【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ,…,6狀態(tài)變量sk：第k天早上（發(fā)貨以前）的冷庫(kù)存量決策變量xk：第k天的生產(chǎn)量狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：sk+1=sk+xk－dk；決策允許集合：階段指標(biāo)： vk(sk，xk)=ckxk+終端條件：f6(s6)=0, s6=0；遞推方程：當(dāng)k=5時(shí)，因?yàn)閟6=0，有由于s5≤15，k=4時(shí)， k=3時(shí)，當(dāng)0≤s4≤30時(shí)，得 有當(dāng)30≤s4≤40時(shí)，有顯然此決策不可行。當(dāng)k=2時(shí)，由x2的決策允許集合為當(dāng)k=1時(shí)，由，則x1的決策允許集合為因?yàn)?2)期初存儲(chǔ)量s1=8, 與前面計(jì)算相似，x1=2. Min Z=+= 則總成本最小的方案是第二種。 某企業(yè)計(jì)劃委派10個(gè)推銷(xiāo)員到4個(gè)地區(qū)推銷(xiāo)產(chǎn)品，每個(gè)地區(qū)分配1~4個(gè)推銷(xiāo)員。各地區(qū)月收益（單位：10萬(wàn)元）與推銷(xiāo)員人數(shù)的關(guān)系如表8－26所示。表826 地區(qū)人數(shù)ABCD1456727122024318232326424242730企業(yè)如何分配4個(gè)地區(qū)的推銷(xiāo)人員使月總收益最大?！窘狻吭O(shè)xk為第k種貨物的運(yùn)載重量，該問(wèn)題的靜態(tài)規(guī)劃模型為利用圖表法：X1X2X3X4X5000830002632020631008027080024006230026028022435040436004444024232044032042225200630206027260027220433202434224029204231242022240223400431404027440019420219402220422018600225602024620023800024故最優(yōu)解為則 max Z=44 有一個(gè)車(chē)隊(duì)總共有車(chē)輛100輛，分別送兩批貨物去A、B兩地，運(yùn)到A地去的利潤(rùn)與車(chē)輛數(shù)目滿足關(guān)系100x ，x為車(chē)輛數(shù)，車(chē)輛拋錨率為30%，運(yùn)到B地的利潤(rùn)與車(chē)輛數(shù)y關(guān)系為80y，車(chē)輛拋錨率為20%，總共往返3輪。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)使總利潤(rùn)最高的車(chē)輛分配方案?！窘狻縿?dòng)態(tài)規(guī)劃求解過(guò)程如下。階段k：共往數(shù)k=1,2,3,4，k=1表示第一趟初，k=4表示第三趟末（即第六年初）；狀態(tài)變量sk：第k趟初完好的車(chē)輛數(shù)（k=1,2,3,4），也是第k－1趟末完好的車(chē)輛數(shù)，其中s4表示第三趟末的完好車(chē)輛數(shù)。決策變量xk：第k年初投入高負(fù)荷運(yùn)行的機(jī)器數(shù)；狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：sk+1=+(sk－xk)決策允許集合：Dk(sk)={xk|0163。xk163。sk}階段指標(biāo)：vk(sk，xk)=100xk+80(sk－xk)終端條件：f4(s4)=0遞推方程： fk(xk)表示第k趟初分配xk輛車(chē)到A地，到第3趟末的最大總運(yùn)價(jià)為因?yàn)閟1=100，最大總運(yùn)價(jià)f1(s1)=21900元 系統(tǒng)可靠性問(wèn)題。一個(gè)工作系統(tǒng)由個(gè)部件串聯(lián)組成，見(jiàn)圖85。只要有一個(gè)部件失靈，整個(gè)系統(tǒng)就不能工作。為提高系統(tǒng)的可靠性，可以增加部件的備用件。例如，用5個(gè)部件1并聯(lián)起來(lái)作為一個(gè)部件與部件2串聯(lián)，如果其中一個(gè)部件失靈其它4個(gè)部件仍能正常工作。