算網(wǎng)格，圖13給出了二維問(wèn)題的有限體積法計(jì)算網(wǎng)格。 圖12 一維的有限體積法網(wǎng)格 圖13 二維的有限體積法網(wǎng)格計(jì)算區(qū)域離散的網(wǎng)格有兩類(lèi)：結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。節(jié)點(diǎn)排列有序，即當(dāng)給出了一個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)后，立即可以得出其相鄰節(jié)點(diǎn)的編號(hào)，所有內(nèi)部節(jié)點(diǎn)周?chē)木W(wǎng)格數(shù)目相同。這種網(wǎng)格稱(chēng)為結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格(structured grid)。結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格具有實(shí)現(xiàn)容易、生成速度快、網(wǎng)格質(zhì)量好、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，但不能實(shí)現(xiàn)復(fù)雜邊界區(qū)域的離散。而非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)以一種不規(guī)則的方式布置在流場(chǎng)中，各節(jié)點(diǎn)周?chē)木W(wǎng)格數(shù)目不盡相同。這種網(wǎng)格雖然生成過(guò)程比較復(fù)雜，但卻有極大的適應(yīng)性，對(duì)復(fù)雜邊界的流場(chǎng)計(jì)算問(wèn)題特別有效。2. 控制方程的離散化前面給出的流體流動(dòng)問(wèn)題的控制方程，無(wú)論是連續(xù)性方程、動(dòng)量方程，還是能量方程，都可寫(xiě)成如式(189)所示的通用形式，