【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2 0 1 8 黃岡 ] 如圖 Z 5 11 , 在直角坐標(biāo)系 xO y 中 , 菱形 O A B C 的邊 OA 在 x 軸正半軸上 , 點(diǎn) B , C 在第一象限 ,∠ C= 1 2 0 176。 , 邊長(zhǎng) OA= 8 . 點(diǎn) M 從原點(diǎn) O 出収沿 x 軸正半軸以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)的速度作勻速運(yùn)動(dòng) , 點(diǎn) N 從 A 出収沿邊 AB BC CO 以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)的速度作勻速運(yùn)動(dòng) . 過(guò)點(diǎn) M 作直線 MP 垂直于 x 軸并交折線 O CB 于點(diǎn)P , 交對(duì)角線 OB 于 Q , 點(diǎn) M 和點(diǎn) N 同時(shí)出収 , 分別沿各自路線運(yùn)動(dòng) , 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t ( 秒 ), 點(diǎn) N 運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn) O 時(shí) , M和 N 兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng) . (1 ) 當(dāng) t= 2 時(shí) , 求線段 PQ 的長(zhǎng) . (2 ) 求 t 為何值時(shí) , 點(diǎn) P 不 N 重合 ? (3 ) 設(shè) △ APN 的面積為 S , 求 S 不 t 的函數(shù)關(guān)系式及 t 的叏值范圍 . 圖 Z 5 11 類型 2 線動(dòng)型 【分層分析】 (1 ) 如圖 Z 5 11 , 在直角坐標(biāo)系 xO y 中 , 菱形 OABC 的邊 OA 在 x 軸正半軸上 , 點(diǎn) B , C 在第一象限 ,∠ C= 1 2 0 176。 , 邊長(zhǎng) OA= 8 . 如何求 C , B 的坐標(biāo) ? (2 ) 在 ( 1 ) 的條件下 , 點(diǎn) M 從原點(diǎn) O 出収沿 x 軸正半軸以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)的速度作勻速運(yùn)動(dòng) , 過(guò)點(diǎn) M 作直線 MP垂直于 x 軸并交折線 O CB 于 P , 交對(duì)角線 OB 于 Q , 當(dāng) t= 2 時(shí) , 求 OM , PM , QM 及線段 PQ 的長(zhǎng) . (3 ) 點(diǎn) N 從 A 出収沿邊 AB BC CO 以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)的速度作勻速運(yùn)動(dòng) , 點(diǎn) M 和點(diǎn) N 同時(shí)出収 , 分別沿各自路線運(yùn)動(dòng) , 點(diǎn) N 運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn) O 時(shí) , M 和 N 兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng) . 求 t 為何值時(shí) , 點(diǎn) P 不 N 重合 ? 此時(shí) P , N 兩點(diǎn)所走路程和為多少 ? 類似于相遇運(yùn)動(dòng)嗎 ? (4 ) 為了求 △ APN 的面積 S , 分哪幾種情形考慮問(wèn)題 ? 類型 2 線動(dòng)型 解 : ( 1 ) 菱形 OABC 中 ,∠ A O C= 6 0 176。 , 所以 Rt △ POM 中 ,∠ POM= 6 0 176。 ,R t △ QOM 中 ,∠ Q O M = 30176。 . 當(dāng) t= 2 時(shí) , OM= 2,可得 PM= 2 3 , QM=2 33, 所以 PQ=4 33. (2 ) 當(dāng) 0 ≤ t≤ 4 時(shí) , A N =P O = 2 OM= 2 t , 當(dāng) t= 4 時(shí) , P 到達(dá) C 點(diǎn) , N 到達(dá) B 點(diǎn) , 由此可推斷 , 點(diǎn) P , N 在 BC 邊上相遇 .設(shè) t 秒時(shí) , 點(diǎn) P 不 N 重合 , 則 P C=t 4, B N= 2( t 4 ), P C+B N =B C= 8, 即 ( t 4) + 2( t 4) = 8, t=203. 即 t=203時(shí) , 點(diǎn) P 不 N 重合 . 類型 2 線動(dòng)型 例 2 [ 2 0 1 8 黃岡 ] 如圖 Z 5 11 , 在直角坐標(biāo)系 xO y 中 , 菱形 O A B C 的邊 OA 在 x 軸正半軸上 , 點(diǎn) B , C 在第一象限 ,∠ C= 1 2 0 176。 , 邊長(zhǎng) OA= 8 . 點(diǎn) M 從原點(diǎn) O 出収沿 x 軸正半軸以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)的速度作勻速運(yùn)動(dòng) , 點(diǎn) N 從 A 出収沿邊 AB BC CO 以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)的速度作勻速運(yùn)動(dòng) . 過(guò)點(diǎn) M 作直線 MP 垂直于 x 軸并交折線 O CB 于點(diǎn)P , 交對(duì)角線 OB 于 Q , 點(diǎn) M 和點(diǎn) N 同時(shí)出収 , 分別沿各自路線運(yùn)動(dòng) , 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t ( 秒 ), 點(diǎn) N 運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn) O 時(shí) , M和 N 兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng) . (3 ) 設(shè) △ APN 的面積為 S , 求 S 不 t 的函數(shù)關(guān)系式及 t 的叏值范圍 . 圖 Z 5 11 類型 2 線動(dòng)型 (3) ① 當(dāng) 0 ≤ t≤ 4 時(shí) , PN ∥ OA 且 PN= O A= 8, PM= 3 t , S △ A PN =12 PN PM=12 8 3 t= 4 3 t 。 ② 當(dāng) 4 t ≤203時(shí) , 點(diǎn) P , N 在邊 BC 上 , 所以 PN OA , PN= 8 3( t 4) = 20 3 t , S △ A PN =12 PN PM=12 (20 3 t ) 4 3 = 40 3 6 3 t 。 ③ 當(dāng)203t ≤ 8 時(shí) , P , N 相遇后還在 BC 邊上運(yùn)動(dòng) , 所以 PN ∥OA , PN= 3( t 4) 8 = 3 t 20, S △ AP N =12 PN PM=12 (3 t 20) 4 3 = 6 3 t 40 3 。 ④ 當(dāng) 8 t ≤ 12 時(shí) , 如圖所示 , ON= 24 2 t , N 到 OM 的距離為 12 3 3 t , N 到 CP 的距離為4 3 (12 3 3 t ) = 3 t 8 3 , CP=t 4, BP= 12 t , S △ A PN =S 菱形 O AB C S △ A O N S △ CP N S △ AP B = 32 3 12 8 (12 3 3 t ) 12( t 4)( 3 t 8 3 ) 12(12 t ) 4 3 = 32t2+ 12 3 t 56 3 . 綜上所述 , S 不 t 的函數(shù)關(guān)系式為 : S= 4 3 ?? ( 0 ≤ ?? ≤ 4 ) ,40 3 6 3 ?? ( 4 ?? ≤203) ,6 3 ?? 40 3 (203 ?? ≤ 8 ) , 32??2+ 12 3 ?? 56 3 ( 8 ?? ≤ 12 ). 類型 2 線動(dòng)型 針對(duì)訓(xùn)練 1 . [2 0 1 8 鹽城 ] 如圖 Z 5 1 2 ① , 在平面直角坐標(biāo)系 xO y 中 , 拋物線 y=a x2+ b x+ 3 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A ( 1 ,0), B ( 3 ,0) 兩點(diǎn) ,且不 y 軸交于點(diǎn) C. (1 ) 求拋物線的表達(dá)式 . (2 ) 如圖 ② , 用寬為 4 個(gè)單位長(zhǎng)度的直尺垂直于 x 軸 , 并沿 x 軸左右平秱 , 直尺的左右兩邊所在的直線不拋物線相交于 P , Q 兩點(diǎn) ( 點(diǎn) P 在點(diǎn) Q 的左側(cè) ), 連接 PQ , 在線段 PQ 上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn) D , 連接 DP , DQ. ① 若點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 12, 求 △ DPQ 面積的最大值 , 并求此時(shí)點(diǎn) D 的坐標(biāo) . ② 直尺在平秱過(guò)程中 , △ DPQ 面積是否有最大值 ? 若有 , 求出面積的最大值 。 若沒(méi)有 , 請(qǐng)說(shuō)明理由 . 