由于系統(tǒng)成本（或重量、體積）的限制，應(yīng)如何選擇各個(gè)部件的備件數(shù)，使整個(gè)系統(tǒng)的可靠性最大。部件1部件2……部件n圖85假設(shè)部件上裝有個(gè)備用件，該部件正常工作的概率為。設(shè)裝一個(gè)部件的備用件的成本為，要求備件的總費(fèi)用為C。那么該問(wèn)題模型為： （）同理，如果一個(gè)復(fù)雜的工作系統(tǒng)由個(gè)部件并聯(lián)組成的，只有當(dāng)個(gè)部件都失靈，整個(gè)系統(tǒng)就不能工作，見(jiàn)圖86。圖86假設(shè)為第個(gè)部件失靈的概率，為提高系統(tǒng)的可靠性，可以增加部件的備用件。由于系統(tǒng)成本（或重量、體積）的限制，應(yīng)如何選擇各個(gè)部件的備件數(shù)，使整個(gè)系統(tǒng)的可靠性最大。系統(tǒng)的可靠性為，則該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型歸結(jié)為 （） 利用式()或（）求解下列問(wèn)題。（1）工廠設(shè)計(jì)的一種電子設(shè)備，其中有一系統(tǒng)由三個(gè)電子元件串聯(lián)組成。已知這三個(gè)元件的價(jià)格和可靠性如表827所示，要求在設(shè)計(jì)中所使用元件的費(fèi)用不超過(guò)200元，試問(wèn)應(yīng)如何設(shè)計(jì)使設(shè)備的可靠性達(dá)到最大。表827元件單價(jià)可靠性140235320（2）公司計(jì)劃在5周內(nèi)必須采購(gòu)一批原料，而估計(jì)在未來(lái)的5周內(nèi)價(jià)格有波動(dòng)，其浮動(dòng)價(jià)格和概率根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè)得出，如表828所示，試求在哪一周以什么價(jià)格購(gòu)入，使其采購(gòu)價(jià)格的期望最小，并求出期望值。表828單 價(jià)概 率5500．16500．258000．39000．35【解】（1）數(shù)學(xué)模型為最優(yōu)解X=(1，2，4)；可靠性Z=，總費(fèi)用190。（2）設(shè)階段k，可按采購(gòu)期限分為5段，k＝l，2，3，4，5決策變量為xk，第k周采購(gòu)則xk＝l，若不采購(gòu)則xk＝0狀態(tài)變量sk表示第k周原料實(shí)際價(jià)格用Qk表示當(dāng)?shù)趉周決定等待，而在以后采購(gòu)時(shí)的采購(gòu)價(jià)格期望值，即最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)fk(sk)表示第k周實(shí)際價(jià)格為sk時(shí)，從第k周到第5周采取最優(yōu)決策所花費(fèi)的最低期望價(jià)格，遞推公式為則k＝5時(shí)，因?yàn)槿羟八闹苌形促?gòu)買(mǎi)，則無(wú)論本周價(jià)格如何，該企業(yè)都必須購(gòu)入原料所以當(dāng)k＝4時(shí)，當(dāng)k＝3時(shí)，當(dāng)k＝2時(shí)，當(dāng)k＝1時(shí)，最優(yōu)采購(gòu)策略： 若前面四周原料價(jià)格為550或650時(shí)，則立即采購(gòu)，否則在以后的幾周內(nèi)再采購(gòu)。第五周無(wú)論當(dāng)時(shí)的價(jià)格為多少都必須采購(gòu)。期望價(jià)格為（元）習(xí)題九，顧客到達(dá)服從=30人/小時(shí)的Poisson分布，當(dāng)?shù)昀镏挥幸粋€(gè)顧客時(shí)，當(dāng)?shù)昀镉?個(gè)或2個(gè)以上顧客時(shí)，平均服務(wù)時(shí)間縮減至1分鐘。兩種服務(wù)時(shí)間均服從負(fù)指數(shù)分布。試求：（1）此排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖；（2）穩(wěn)態(tài)下的概率轉(zhuǎn)移平衡方程組；（3）店內(nèi)有2個(gè)顧客的概率；（4）該系統(tǒng)的其它數(shù)量指標(biāo)?！窘狻浚?）