圓與方程知識點整理(編輯修改稿)
2025-07-16 02:05 本頁面
【文章內容簡介】 的方程．解：設切線方程為，即，∵圓心到切線的距離等于半徑，∴，解得， ∴切線方程為，即，當過點的直線的斜率不存在時，其方程為，圓心到此直線的距離等于半徑，故直線也適合題意。所以，所求的直線的方程是或．過坐標原點且與圓相切的直線的方程為 解：設直線方程為，即.∵圓方程可化為，∴圓心為（2，1），解得或，∴直線方程為或.已知直線與圓相切，則的值為 .解：∵圓的圓心為（1，0），半徑為1，∴，解得或.類型三：弦長、弧問題例求直線被圓截得的弦的長.例直線截圓得的劣弧所對的圓心角為 解：依題意得，弦心距，故弦長，從而△OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為.例求兩圓和的公共弦長類型四：直線與圓的位置關系例1已知直線和圓，判斷此直線與已知圓的位置關系.例1若直線與曲線有且只有一個公共點，求實數的取值范圍.解：∵曲線表示半圓，∴利用數形結合法，可得實數的取值范圍是或.例13 圓上到直線的距離為1的點有幾個？分析：借助圖形直觀求解．或先求出直線、的方程，從代數計算中尋找解答．解法一：圓的圓心為，半徑．設圓心到直線的距離為，則．如圖，在圓心同側，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意．又．∴與直線平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意．∴符合題意的點共有3個．解法二：符合題意的點是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點．設所求直線為，則，∴，即，或，也即，或．設圓的圓心到直線、的距離為、則，．∴與相切，與圓有一個公共點；與圓相交，與圓有兩個公共點．即符合題意的點共3個．說明：對于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：設圓心到直線的距離為，則．∴圓到距離為1的點有兩個．顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距離，只能說明此直線與圓有兩個交點，而不能說明圓上有兩點到此直線的距離為1．到一條直線的距離等于定值的點，在與此直線距離為這個定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點就是這兩條平行直線與圓的公共點．求直線與圓的公共點個數，一般根據圓與直線的位置關系來判斷，即根據圓心與直線的距離和半徑的大小比較來判斷．練習1：直線與圓沒有公共點，則的取值范圍是 解：依題意有，解得.∵，∴.練習2：若直線與圓有兩個不同的交點，則的取值范圍是 .解：依題意有，解得，∴的取值范圍是. 圓上到直線的距離為的點共有（ ）．（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個分析：把化為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以在圓上共有三個點到直線的距離等于，所以選C． 過點作直線，當斜率為何值時，直線與圓有公共點，如圖所示．分析：觀察動畫演示，分析思路．PEOyx解：設直線的方程為即根據有整理得解得．類型五：圓與圓的位置關系問題導學四：圓與圓位置關系如何確定？例1判斷圓與圓的位置關系，例15：圓和圓的公切線共有 條。解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，∴.∵，∴。練習1：若圓與圓相切，則實數的取值集合是 .解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，且兩圓相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴實數的取值集合是.2：求與圓外切于點，且半徑為的圓的方程.解：設所求圓的圓心為，則所求圓的方程為.∵兩圓外切于點，∴，∴，∴，∴所求圓的方程為.類型六：圓中的對稱問題例1圓關于直線對稱的圓的方程是 GOBNMyAx圖3CA’例17 自點發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，反射光線所在的直線與圓相切（1）求光線和反射光線所在的直線方程．（2）光線自到切點所經過的路程．分析、略解：觀察動畫演示，分析思路．根據對稱關系，首先求出點的對稱點的坐標為，其次設過的圓的切線方程為根據，即求出圓的切線的斜率為或進一步求出反射光線所在的直線的方程為或最后根據入射光與反射光關于軸對稱，求出入射光所在直線方程為或光路的距離為，可由勾股定理求得．說明：本題亦可把圓對稱到軸下方，再求解．類型七：圓中的最值問題例18：圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是 解：∵圓的圓心為（2，2），半徑，∴圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，∴圓上的點到直線的最大距離與最小距
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