坐標系與參數(shù)方程[知識點選題](編輯修改稿)
2025-07-16 06:56 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 0分） 在極坐標系中，已知圓的圓心，半徑. （Ⅰ）求圓的極坐標方程； （Ⅱ）若，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線交圓于兩點，求弦長的取值范圍.解析：（Ⅰ）方法一：∵圓心的直角坐標為，∴圓的直角坐標方程為.化為極坐標方程是.方法二：如圖，設圓上任意一點，則 化簡得.．．．．．．．．4分（Ⅱ）將代入圓的直角坐標方程，得 即所以 .故，∵，∴ ，即弦長的取值范圍是.．．．．．．．．．．．．．．．．．10分3. （本小題滿分10分）已知直線的參數(shù)方程是（是參數(shù)），圓的極坐標方程為.（Ⅰ）求圓心的直角坐標；（Ⅱ）由直線上的點向圓引切線，求切線長的最小值。解析：（Ⅰ）由 得 圓的直角坐標方程為 即，所以 圓心的直角坐標為（Ⅱ）由直線上的點向圓引切線，切線長為所以，當時，切線長的最小值為[來源:]4. （本小題滿分10分）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線上兩點的極坐標分別為，圓的參數(shù)方程為參數(shù)） （Ⅰ）設為線段的中點，求直線的平面直角坐標方程；[來源:學科網(wǎng)]（Ⅱ）判斷直線與圓的位置關系。解析：（Ⅰ）由題意知，的直角坐標為，因為是線段中點，則因此直角坐標方程為 （Ⅱ）因為直線上兩點，[來源:學科網(wǎng)]∴的方程為：即，又圓心，半徑.所以,故直線和圓相交.5.（本小題滿分10分）在直角坐標系中，圓，圓（1）在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，分別寫出圓的極坐標方程，并求出圓的交點坐標（用極坐標表示）（2）求圓與圓的公共弦的參數(shù)方程解析：圓的極坐標方程為，圓的極坐標方程為，解 得，故圓與圓交點的坐標為 ……5分 注：極坐標系下點的表示不唯一（2）（解法一）由，得圓與圓交點的直角坐標為故圓與圓的公共弦的參數(shù)方程為 (為參數(shù)) （或參數(shù)方程寫成） … 10分（解法二）將代入，得，從而于是圓與圓的公共弦的參數(shù)方程為 … 10分補充練習：1．在極坐標系中，求點到直線ρsin＝1的距離．[解] 點化為直角坐標為(，1)，3分直線ρsin＝1化為ρ＝1，得y－x＝1，即直線的方程為x－y＋2＝0，6分故點(，1)到直線x－y＋2＝0的距離d＝＝2．在極坐標系下，已知圓O：ρ＝cos θ＋sin θ和直線l：ρsin＝. (1)求圓O和直線l的直角坐標方程；(2)當θ∈(0，π)時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標．[解] (1)圓O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，2分圓O的直角坐標方程為x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，4分直線l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，則直線l的直角坐標方程為y－x＝1，即x－y＋1＝(2)由得8分3．(2017邯鄲調(diào)研)在極坐標系中，已知直線l的極坐標方程為ρsin＝1，圓C的圓心的極坐標是C，圓的半徑為1. (1)求圓C的極坐標方程；(2)求直線l被圓C所截得的弦長．[解] (1)設O為極點，OD為圓C的直徑，A(ρ，θ)為圓C上的一個動點，則∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，2分OA＝ODcos或OA＝ODcos，∴圓C的極坐標方程為ρ＝(2)由ρsin＝1，得ρ(sin θ＋cos θ)＝1，6分∴直線l的直角坐標方程為x＋y－＝0，又圓心C的直角坐標為，滿足直線l的方程，∴直線l過圓C的圓心，8分4．(2017南京調(diào)研)在極坐標系中，已知圓C的圓心C，半徑r＝3.(1)
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