【文章內容簡介】 （219）圖210 VCO的數(shù)學模型 環(huán)路的相位模型及基本方程根據(jù)環(huán)路的基本框圖和基本部件的時域模型，可以得到整個環(huán)路的時域模型，如圖 211 所示。因為環(huán)路的輸入量和輸出量都是相位，所以把環(huán)路的時域模型稱為相位模型。圖211基本鎖相環(huán)相位模型根據(jù)此圖，得到鎖相環(huán)的基本方程為： （220）該方程是非線性微分方程，它的非線性主要來自鑒相器。雖然壓控振蕩器、環(huán)路中的放大器也可能存在非線性，但是只要設計恰當，均可視為線性。式220中第一項表示瞬時相位誤差隨時間的變化率，即瞬時頻差；第二項表示輸入信號隨時間的變化率，即固有頻差；第三項表示 VCO 在控制電壓作用下的角頻率變化，即控制頻差。由式 220 可見，在閉環(huán)之后的任何時刻存在如下關系： 瞬時頻差 = 固有頻差 控制頻差 環(huán)路性能工程上通常使用的鎖相環(huán)是二階環(huán)路，在線性跟蹤狀態(tài)下二階鎖相環(huán)可以近似為一個二階線性系統(tǒng)，其環(huán)路動態(tài)方程是一個二階線性微分方程，通過求解此二階線性微分方程可以得到它的系統(tǒng)性能，也就是環(huán)路的線性化性能。 線性化相位模型和傳遞函數(shù)鎖相環(huán)路相位模型的一般形式如圖 211，相應的動態(tài)方程如式（220）。因為環(huán)路應用了正弦特性的鑒相器，所以模型與方程都是非線性的。在鎖定狀態(tài)或跟蹤狀態(tài)下相位誤差應較小，只在零點附近變化。由圖 25 可見，零點附近的鑒相特性曲線可以用一條通過零點的直線來代替，直線的斜率為 (221）圖212線性化鑒相器的數(shù)學模型必須注意，在數(shù)值上與相等，但單位不同。稱為鑒相增益，其單位為 V/rad。線性化鑒相器的數(shù)學模型如圖 212 所示，誤差電壓為： （222）此式成立的條件是 。 當鎖相環(huán)的相位誤差大于時，正弦鑒相器將不再能夠線性化，環(huán)路成為非線性系統(tǒng)，其非線性性能表現(xiàn)為以下三種情況：已處于鎖定狀態(tài)的鎖相環(huán),當輸入信號頻率或壓控振蕩器自由振蕩頻率變化過大或變化速度過快時，使環(huán)路相位誤差增大到鑒相器的非線性區(qū)，這種非線性環(huán)路的性能為非線性跟蹤性能[10]；從接通到鎖定的捕獲過程中，相位誤差的變化范圍是很大的，環(huán)路處于非線性狀態(tài)；失鎖狀態(tài)時環(huán)路的頻率牽引現(xiàn)象。用 取代環(huán)路動態(tài)方程中的 即可得線性化動態(tài)方程： （223）定義環(huán)路增益 ，則方程變?yōu)椋? （224）式（224）是環(huán)路線性化動態(tài)方程的時域表達形式，由它可導出方程的復頻域表達形式： （225）式中、為（224）式中、的拉氏變換，（223）式中的 F( p)是環(huán)路濾波器的傳輸算子，而（225）式中的 F (s)則為環(huán)路濾波器的傳遞函數(shù)。復頻域的相位模型則如圖 213 所示。圖213鎖相環(huán)路的線性相位模型由圖 213 可求得鎖相環(huán)路的開環(huán)傳遞函數(shù)： （226）閉環(huán)傳遞函數(shù)為： （227）誤差傳遞函數(shù)為： （228）現(xiàn)假設低通濾波器采用一階 RC 積分濾波器，則鎖相環(huán)就變?yōu)槎A鎖相環(huán)。RC 積分濾波器如圖 27 所示，其傳遞函數(shù)為： （229）其中是指 3dB帶寬，帶入公式（227）得： （230）如果, 由式（226）知 為無窮大，所以。這個結論預示了鎖相環(huán)的一個特性：如果輸入相位變化非常緩慢,那么輸出相位“跟蹤”其變化。（最終，鎖定在上） 鎖定狀態(tài)下鎖相環(huán)的動態(tài)特性 為了方便分析鎖相環(huán)的動態(tài)特性[11]，可把式（230）的分母寫成控制理論中常用的二階函數(shù)形式，即，其中，是“阻尼系數(shù)”，是“固有頻率”。則公式（230）化為 （231）其中 （232） （233）由式（232）和式（233）得出 （234）而輸入輸出相位差則為（頻率階躍對應的拉氏變換等于）： （235）鎖相環(huán)工作穩(wěn)定后的相位差為： （236）因此，環(huán)路的直流增益越大，穩(wěn)態(tài)相位誤差越小。