【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 對(duì)系統(tǒng)中彈簧、阻尼器、致動(dòng)器的抽象，理想的力元可抽象為統(tǒng)一形式的移動(dòng)彈簧阻尼器致動(dòng)器（TSDA），或扭轉(zhuǎn)彈簧阻尼器致動(dòng)器（RSDA）。外力（偶）：多體系統(tǒng)外的物體對(duì)系統(tǒng)中物體的作用定義為外力（偶）。數(shù)學(xué)模型：分為靜力學(xué)數(shù)學(xué)模型、運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，是指在相應(yīng)條件下對(duì)系統(tǒng)物理模型（力學(xué)模型）的數(shù)學(xué)描述。機(jī)構(gòu)：裝配在一起并允許作相對(duì)運(yùn)動(dòng)的若干個(gè)剛體的組合。運(yùn)動(dòng)學(xué)：研究組成機(jī)構(gòu)的相互聯(lián)接的構(gòu)件系統(tǒng)的位置、速度和加速度，其與產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的力無關(guān)。運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型是非線性和線性的代數(shù)方程。動(dòng)力學(xué)：研究外力（偶）作用下機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，包括構(gòu)件系統(tǒng)的加速度、速度和位置，以及運(yùn)動(dòng)過程中的約束反力。動(dòng)力學(xué)問題是已知系統(tǒng)構(gòu)型、外力和初始條件求運(yùn)動(dòng)，也稱為動(dòng)力學(xué)正問題。動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型是微分方程或者微分方程和代數(shù)方程的混合。靜平衡：在與時(shí)間無關(guān)的力作用下系統(tǒng)的平衡，稱為靜平衡。靜平衡分析一種特殊的動(dòng)力學(xué)分析，在于確定系統(tǒng)的靜平衡位置。逆向動(dòng)力學(xué)：逆向動(dòng)力學(xué)分析是運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與動(dòng)力學(xué)分析的混合，是尋求運(yùn)動(dòng)學(xué)上確定系統(tǒng)的反力問題，與動(dòng)力學(xué)正問題相對(duì)應(yīng)，逆向動(dòng)力學(xué)問題是已知系統(tǒng)構(gòu)型和運(yùn)動(dòng)求反力，也稱為動(dòng)力學(xué)逆問題。連體坐標(biāo)系：固定在剛體上并隨其運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系，用以確定剛體的運(yùn)動(dòng)。剛體上每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置都可由其在連體坐標(biāo)系中的不變矢量來確定。廣義坐標(biāo)：唯一地確定機(jī)構(gòu)所有構(gòu)件位置和方位即機(jī)構(gòu)構(gòu)形的任意一組變量。廣義坐標(biāo)可以是獨(dú)立的（即自由任意地變化）或不獨(dú)立的（即需要滿足約束方程）。對(duì)于運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)來說，廣義坐標(biāo)是時(shí)變量。自由度：確定一個(gè)物體或系統(tǒng)的位置所需要的最少的廣義坐標(biāo)數(shù)，稱為該物體或系統(tǒng)的自由度。約束方程：對(duì)系統(tǒng)中某構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)或構(gòu)件之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)所施加的約束用廣義坐標(biāo)表示的代數(shù)方程形式，稱為約束方程。約束方程是約束的代數(shù)等價(jià)形式，是約束的數(shù)學(xué)模型。 計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與求解一般過程一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)，從初始的幾何模型，到動(dòng)力學(xué)模型的建立，經(jīng)過對(duì)模型的數(shù)值求解，最后得到分析結(jié)果。計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析的整個(gè)流程，主要包括建模和求解兩個(gè)階段。建模分為物理建模和數(shù)學(xué)建模，物理建模是指由幾何模型建立物理模型，數(shù)學(xué)建模是指從物理模型生成數(shù)學(xué)模型。幾何模型可以由動(dòng)力學(xué)分析系統(tǒng)幾何造型模塊所建造，或者從通用幾何造型軟件導(dǎo)入。對(duì)幾何模型施加運(yùn)動(dòng)學(xué)約束、驅(qū)動(dòng)約束、力元和外力或外力矩等物理模型要素，形成表達(dá)系統(tǒng)力學(xué)特性的物理模型。物理建模過程中，有時(shí)候需要根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和初始位置條件對(duì)幾何模型進(jìn)行裝配。由物理模型，采用笛卡爾坐標(biāo)或拉格朗日坐標(biāo)建模方法，應(yīng)用自動(dòng)建模技術(shù)，組裝系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程中的各系數(shù)矩陣，得到系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。對(duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，根據(jù)情況應(yīng)用求解器中的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)、靜平衡或逆向動(dòng)力學(xué)分析算法，迭代求解，得到所需的分析結(jié)果。