此系統(tǒng)為排隊(duì)模型，該系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如下：（2）由轉(zhuǎn)移圖可得穩(wěn)態(tài)下的差分方程組如下： （3）已知由得令 ，有則 （4）系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)（隊(duì)長(zhǎng)期望值） 在隊(duì)列中等待的平均顧客數(shù)（隊(duì)列長(zhǎng)期望值）系統(tǒng)中顧客逗留時(shí)間系統(tǒng)中顧客等待時(shí)間，一天平均有90個(gè)顧客到達(dá)商店，商店的服務(wù)平均速度是每小時(shí)服務(wù)10個(gè)，若假定顧客到達(dá)的規(guī)律是服從Poisson分布，商店服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，試求：（1）在商店前等待服務(wù)的顧客平均數(shù)。（2）在隊(duì)長(zhǎng)中多于2個(gè)人的概率。（3）在商店中平均有顧客的人數(shù)。（4）若希望商店平均顧客只有2人，平均服務(wù)速度應(yīng)提高到多少。【解】此題是屬于系統(tǒng)，其中：=9（個(gè)/小時(shí)） =10(個(gè)/小時(shí)) =9/10(1) （個(gè)）(2) (3) （個(gè)）(4) (個(gè)/小時(shí))，目前只招聘了一個(gè)服務(wù)員，需要決定等待理發(fā)的顧客的位子應(yīng)設(shè)立多少。假設(shè)需要理發(fā)的顧客到來(lái)的規(guī)律服從泊松流，平均每4分鐘來(lái)一個(gè)，而理發(fā)的時(shí)間服從指數(shù)分布，平均每3分鐘1人。如果要求理發(fā)的顧客因沒(méi)有等待的位子而轉(zhuǎn)向其他理發(fā)店的人數(shù)占要理發(fā)的人數(shù)比例為7％時(shí)，應(yīng)該安放幾個(gè)位子供顧客等待？【解】此題屬于模型,依題意知：＝1/4，=1/3，由題意解方程則應(yīng)設(shè)立4個(gè)座位供顧客排隊(duì)。，平均服務(wù)時(shí)間為6分鐘。到達(dá)服從Poisson流，服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布。由于場(chǎng)地受限制，服務(wù)部最多不能超過(guò)3人，求：（1）服務(wù)部沒(méi)有人到達(dá)的概率；（2）服務(wù)部的平均人數(shù)；（3）等待服務(wù)的平均人數(shù)；（4）顧客在服務(wù)部平均花費(fèi)的時(shí)間；（5）顧客平均排隊(duì)的時(shí)間?！窘狻恳李}意，這是排隊(duì)系統(tǒng)。其中：=3，=4，=10，=（1）=（）/[1（）4]=（2）（人）（3）（人）（4）（小時(shí)）（5）（小時(shí)），每臺(tái)機(jī)器連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間為15分鐘。有一個(gè)修理工，每次修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每次12分鐘。求該排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo)，，，和?！窘狻坑深}意知，每臺(tái)機(jī)器每小時(shí)出故障的平均次數(shù)服從泊松分布，故該排隊(duì)系統(tǒng)為系統(tǒng)，其中：　　=1/15，=5，=1/12，=（臺(tái)）（臺(tái)）（分鐘）（分鐘）：一個(gè)的排隊(duì)系統(tǒng)要比兩個(gè)的排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)越。試從隊(duì)長(zhǎng)這個(gè)指標(biāo)證明?！咀C】設(shè)的服務(wù)強(qiáng)度為，則服務(wù)強(qiáng)度為2。則兩個(gè)單服務(wù)臺(tái)的系統(tǒng)　　兩個(gè)服務(wù)臺(tái)的系統(tǒng)　　隊(duì)長(zhǎng)　　由于，即系統(tǒng)1的隊(duì)長(zhǎng)大于系統(tǒng)2 的隊(duì)長(zhǎng)，故單隊(duì)2服務(wù)臺(tái)的系統(tǒng)優(yōu)于2隊(duì)單服務(wù)對(duì)的系統(tǒng)。