鎖相環(huán)的穩(wěn)定速度對大多數(shù)應用而言很重要， 的乘積決定了輸出達到最終值的速度，所以 的值越大越好。但是，此結果顯示了設計鎖相環(huán)時在穩(wěn)定速度和VCO控制線上的電壓波動之間的關鍵的折衷：越小，鑒相器輸出的高頻成為被抑制得越厲害，但穩(wěn)定時間常數(shù)越長。 除了乘積外，[12]本身的值也非常重要。圖 214顯示了為常數(shù)時不同的 值的幾種情況，從圖中可知，對，階躍響應表現(xiàn)出劇烈的減幅振蕩。考慮到鎖相環(huán)參數(shù)隨工藝和溫度的變化，通常選擇大于，以避免過多的振蕩。值的選擇也需要與其它一些參數(shù)折衷考慮。首先，當通過減小使控制電壓的波紋最小時，穩(wěn)定性也隨之下降了，其次，由式（233）和式（236）知，相位誤差和阻尼系數(shù)都與成反比，因此要降低相位誤差就不可避免的要使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。總之，鎖相環(huán)要在穩(wěn)定速度、控制電壓的波紋、相位誤差與穩(wěn)定性之間進行折衷考慮。圖214不同值的二階系統(tǒng)欠阻尼響應所以根據(jù)的值，可以判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性能。前面的分析都假設在跟蹤過程中,環(huán)路的相差始終很小，環(huán)路工作在正弦鑒相特性的線性工作區(qū)，因此可將原來的非線性環(huán)路動態(tài)方程線性化，用線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)來求解系統(tǒng)的時域和頻域響應。 本章小結本章對鎖相環(huán)系統(tǒng)的基本原理及組成部件進行了概括介紹，對鎖相環(huán)系統(tǒng)的工作狀態(tài)，動態(tài)特性以及鎖相環(huán)的自身特性等一些基本性能、概念給出了相關說明，給出了一些從系統(tǒng)設計角度上的結論和經(jīng)驗公式，從而從理論上掌握了鎖相的概念，對整個工作的進一步研究打下了堅實的理論基礎。第3章 鎖相環(huán)仿真鎖相環(huán)在本質上是一個相位負反饋系統(tǒng)，在這個相位負反饋系統(tǒng)中振蕩器輸出信號、輸入?yún)⒖夹盘柡头答佇盘柧窍辔恍盘?，而不是電流或電壓信號。本章利用Matlab[13]軟件仿真，分析了鎖相環(huán)的鎖定性能，穩(wěn)定性能和調制作用。 Matlab軟件介紹Matlab是matrixamp。laboratory兩個詞的組合，意為矩陣工廠（矩陣實驗室）。是由美國math works公司發(fā)布的主要面對科學計算、可視化以及交互式程序設計的高科技計算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學研究、工程設計以及必須進行有效數(shù)值計算的眾多科學領域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設計語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當今國際科學計算軟件的先進水平。Matlab具有以下六個特點：：用Matlab編寫程序猶如在演算紙上排列出公式與求解問題，Matlab語言也可通俗地稱為演算紙式的科學算法語言。由于它編寫簡單，所以編程效率高，易學易懂。2. 用戶使用方便：Matlab語言把編輯、編譯、連接和執(zhí)行融為一體，其調試程序手段豐富，調試速度快 ，需要學習時間少。它能在同一畫面上進行靈活操作快速排除輸入程序中的書寫錯誤、語法 錯誤以至語意錯誤，從而加快了用戶編寫、修改和調試程序的速度，可以說在編程和調試過程中它是一種比VB還要簡單的語言。3．擴充能力強：高版本的Matlab語言有豐富的庫函數(shù)，在進行復雜的數(shù)學運算時可以直接調用，而且Matlab的庫函數(shù)同用戶文件在形成上一樣，所以用戶文件也可作為Matlab的庫函數(shù)來調用。因而，用戶可以根據(jù)自己的需要方便地建立和擴充新的庫函數(shù)，以便提高Matlab使用效率和擴充它的功能。4．語句簡單，內涵豐富：Matlab語言中最基本最重要的成分是函數(shù)，其一般形式為(a，6，c…)= fun（d，e ，f，…），即一個函數(shù)由函數(shù)名，輸入變量d，e，f，…和輸出變量a，b，c… .