聯(lián)系設(shè)計(jì)目標(biāo)，對(duì)求解結(jié)果再進(jìn)行分析，從而反饋到物理建模過程，或者幾何模型的選擇，如此反復(fù)，直到得到最優(yōu)的設(shè)計(jì)結(jié)果。在建模和求解過程中，涉及到幾種類型的運(yùn)算和求解。首先是物理建模過程中的幾何模型裝配，“初始條件計(jì)算”，這是根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和初始位置條件進(jìn)行的，是非線性方程的求解問題；再就是數(shù)學(xué)建模，是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程中的各系數(shù)矩陣自動(dòng)組裝過程，涉及大型矩陣的填充和組裝問題；最后是數(shù)值求解，包括多種類型的分析計(jì)算，如運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、動(dòng)力學(xué)分析、靜平衡分析、逆向動(dòng)力學(xué)分析等。運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是非線性的位置方程和線性的速度、加速度方程的求解，動(dòng)力學(xué)分析是二階微分方程或二階微分方程和代數(shù)方程混合問題的求解，靜平衡分析從理論上講是一個(gè)線性方程組的求解問題，但實(shí)際上往往采用能量的方法，逆向動(dòng)力學(xué)分析是一個(gè)線性代數(shù)方程組求解問題，這里面，最復(fù)雜的是動(dòng)力學(xué)微分代數(shù)方程的求解問題，它是多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的核心問題。在多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與求解過程中，還有一個(gè)問題是值得注意的——初值相容性問題，這是在任何正式求解之前必須首先解決的問題，直接影響到問題的可解性。初值相容性是要求系統(tǒng)中所有的位置、速度初始條件必須與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束方程相容。對(duì)于簡(jiǎn)單問題，初值相容性是易于保證的，但對(duì)于大型復(fù)雜系統(tǒng)，必須有專門的初值相容性處理算法以判斷系統(tǒng)的相容性或由一部分初值計(jì)算相容的其它初值。在多體系統(tǒng)建模與求解過程，求解器是核心，這其中涉及的所有運(yùn)算和求解，如初始條件計(jì)算、方程自動(dòng)組裝、各種類型的數(shù)值求解等等都由求解器所支持，它提供了所需的全部算法。實(shí)際上，結(jié)果分析是需要有專門的數(shù)值后處理器來支持的，以提供曲線和動(dòng)畫顯示以及其它各種輔助分析手段。但相比于多體系統(tǒng)建模與求解，數(shù)值后處理器相對(duì)簡(jiǎn)單，不存在什么理論上的重要問題。 計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與求解一般過程 多剛體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)對(duì)于多體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，傳統(tǒng)的理論力學(xué)是以剛體位置、速度和加速度的微分關(guān)系以及矢量合成原理為基礎(chǔ)進(jìn)行分析的，而計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析則是以系統(tǒng)中連接物體與物體的運(yùn)動(dòng)副為出發(fā)點(diǎn)，所進(jìn)行的位置、速度和加速度分析都是基于與運(yùn)動(dòng)副對(duì)應(yīng)的約束方程來進(jìn)行的?；诩s束的多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)，首先尋求與系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)副等價(jià)的位置約束代數(shù)方程，再由位置約束方程的導(dǎo)數(shù)得到速度、加速度的約束代數(shù)方程，對(duì)這些約束方程進(jìn)行數(shù)值求解，可得到廣義位置坐標(biāo)及相應(yīng)的速度和加速度坐標(biāo)，最后根據(jù)坐標(biāo)變換就可以由系統(tǒng)廣義坐標(biāo)及相應(yīng)導(dǎo)數(shù)得到系統(tǒng)中任何一點(diǎn)的位置、速度和加速度。由于機(jī)械系統(tǒng)在二維空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，廣義坐標(biāo)、約束方程、問題規(guī)模以及問題求解都相對(duì)簡(jiǎn)單，故本節(jié)先討論二維多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)以解釋多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本理論，在此基礎(chǔ)上再給出三維多體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。1． 約束方程（位置方程）設(shè)一個(gè)平面機(jī)構(gòu)由個(gè)剛性構(gòu)件組成。在機(jī)構(gòu)所在平面上建立一個(gè)全局坐標(biāo)系，機(jī)構(gòu)在該坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)；再為機(jī)構(gòu)上每個(gè)構(gòu)件建立各自的連體坐標(biāo)系，可由連體坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)確定構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)。