來(lái)到該博物館參觀的觀眾服從泊松分布，平均96人/小時(shí)。觀眾大致平均分散于各展廳，且在各展廳停留的時(shí)間服從分鐘的負(fù)指數(shù)分布，在參觀完4個(gè)展廳后離去。問(wèn)該博物館的每個(gè)展廳應(yīng)按多大容量設(shè)計(jì)，使在任何時(shí)間內(nèi)觀眾超員的概率小于5%。【解】此問(wèn)題中服務(wù)員數(shù)量，屬于系統(tǒng)，每個(gè)展廳內(nèi)：人/小時(shí)，人/小時(shí)，　　　　　　　　　　要確定展廳的容量，即有由泊松累積分布表查得?！　」拭總€(gè)展廳應(yīng)至少容納10人，使在任何時(shí)間內(nèi)觀眾超員的概率小于5%。，每臺(tái)機(jī)床平均每小時(shí)需照管一次，每次需一個(gè)工人照管的平均時(shí)間為15分鐘。每次照管時(shí)間及每相繼兩次照管間隔都相互獨(dú)立且為負(fù)指數(shù)分布。試求每人平均空閑時(shí)間，系統(tǒng)四項(xiàng)主要指標(biāo)和機(jī)床利用率。【解】由題意可知，該系統(tǒng)為系統(tǒng)，且：，臺(tái)/小時(shí)，臺(tái)/小時(shí)， 。工人空閑率： 計(jì)算得：臺(tái)臺(tái)工人平均空閑時(shí)間：（小時(shí)）=（分鐘）（小時(shí)）=（分鐘）機(jī)床利用率：，顧客按泊松分布平均每小時(shí)到達(dá)10人，為任一顧客辦理存款、取款等業(yè)務(wù)的時(shí)間服從～(,)的正態(tài)分布。試求儲(chǔ)蓄所空閑的概率及其主要工作指標(biāo)?！窘狻窟@是一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)。由題意知：　　人/小時(shí)，人/小時(shí)，，儲(chǔ)蓄所空閑的概率及其主要工作指標(biāo)為：（人）（人）（分鐘）（分鐘），檢測(cè)每臺(tái)機(jī)器都需6分鐘。送檢機(jī)器按泊松分布到達(dá)，平均每小時(shí)4臺(tái)。試求該系統(tǒng)的主要工作指標(biāo)。解：這是一個(gè)系統(tǒng)，且：臺(tái)/小時(shí)，分鐘/臺(tái)，各主要工作指標(biāo)為：（臺(tái)）（臺(tái)）（分鐘）（分鐘），平均每小時(shí)到達(dá)6人，平均通話時(shí)間為8分鐘，方差為8分鐘，直觀上估計(jì)通話時(shí)間服從愛(ài)爾朗分布，管理人員想知道平均列隊(duì)長(zhǎng)度和顧客平均等待時(shí)間是多少。解：該系統(tǒng)為排隊(duì)系統(tǒng)，其中：，（人）（分鐘），得到如下數(shù)據(jù)：系統(tǒng)中的顧客數(shù)（n）記錄到的次數(shù)(mn)0 1 2 3 161 97 53 34平均服務(wù)時(shí)間為10分鐘，服務(wù)一個(gè)顧客的收益為2元，服務(wù)機(jī)構(gòu)運(yùn)行單位時(shí)間成本為1元，問(wèn)服務(wù)率為多少時(shí)可使單位時(shí)間平均總收益最大?！窘狻吭撓到y(tǒng)為系統(tǒng)，首先通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)平均到達(dá)率：因?yàn)椤　　】梢杂孟率絹?lái)估計(jì)由/小時(shí)，可得的估計(jì)值為：　　人/小時(shí)為求最優(yōu)服務(wù)率，取：，可得　　故　　當(dāng)人/小時(shí)時(shí)，總收益為：（元/小時(shí)）當(dāng)人/小時(shí)時(shí)，總收益為：（元/小時(shí)）。，要求進(jìn)行檢驗(yàn)的工廠（顧客）的到來(lái)服從流，平均到達(dá)率為（次/天）；工廠每次來(lái)檢驗(yàn)由于停工造成損失6元；服務(wù)（檢驗(yàn)）時(shí)間服務(wù)負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)率為（次/天）；每設(shè)置一個(gè)檢驗(yàn)員的服務(wù)成本為每天4元，其他條件均適合系統(tǒng)。問(wèn)應(yīng)設(shè)