數(shù)學(xué)建模講稿插值擬合方程求根(編輯修改稿)
2025-07-16 16:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 已知一組數(shù)據(jù)，用什么樣的曲線擬合最好呢？可以根據(jù)散 點圖進(jìn)行直觀判斷，在此基礎(chǔ)上，選擇幾種曲線分別擬合， 然后觀察哪條曲線的最小二乘指標(biāo)最小 . 常用的擬合函數(shù) 多項式函數(shù) 雙曲線 指數(shù)曲線等 2 220mii???? ? 20( ( ) )miiiS x y????200( ( ) )mnj j i iija x y???????20( ( ) )miiiS x y????擬合原理 22?0( ) ( )njjjS x a x??? ?由 ( 0, 1 , , )j ja n?為 擬 合 系 數(shù) 的 函 數(shù)可知 因此可假設(shè) 01( , , , )na a a? 200( ( ) )mnj j i iija x y???????因此求最小二乘解轉(zhuǎn)化為 二次函數(shù) 0 11 0( ) * , * , ,( , , , ) *n naaaa aa?求 的 最 小 值 極 小 值 點 的 問 題由多元函數(shù)取極值的必要條件 01( , , , ) 0nka a aa?? ??nk ,1,0 ??00[ 2 ( ( ) ) ( ) ]mnj j i i k iija x y x????????ka???0?得 即 0 0 0( ) ( ) ( )m n mj j i k i i k ii j ia x x y x? ? ?? ? ??? ? ?00[ ( ) ( ) ( ) ] 0mnj j i k i i k iija x x y x? ? ???????200( ( ) )mnj j i iija x y???????01( , , , )na a a?0 0 0( ) ( ) ( )m n mj j i k i i k ii j ia x x y x? ? ?? ? ??? ? ?nk ,1,0 ?? (4) 0 0 1 10 0 00( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )()m m mi k i i k i n n i k ii i imi k iia x x a x x a x xyx? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?? nk ,1,0 ??即 引入記號 01( ( ) , ( ) , , ( ) )r r r mx x x? ? ?r? ?01( , , , )my y yf ?0( , ) ( ) ( )mk j k i j iixx? ? ? ??? ?則由內(nèi)積的概念可知 0( , ) ( )mk k i iif x y???? ?(5) (6) ( , )kj?? ( , )jk???顯然內(nèi)積滿足交換律 方程組 (4)便可化為 0 0 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )k k n k n ka a a f? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?nk ,1,0 ??(7) 的線性方程組常數(shù)項為這是一個系數(shù)為 ),(),( fkjk ???將其表示成矩陣形式 01naaa??????????????01( , )( , )( , )nfff???????????????????????????? 0 0 0 1 0( , ) ( , ) ( , )n? ? ? ? ? ?1 0 1 1 1( , ) ( , ) ( , )n? ? ? ? ? ?01( , ) ( , ) ( , )n n n n? ? ? ? ? ?(8) 2. 曲線擬合的 MATLAB實現(xiàn) 多項式函數(shù)擬合 ： a= polyf i t(x data,y da ta,n) 其中 n 表示多項式的最高階數(shù)， x data ， y data 為將要擬合的數(shù)據(jù)，它是用數(shù)組的方式輸入．輸出參數(shù) a 為擬合多項式11nnny a x a x a ?? ? ? ?的系數(shù)11[ , , , ]nna a a a ?? 多項式在 x 處的值 y 可用 y = poly val (a, x ) 計算． 引例的求解 t=l:16； y=[ 4 8 10 ] ； p=polyfit(t,y,2) (二次多項式擬合） 計算結(jié)果： p= %二次多項式的系數(shù) 由此得到某化合物的濃度 y與時間 t的擬合函數(shù) 20 4 4 7 1 2 5 tty ???對函數(shù)的精度如何檢測呢？仍然以圖形來檢測 3，非線性擬合命令： lsqcurvefit、 lsqnonlin （ 1） lsqcurvefit:
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