選定構(gòu)件連體坐標(biāo)系原點(diǎn)的全局坐標(biāo)和連體坐標(biāo)系相對(duì)于全局坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角組成構(gòu)件的笛卡爾廣義坐標(biāo)矢量。由個(gè)剛性構(gòu)件組成的系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)數(shù)，則系統(tǒng)廣義坐標(biāo)矢量可表示為。 平面笛卡爾廣義坐標(biāo)一個(gè)實(shí)際的機(jī)械系統(tǒng)，系統(tǒng)中構(gòu)件與支架或構(gòu)件與構(gòu)件之間存在運(yùn)動(dòng)副的聯(lián)接，這些運(yùn)動(dòng)副可以用系統(tǒng)廣義坐標(biāo)表示為代數(shù)方程。設(shè)表示運(yùn)動(dòng)副的約束方程數(shù)為，則用系統(tǒng)廣義坐標(biāo)矢量表示的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束方程組為： ………………………()這里給出的是定常完整約束情況。如果約束方程與時(shí)間相關(guān)，則自變量中顯含時(shí)間項(xiàng)，這種約束被稱為非定常約束；更一般的約束方程含有不可積速度項(xiàng)的不等式或關(guān)系式，這種約束稱為非完整約束。一般的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束是定常完整約束。對(duì)于一個(gè)有個(gè)廣義坐標(biāo)和個(gè)約束方程的機(jī)械系統(tǒng)，若，且這個(gè)約束方程是獨(dú)立、相容的，則系統(tǒng)自由度。為使系統(tǒng)具有確定運(yùn)動(dòng)，可以有二種方法：（1）為系統(tǒng)添加與系統(tǒng)自由度DOF相等的附加驅(qū)動(dòng)約束；（2）對(duì)系統(tǒng)施加力的作用。在（1）情況下，系統(tǒng)實(shí)際自由度為零，被稱為是在運(yùn)動(dòng)學(xué)上確定的，在此情況下求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中的位置、速度和加速度的分析是運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，運(yùn)動(dòng)學(xué)分析本身不涉及作用力或反作用力問題。但是對(duì)于運(yùn)動(dòng)學(xué)上確定的系統(tǒng)，可以求解系統(tǒng)中約束反力，即已知運(yùn)動(dòng)求作用力，這是動(dòng)力學(xué)逆問題。在（2）情況下，系統(tǒng)有著大于零的自由度，但是在外力作用力，對(duì)于具有確定構(gòu)型和特定初始條件的系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)響應(yīng)是確定的，這種情況下求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中的位置、速度和加速度的分析，稱為動(dòng)力學(xué)分析。在這種情況下，特殊地，如果外力與時(shí)間無關(guān)，可以求解系統(tǒng)的靜平衡位置，這就是靜平衡分析問題。考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，為使系統(tǒng)具有確定運(yùn)動(dòng)，也就是要使系統(tǒng)實(shí)際自由度為零，為系統(tǒng)施加等于自由度（）的驅(qū)動(dòng)約束： …………………………………………………… …… ()在一般情況下，驅(qū)動(dòng)約束是系統(tǒng)廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。驅(qū)動(dòng)約束在其集合內(nèi)部及其與運(yùn)動(dòng)學(xué)約束合集中必須是獨(dú)立和相容的，在這種條件下，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)上是確定的，將作確定運(yùn)動(dòng)。由式（）表示的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和式（）表示的驅(qū)動(dòng)約束組合成系統(tǒng)所受的全部約束： …………………………….……… ... ()式（）為nc個(gè)廣義坐標(biāo)的nc個(gè)非線性方程組，其構(gòu)成了系統(tǒng)位置方程。求解式（），就可得到系統(tǒng)在任意時(shí)刻的廣義坐標(biāo)位置。．2 速度和加速度方程對(duì)式()運(yùn)用鏈?zhǔn)轿⒎址▌t求導(dǎo)，得到速度方程： ………………………….… ()若令，則速度方程為 ………...………………………..… ()如果是非奇異的，可以求解式()得到各離散時(shí)刻的廣義坐標(biāo)速度。對(duì)式()運(yùn)用鏈?zhǔn)轿⒎址▌t求導(dǎo)，可得加速度方程… ()若令，則加速度方程為 ………………………… ()如果是非奇異的，可以求解式()得到各離散時(shí)刻的廣義坐標(biāo)加速度。在速度方程()和加速度方程()中出現(xiàn)的矩陣，稱為雅可比矩陣，雅可比矩陣是約束多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析中最重要的矩陣。如果的維數(shù)為m，q維數(shù)為n，那么維數(shù)為矩陣，其定義為。這里為的方陣。對(duì)式()中的和式()中的進(jìn)行計(jì)算時(shí)，會(huì)涉及到二階導(dǎo)數(shù)，在實(shí)際的數(shù)值求解中，并不是實(shí)時(shí)地調(diào)用求導(dǎo)算法來進(jìn)行計(jì)算，而是先根據(jù)具體的約束類型，導(dǎo)出二階導(dǎo)數(shù)以及雅可比矩陣的表示式，在計(jì)算中只需代入基本的數(shù)據(jù)即可。．