圖 Z 5 1 2 類型 2 線動(dòng)型 解 : ( 1 ) 把 A ( 1 ,0), B ( 3 , 0 ) 兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 y =ax 2 + b x+ 3, 得 0 = ?? ?? + 3 ,0 = 9 ?? + 3 ?? + 3 , 解得 ?? = 1 ,?? = 2 , ∴ 拋物線的表達(dá)式為 y= x 2 + 2 x+ 3 . (2 ) ① 設(shè)直線 PQ 的表達(dá)式為 y =kx+ b1, 把 P 12,74, Q72, 94兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 , 得 74= 12?? + ??1,94=72?? + ??1, 解得 ?? = 1 ,??1=54. ∴ 直線 PQ 的表達(dá)式為 y= x+54. 過(guò)點(diǎn) D 作 DF ⊥ x 軸于 E , 交 PQ 于 F. 設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( m , m2+ 2 m+ 3 ), 則點(diǎn) F 的坐標(biāo)為 m , m+54, ∴ DF= m2+ 2 m+ 3 m+54= m2+ 3 m+74= ( m2 3 m ) +74= m 322+ 4 . ∵ 直尺的寬度一定 ,∴ 當(dāng) DF 最長(zhǎng)時(shí) , △ D P Q 的面積最大 .∴ 當(dāng) m=32時(shí) , DF 有最大值 , 最大值為 4 . 此時(shí)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為32,154. △ DPQ 的面積 =12 4 D F =12 4 4 = 8, ∴ △ DPQ 面積的最大值為 8 . 類型 2 線動(dòng)型 ② 設(shè) P ( c , c2+ 2 c+ 3), 則 Q ( c+ 4, c2 6 c 5), 把 P , Q 兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線 PQ 的表達(dá)式 y=k 1 x+ b 2 , 得 ??2+ 2 ?? + 3 = ?? ??1+ ??2, ??2 6 ?? 5 = ( ?? + 4 ) ??1+ ??2, 解得 ??1= 2 ?? 2 ,??2= ??2+ 4 ?? + 3 . ∴ 直線 PQ 的表達(dá)式為 y= (2 c+ 2) x+c2+ 4 c+ 3 . 過(guò)點(diǎn) D 作 DH ⊥ x 軸于點(diǎn) G , 交 PQ 于點(diǎn) H. 設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( m 1 , ??12+ 2 m 1 + 3), 則點(diǎn) H 的坐標(biāo)為 ( m 1 , 2 cm 1 2 m 1 +c2+ 4 c+ 3), ∴ DH= ??12+ 2 m 1 + 3 ( 2 cm 1 2 m 1 +c2+ 4 c+ 3) = ??12+ (2 c+ 4) m 1 ( c2+ 4 c ) = [ m 1 ( c+ 2)]2+ 4, 當(dāng) m 1 = c+ 2 時(shí) , DH 最大 , 則 △ DPQ 的面積最大 . 此時(shí) , △ D PQ 的面積 =12 4 DH=12 4 4 = 8 . 類型 2 線動(dòng)型 2 . 如圖 Z5 13, 在平面直角坐標(biāo)系中 , 直線 l : y= 2 x+ b ( b ≥0) 的位置隨 b 的丌同叏值而變化 . (1 ) 已知 ☉ M 的圓心坐標(biāo)為 ( 4 ,2), 半徑為 2 . 圖 Z5 13 圖 Z5 14 當(dāng) b= 時(shí) , 直線 l : y= 2 x+ b ( b ≥0) 經(jīng)過(guò)圓心 M 。 當(dāng) b= 時(shí) , 直線 l : y= 2 x+ b ( b ≥0) 不 ☉ M 相切 . (2 ) 若把 ☉ M 換成矩形 A B CD , 其三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 : A (2 , 0 ), B (6 ,0), C ( 6 ,2 ) . 設(shè)直線掃過(guò)矩形 A B CD 的面積為S , 當(dāng) b 由小到大變化時(shí) , 請(qǐng)求出 S 不 b 的函數(shù)關(guān)系式 . 10 10177。2 ?? 類型 2 線動(dòng)型 解 : ( 2 ) 由 A (2 , 0 ), B (6 , 0 ), C ( 6 ,2), 根據(jù)矩形的性質(zhì) , 得 D ( 2 ,2) . 當(dāng)直線經(jīng)過(guò) A ( 2 ,0 ) 時(shí) , b= 4。 當(dāng)直線經(jīng)過(guò) D (2 ,2) 時(shí) , b= 6。 當(dāng)直線經(jīng)過(guò) B (6 , 0 ) 時(shí) , b= 1 2 。 當(dāng)直線經(jīng)過(guò) C ( 6 ,2) 時(shí) , b= 14 . 當(dāng) 0≤ b ≤4 時(shí) , 直線掃過(guò)矩形 A B CD 的面積 S 為 0 . 當(dāng) 4 b ≤6 時(shí) , 直線掃過(guò)矩形 A B CD 的 面積 S 為 △ EFA 的面積 ( 如圖 ① ), 在 y= 2 x+b 中 , 令 x= 2, 得 y= 4 +b , 則 E (2 , 4 +b ), 令 y= 0, 即 2 x +b = 0