【文章內(nèi)容簡介】 ? ??,∴ BF2=A F FE. ∵ EF= 4, B F =F D =E F +D E = 4 + 3 = 7, ∴ 72= 4 AF , ∴ AF=494, ∴ A D =A F DF=494 7 =214. 類型 2 圓與相似的綜合 4 . 如圖 Z5 9, 已知 AB 是☉ O 的直徑 , 點 C 在☉ O 上 , 過點 C 的直線不 AB 的延長線交于點 P , A C=P C , ∠ CO B = 2∠ P CB . (1 ) 求證 : PC 是☉ O 的切線 。 (2 ) 求證 : B C=12AB 。 (3 ) M 是 ?? ?? 的中點 , CM 交 AB 于點 N , 若 AB= 4, 求 MN MC 的值 . 圖 Z5 9 類型 2 圓與相似的綜合 解 : ( 1 ) 證明 :∵ O A =O C , ∴ ∠ CA O = ∠ A CO . 又 ∵ ∠ CO B = ∠ CA O + ∠ A CO , 且∠ CO B = 2 ∠ P CB , ∴ ∠ CA O = ∠ A CO = ∠ P CB . ∵ AB 是☉ O 的直徑 , ∴ ∠ A CO + ∠ O CB = 9 0 176。 , ∴ ∠ P CB + ∠ O CB = 9 0 176。 , 即 OC ⊥ CP . ∵ OC 為☉ O 的半徑 , ∴ PC 是☉ O 的切線 . 類型 2 圓與相似的綜合 4 . 如圖 Z5 9, 已知 AB 是☉ O 的直徑 , 點 C 在☉ O 上 , 過點 C 的直線不 AB 的延長線交于點 P , A C=P C , ∠ CO B = 2∠ P CB . (2 ) 求證 : B C=12AB 。 圖 Z5 9 (2 ) 證明 :∵ A C=P C ,∴ ∠ CA O = ∠ P ,∴ ∠ C A O = ∠ A CO = ∠ P CB = ∠ P. 又 ∵ ∠ CO B = ∠ CA O + ∠ A CO , ∠ CB O = ∠ P+ ∠ P CB , ∴ ∠ CO B = ∠ CB O ,∴ B C=O C ,∴ B C=12AB. 類型 2 圓與相似的綜合 4 . 如圖 Z5 9, 已知 AB 是☉ O 的直徑 , 點 C 在☉ O 上 , 過點 C 的直線不 AB 的延長線交于點 P , A C=P C , ∠ CO B = 2∠ P CB . (3 ) M 是 ?? ?? 的中點 , CM 交 AB 于點 N , 若 AB= 4, 求 MN MC 的值 . 圖 Z5 9 (3 ) 如圖 , 連接 MA , MB. ∵ M 是 ?? ?? 的中點 ,∴ ?? ?? = ?? ?? ,∴ ∠ A CM = ∠ B CM . 而∠ A CM = ∠ ABM ,∴ ∠ B CM = ∠ ABM. 又 ∵ ∠ B M N= ∠ BMC ,∴ △ MBN ∽△ M CB ,∴?? ???? ??=?? ???? ??,∴ BM2=M N M C. ∵ AB 是☉ O 的直徑 , ?? ?? = ?? ?? ,∴ ∠ AMB= 9 0 176。 , A M =B M . 又 ∵ AB= 4, ∴ BM= 2 2 , ∴ MN M C=B M2= 8 . 類型 3 圓與三角函數(shù)的綜合 例 3 [2 0 1 7 包頭 ] 如圖 Z5 1 0 , AB 是☉ O 的直徑 , 弦 CD 不 AB 交于點 E , 過點 B 的切線 BP 不 CD 的延長線交于點 P , 連接 OC , CB . (1 ) 求證 : AE E B =CE ED 。 (2 ) 若☉ O 的半徑為 3, OE= 2 BE ,?? ???? ??=95, 求 t an ∠ OBC 的值及 DP 的長 . 圖 Z5 10 類型 3 圓與三角函數(shù)的綜合 解 : ( 1 ) 證明 : 如圖 , 連接 AD , ∵ ∠ A= ∠ B CD , ∠ A E D = ∠ CE B , ∴ △ AED ∽△ CE B . ∴?? ???? ??=?? ???? ??, ∴ AE E B =CE ED. 類型 3 圓與三角函數(shù)的綜合 例 3 [2 0 1 7 包頭 ] 如圖 Z5 1 0 , AB 是☉ O 的直徑 , 弦 CD 不 AB 交于點 E , 過點 B 的切線 BP 不 CD 的延長線交于點 P , 連接 OC , CB . (2 ) 若☉ O 的半徑為 3, OE= 2 BE ,?? ???? ??=95, 求 t an ∠ OBC 的值及 DP 的長 . 圖 Z5 10 (2 ) ∵ ☉ O 的半徑為 3, ∴ O A =O B =O C= 3 .∵ OE= 2 BE ,∴ OE= 2, BE= 1, AE= 5 .∵?? ???? ??=95,∴ 設 CE = 9 x , DE= 5 x. ∵ AE E B =CE ED ,∴ 5 1 = 9 x 5 x ,∴ x=13( 負值已舍去 ), ∴ CE = 3, DE=53. 如圖 , 過點 C 作 CF ⊥ AB 于點 F ,∵ O C=CE = 3, ∴ O F =E F =12OE= 1, ∴ BF= 2 . 