20xx年高考江蘇數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)(編輯修改稿)
2024-07-16 08:12 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連結(jié)． （1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，且，求橢圓的方程； （2）若，求橢圓離心率e的值．解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴橢圓方程為．（2）設(shè)焦點(diǎn)，∵關(guān)于x軸對(duì)稱，∴，∵三點(diǎn)共線，∴，即①∵，∴，即②①②聯(lián)立方程組，解得 ∴C在橢圓上，∴，化簡(jiǎn)得，∴, 故離心率為．（18）【2014年江蘇，18，16分】如圖，為保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處，點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處(OC為河岸)，． （1）求新橋BC的長(zhǎng)； （2）當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？．解：解法一：（1）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．由條件知A(0, 60)，C(170, 0)，直線BC的斜率．又因?yàn)锳B⊥BC，所以直線AB的斜率．設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,b)，則kBC=， k AB=，解得a=80，b=120． 所以BC=．因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m．（2）設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為r m,OM=d m,(0≤d≤60)．由條件知，直線BC的方程為，即，由于圓M與直線BC相切，故點(diǎn)M(0，d)到直線BC的距離是r，即．因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m，所以，即，解得．故當(dāng)d=10時(shí),最大，即圓面積最大． 所以當(dāng)OM = 10 m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大．解法二：（1）如圖，延長(zhǎng)OA, CB交于點(diǎn)F．因?yàn)閠an∠BCO=．所以sin∠FCO=，cos∠FCO=．因?yàn)镺A=60,OC=170，所以O(shè)F=OC tan∠FCO=．CF=，從而．因?yàn)镺A⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO=，又因?yàn)锳B⊥BC，所以BF=AF cos∠AFB==，從而B(niǎo)C=CF－BF=150．因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m．（2）設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點(diǎn)為D，連接MD，則MD⊥BC，且MD是圓M的半徑，并設(shè)MD=r m，OM=d m(0≤d≤60)．因?yàn)镺A⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，故由（1）知，sin∠CFO =所以．
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