3 坐標(biāo)變換與任意點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在確定系統(tǒng)中構(gòu)件上任意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，常要求將構(gòu)件上點(diǎn)從連體坐標(biāo)系變換到全局坐標(biāo)系中，現(xiàn)討論連體坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換及構(gòu)件上任意點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。設(shè)矢量在全局坐標(biāo)系和某連體坐標(biāo)系中分別表示為： ………………….………………………………… ()，則存在如下坐標(biāo)變換關(guān)系： …………………………………………… ()其中，為點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，為連體坐標(biāo)系原點(diǎn)在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，為矢量在全局坐標(biāo)系中坐標(biāo)，為矢量在連體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，為旋轉(zhuǎn)變換矩陣，其形式為： ……………………………………. ()對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為： …………………… ()根據(jù)式()，我們可以得到以連體坐標(biāo)系表示的構(gòu)件上的任一點(diǎn)的全局坐標(biāo)。 二維空間坐標(biāo)變換 三維空間坐標(biāo)變換式()對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，可得任意點(diǎn)的速度變換公式： ………………………………………. . ()式()對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，可得任意點(diǎn)的加速度變換公式： ……………..…………. ()對(duì)于一個(gè)平面機(jī)構(gòu)來說，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí)，先是選定最大集的廣義坐標(biāo)，再分別根據(jù)式()、()和()14）求解機(jī)構(gòu)在各離散時(shí)刻的廣義坐標(biāo)位置、廣義坐標(biāo)速度和廣義坐標(biāo)加速度。對(duì)于任意一個(gè)由連體坐標(biāo)系確定的構(gòu)件上的點(diǎn)，可以根據(jù)式()、()和()求解其位置、速度和加速度。．.4 三維多剛體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)三維多體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析與二維多體系統(tǒng)較為相似，只是廣義坐標(biāo)選取復(fù)雜一些，約束方程形式復(fù)雜一些，問題規(guī)模要大一些。三維多體系統(tǒng)廣義坐標(biāo)與二維相似，也是由位置坐標(biāo)和方位（或稱為姿態(tài)）坐標(biāo)組成，位置坐標(biāo)表示較為固定，都是由連體坐標(biāo)系基點(diǎn)坐標(biāo)確定，方位坐標(biāo)則具有多種形式，如方向余弦矩陣、歐拉角、卡爾丹角、有限轉(zhuǎn)動(dòng)四元數(shù)、歐拉參數(shù)等等，最常用的是歐拉角和歐拉參數(shù)。這里先給出三維機(jī)械系統(tǒng)廣義坐標(biāo)的方向余弦與歐拉參數(shù)和歐拉角幾種形式及其之間的變換，再據(jù)此給出系統(tǒng)的約束方程、速度方程和加速度方程的形式。（1）坐標(biāo)變換、歐拉參數(shù)與歐拉角對(duì)于三維空間機(jī)構(gòu)，采用固聯(lián)在構(gòu)件上的連體坐標(biāo)系來確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)。構(gòu)件的廣義坐標(biāo)，由兩個(gè)部分組成，一是連體坐標(biāo)系的原點(diǎn)坐標(biāo)，二是確定連體坐標(biāo)系相對(duì)于全局坐標(biāo)系的方位參數(shù)。如圖2. 4所示，連體坐標(biāo)系原點(diǎn)坐標(biāo)為，相對(duì)于全局坐標(biāo)系的方位可用方向余弦矩陣表示，也可用歐拉參數(shù)或者歐拉角，這幾種具有相同幾何意義，但數(shù)值特性不同。方向余弦矩陣定義為： ………………………………… ()其中，、和分別為連體坐標(biāo)系坐標(biāo)軸、和的單位矢量。方向余弦矩陣為正交矩陣，因此，中9個(gè)變量受6個(gè)獨(dú)立方程的約束，方向余弦矩陣中只存在說明3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的獨(dú)立變量。如果連體坐標(biāo)系和全局坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，即，則矢量在連體坐標(biāo)系中的表示形式和在全局坐標(biāo)系中的表示形式存在如下變換關(guān)系： …………………………………………………….……..... ()更一般的坐標(biāo)變換式為： ……………………………………………………... ()其中，為點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，為坐標(biāo)系原點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，為點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，為相對(duì)于的方向余弦矩陣。對(duì)式()求時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得速度變換式： ………………………………………… ()其中是的斜對(duì)稱矩陣（），稱為連體坐標(biāo)系相對(duì)于全局坐標(biāo)系的角速度矢量，表示為： ……………………………