圓與方程知識點整理-資料下載頁
2025-06-19 02:05本頁面
【正文】 點，如果動點滿足，則點的軌跡所包圍的面積等于 解：，得，化簡得，∴點的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，∴所求面積為.已知定點，點在圓上運動，是線段上的一點，且，問點的軌跡是什么？解：設(shè).∵，∴，∴，∴.∵點在圓上運動，∴，∴，即，∴點的軌跡方程是.例已知定點，點在圓上運動，的平分線交于點，則點的軌跡方程是 .解：設(shè).∵是的平分線，∴， ∴.由變式1可得點的軌跡方程是.練習(xí)鞏固：已知直線與圓相交于、兩點，以、為鄰邊作平行四邊形，求點的軌跡方程.解：設(shè)，的中點為.∵是平行四邊形，∴是的中點，∴點的坐標(biāo)為，且.∵直線經(jīng)過定點，∴，∴，化簡得.∴點的軌跡方程是.類型九：圓的綜合應(yīng)用例2 已知圓與直線相交于、兩點，為原點，且，求實數(shù)的值．分析：設(shè)、兩點的坐標(biāo)為、則由，可得，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解．或因為通過原點的直線的斜率為，由直線與圓的方程構(gòu)造以為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出的值，從而使問題得以解決．解法一：設(shè)點、的坐標(biāo)為、．一方面，由，得，即，也即：． ?、倭硪环矫?，、是方程組的實數(shù)解，即、是方程 ②的兩個根．∴，． ③又、在直線上，∴．將③代入，得． ?、軐ⅱ?、④代入①，解得，代入方程②，檢驗成立，∴．解法二：由直線方程可得，代入圓的方程，有，整理，得．由于，故可得．∴，是上述方程兩根．故．得，解得．經(jīng)檢驗可知為所求． 說明：求解本題時，應(yīng)避免去求、兩點的坐標(biāo)的具體數(shù)值．除此之外，還應(yīng)對求出的值進行必要的檢驗，這是因為在求解過程中并沒有確保有交點、存在．解法一顯示了一種解這類題的通法，解法二的關(guān)鍵在于依據(jù)直線方程構(gòu)造出一個關(guān)于的二次齊次方程，雖有規(guī)律可循，但需一定的變形技巧，同時也可看出，這種方法給人以一種淋漓酣暢，一氣呵成之感．例2已知對于圓上任一點，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．分析一：為了使不等式恒成立，即使恒成立，只須使就行了．因此只要求出的最小值，的范圍就可求得．解法一：令，由得：∵且，∴．即，∴，∴，即又恒成立即恒成立．∴成立，∴．分析二：設(shè)圓上一點[因為這時點坐標(biāo)滿足方程]問題轉(zhuǎn)化為利用三解問題來解．解法二：設(shè)圓上任一點∴，∵恒成立∴即恒成立．∴只須不小于的最大值．設(shè)∴即．說明：在這種解法中，運用了圓上的點的參數(shù)設(shè)法．一般地，把圓上的點設(shè)為()．采用這種設(shè)法一方面可減少參數(shù)的個數(shù)，另一方面可以靈活地運用三角公式．從代數(shù)觀點來看，這種做法的實質(zhì)就是三角代換．例27 有一種大型商品，、兩地都有出售，且價格相同．某地居民從兩地之一購得商品后運回的費用是：每單位距離地的運費是地的運費的3倍．已知、兩地距離為10公里，顧客選擇地或地購買這種商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運費和價格的總費用較低．求、兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購貨地點．分析：該題不論是問題的背景或生活實際的貼近程度上都具有深刻的實際意義和較強的應(yīng)用意識，啟示我們在學(xué)習(xí)中要注意聯(lián)系實際，要重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活以及相關(guān)學(xué)科的應(yīng)用．解題時要明確題意，掌握建立數(shù)學(xué)模型的方法．解：以、所確定的直線為軸，的中點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．∵，∴，．設(shè)某地的坐標(biāo)為，且地居民選擇地購買商品便宜，并設(shè)地的運費為元/公里，地的運費為元/公里．因為地居民購貨總費用滿足條件：價格＋地運費≤價格＋地的運費即：．∵，∴化簡整理得：∴以點為圓心為半徑的圓是兩地購貨的分界線．圓內(nèi)的居民從地購貨便宜，圓外的居民從地購貨便宜，圓上的居民從、兩地購貨的總費用相等．因此可隨意從、兩地之一購貨．說明：實際應(yīng)用題要明確題意，建議數(shù)學(xué)模型．1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事。用一些事情，總會看清一些人。有時候覺得自己像個神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多事情，堅持堅持，就過來了。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻給她的是一些色彩，它奉獻給你的也是一些色彩。你必須努力，當(dāng)有一天驀然回首時，你的回憶里才會多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。學(xué)習(xí)參考
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