必修四平面向量知識(shí)點(diǎn)整理例題練習(xí)答案(編輯修改稿)
2025-07-16 18:52 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 則 ．在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的對(duì)角線的兩端點(diǎn)分別為，則 ．三、解答題：已知ΔABC三個(gè)頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3，4)、B(0，0)、C(，0)． (1)若，求的值；(2)若，求sin∠A的值,當(dāng)為何值時(shí)，（1）與垂直？（2）與平行？3．已知，（）．求證： 與互相垂直； 4．已知與，問(wèn)當(dāng)實(shí)數(shù)的值為多少時(shí)最小。5．已知向量，向量，則的最大值是 ．平面向量知識(shí)點(diǎn)整理概念向量：既有大小，又有方向的量． 數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量．有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度． 單位向量：長(zhǎng)度等于個(gè)單位的向量．平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．相反向量：向量表示：幾何表示法；字母a表示；坐標(biāo)表示：a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.向量的模：設(shè)，則有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作：. （ 。）零向量：長(zhǎng)度為的向量。a＝O｜a｜＝O.【例題】：（1）若，則。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_______（答：（4）（5）），它們的夾角為，那么＝_____（答：）； 向量加法運(yùn)算：⑴三角形法則的特點(diǎn)：首尾相接連端點(diǎn)．⑵平行四邊形法則的特點(diǎn)：起點(diǎn)相同連對(duì)角．⑶三角形不等式：．⑷運(yùn)算性質(zhì)：①交換律：；②結(jié)合律：； ③．⑸坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則．向量減法運(yùn)算：⑴三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量．⑵坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則．設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則．【例題】（1）①___；②____； ③_____ （答：①；②；③）；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為1，則＝_____（答：）；（3）已知作用在點(diǎn)的三個(gè)力，則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是 （答：（9,1））向量數(shù)乘運(yùn)算：⑴實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作．①；②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同； 當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，．⑵運(yùn)算律：①；②；③．⑶坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則．【例題】（1）若M（3，2），N（6，1），且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_______（答：）；向量共線定理：向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使．設(shè)，（）。 【例題】 (1)若向量，當(dāng)＝_____時(shí)與共線且方向相同（答：2）；（2）已知，，且，則x＝______（答：4）；向量垂直：.【例題】(1)已知，若，則 （答：）； （2）以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________ （答：(1,3)或（3，－1））； （3）已知向量，且，則的坐標(biāo)是________ （答：）平面向量的數(shù)量積：⑴．零向量與任一向量的數(shù)量積為．⑵性質(zhì)：設(shè)和都是非零向量，則①．②當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；或．③．⑶運(yùn)算律：①；②；③．⑷坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量，則．若，則，或．設(shè)，則a⊥bab＝0x1x2＋y1y 2＝0. 則a∥ba＝λb(b≠0)x1y2＝ x2y1.設(shè)、都是非零向量，，是與的夾角，則；（注）
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