在 Rt △ O CF 中 ,∵ ∠ C F O = 9 0 176。 ,∴ CF2+O F2=O C2,∴ CF = 2 2 . 在 Rt △ CF B 中 ,∵ ∠ C F B = 9 0 176。 ,∴ t a n ∠ O B C =?? ???? ??=2 22= 2 . ∵ BP 是☉ O 的切線 , AB 是☉ O 的直徑 ,∴ ∠ EBP= 9 0 176。 ,∴ ∠ CF B = ∠ EBP. 又 ∵ E F =B E = 1, ∠ CE F = ∠ PEB ,∴ △ CF E ≌△ PBE ,∴ E P =CE = 3, ∴ D P =E P DE= 3 53=43. 類型 3 圓與三角函數(shù)的綜合 針 對 訓 練 1 . [2 0 1 8 白銀 ] 如圖 Z5 1 1 , O 是△ ABC 的邊 AB 上一點 , ☉ O 不邊 AC 相切于點 E , 不邊 BC , AB 分別交于點 D , F ,且 D E =E F . (1 ) 求證 : ∠ C= 9 0 176。 。 (2 ) 當 B C= 3 ,s i n A=35時 , 求 AF 的長 . 圖 Z5 11 類型 3 圓與三角函數(shù)的綜合 解 : ( 1 ) 證明 : 連接 OE , BE. ∵ ☉ O 不邊 AC 相切于點 E ,∴ OE ⊥ AC ,∴ ∠ OEA= 9 0 176。 . ∵ D E =E F ,∴ ∠ EBF= ∠ EBC , 即∠ F B C= 2 ∠ EBF. ∵ ∠ FOE= 2 ∠ EBF , ∴ ∠ FOE= ∠ FBC , ∴ OE ∥ BC ,∴ ∠ C= ∠ OEA= 90176。 . 類型 3 圓與三角函數(shù)的綜合 針 對 訓 練 1 . [2 0 1 8 白銀 ] 如圖 Z5 1 1 , O 是△ ABC 的邊 AB 上一點 , ☉ O 不邊 AC 相切于點 E , 不邊 BC , AB 分別交于點 D , F ,且 D E =E F . (2 ) 當 B C= 3 ,s i n A=35時 , 求 AF 的長 . 圖 Z5 11 (2 ) 由 ( 1 ) 問證明知 : ∠ C= 9 0 176。 , ∵ 在 Rt △ ABC 中 , B C = 3 ,s i n A=35,∴?? ???? ??=35,∴ AB= 5, ∵ 在△ AOE 中 , ∠ O E A = 9 0 176。 ,∴ s i n A=?? ???? ??=35. 設 E O =F O =R , 則有 FB= 2 R ,∴ AO=53R , A E =43R , A F =A O FO=23R. ∵ AE 是☉ O 的切線 ,∴ 由切線長定理 , 得 AE2=A F AB , 即 (4 ??3)2=2 ??3 5, 解得 R=158.∴AF=23R=23158=54. 即 AF 的長是54. 類型 3 圓與三角函數(shù)的綜合 2 . [2 0 1 8 綿陽 ] 如圖 Z5 1 2 , AB 是☉ O 的直徑 , 點 D 在☉ O 上 ( 點 D 丌不 A , B 重合 ), 直線 AD 交過點 B 的切線于點 C , 過點 D 作☉ O 的切線 DE 交 BC 于點 E. (1 ) 求證 : B E =CE 。 (2 ) 若 DE ∥ AB , 求 s i n ∠ A CO 的值 . 圖 Z5 12 類型 3 圓與三角函數(shù)的綜合 解 : ( 1 ) 證明 : 連接 OD , 如圖 , ∵ BE , DE 為☉ O 的切線 , ∴ B E =D E , OD ⊥ DE , AB ⊥ BC , ∴ ∠ ADO+ ∠ CD E = 9 0 176。 , ∠ A+ ∠ A CB = 9 0 176。 . ∵ O A =O D ,∴ ∠ A= ∠ ADO , ∴ ∠ CD E = ∠ A CB ,∴ CE =D E , ∴ B E =CE . 類型 3 圓與三角函數(shù)的綜合 2 . [2 0 1 8 綿陽 ] 如圖 Z5 1 2 , AB 是☉ O 的直徑 , 點 D 在☉ O 上 ( 點 D 丌不 A , B 重合 ), 直線 AD 交過點 B 的切線于點 C , 過點 D 作☉ O 的切線 DE 交 BC 于點 E. (2 ) 若 DE ∥ AB , 求 s i n ∠ A CO 的值 . 圖 Z5 12 (2 ) 過點 O 作 OH ⊥ AD 于點 H , 如圖 , 設☉ O 的半徑為 r ,∵ DE ∥ AB ,∴ ∠ DOB= ∠ O D E = 9 0 176。 ,∴ 四邊形 OBED為矩形 . 又 O B =O D ,∴ 四邊形 OBED 為正方形 ,∴ D E =CE = r . 易得△ AOD 和△ CD E 都為等腰直角三角形 ,∴ O H =D H = 22r , CD = 2 r. 在 Rt △ O CB 中 , O C= ( 2 ?? )2+ ??2= 5 r. 在 Rt △ O CH 中 ,sin ∠ O CH =?? ???? ??= 22?? 5 ??= 1010,即 s i n ∠ A CO 的值為 10