組成，同一函數(shù)名F，不同數(shù)目的輸入變量（包括無輸入變量）及不同數(shù)目的輸出變量，代表著不同的含義。這不僅使Matlab的庫函數(shù)功能更豐富，而大大減少了需要的磁盤空間，使得Matlab編寫的M文件簡單、短小而高效。 5．高效方便的矩陣和數(shù)組運算：Matlab語言像Basic、Fortran和C語言一樣規(guī)定了矩陣的一系列運算符，它不需定義數(shù)組的維數(shù)，并給出矩陣函數(shù)、特殊矩陣專門的庫函數(shù)，使之在求解諸如信號處理、建模、系統(tǒng)識別、控制、優(yōu)化等領域的問題時，顯得大為簡捷、高效、方便，這是其它高級語言所不能比擬的。6．方便的繪圖功能：Matlab的繪圖是十分方便的，它有一系列繪圖函數(shù)（命令），使用時只需調用不同的 繪圖函數(shù)（命令），在圖上標出圖題、XY軸標注，格繪制也只需調用相應的命令，簡單易行。另外，在調用繪圖函數(shù)時調整自變量可繪出不變顏色的點、線、復線或多重線。MATLAB 的應用范圍非常廣，包括信號和圖像處理、通訊、控制系統(tǒng)設計、測試和測量、財務建模和分析以及計算生物學等眾多應用領域。附加的工具箱（單獨提供的專用Matlab函數(shù)集）擴展了Matlab 環(huán)境，以解決這些應用領域內特定類型的問題。 鎖定性能輸入?yún)⒖夹盘柕南辔话l(fā)生階躍變化時，分別分析一階鎖相環(huán)與二階鎖相環(huán)的鎖定性能。 一階鎖相環(huán)一階鎖相環(huán)來說，F(xiàn)（s）=1，即沒有低通濾波器。相位傳輸函數(shù)[14]和誤差傳輸函數(shù)分別為： （31） （32）當輸入相位發(fā)生階躍變化時，如圖31所示。，建立時間t1=。，建立時間t2=。當增益增大時，建立時間較短。圖31一階鎖相環(huán)的傳輸函數(shù)的時域響應當輸入相位發(fā)生階躍變化時，如圖32所示。，建立時間t3=。，建立時間t4=。當增益增大時，建立時間較短。圖32一階鎖相環(huán)誤差傳輸函數(shù)的時域響應 二階鎖相環(huán)對于二階鎖相環(huán)來說，它的環(huán)路濾波器是一階低通濾波器。二階鎖相環(huán)路經(jīng)線性化之后，成為一個二階線性系統(tǒng)，它具有二階線性系統(tǒng)的一般性能特點。它的傳遞函數(shù)具有兩個極點，一個極點由低通濾波器提供，另一個極點由壓控振蕩器提供。對二階鎖相環(huán)來說，當環(huán)路濾波器為一階低通濾波器，它的相位傳輸函數(shù)和誤差傳輸函數(shù)分別為： （33）其中 （34） （35）由式（34）和式（35）得出 （36）當輸入相位發(fā)生階躍變化時，如圖33所示。，出現(xiàn)波峰時間t5=，建立時間t6=。，出現(xiàn)波峰時間，建立時間。圖33二階鎖相環(huán)傳輸函數(shù)的時域響應當輸入相位發(fā)生階躍變化時，如圖34所示。，出現(xiàn)波谷時間t9=，建立時間t10=。，出現(xiàn)波谷時間t11=，建立時間t12=。圖34二階鎖相環(huán)誤差傳輸函數(shù)的時域響應當增益增大時，建立時間較短，振蕩較小。 一階鎖相環(huán)與二階鎖相環(huán)比較二者的比較如圖35，36所示。圖35鎖相環(huán)傳輸函數(shù)圖36誤差傳輸函數(shù)從圖35，圖36可知，一階鎖相環(huán)穩(wěn)定下來的時間較短，振蕩較小。但是在實際應用中很少用到，因為它沒有環(huán)路濾波器，環(huán)路高頻成分不能被濾除，還有一點是它的穩(wěn)態(tài)相位誤差和環(huán)路帶寬總是耦合在一起。 環(huán)路性能工程上通常使用的鎖相環(huán)是二階環(huán)路，在線性跟蹤狀態(tài)下二階鎖相環(huán)可以近似為一個二階線性系統(tǒng)，其環(huán)路動態(tài)方程是一個二階線性微分方程，通過求解此二階線性微分方程可以得到它的系統(tǒng)性能，也就是環(huán)路的線性化性能。根據(jù)環(huán)路的基本框圖和基本部件的時域模型，可以得到整個環(huán)路的時域模型，如圖37所示。因為環(huán)路的輸入量和輸出量都是相位，所以把環(huán)路的時域模型稱為相位模型。圖37基本鎖相環(huán)相位模型復頻域的相位模型則如圖 38 所示。圖38基本鎖相環(huán)相位模型 鑒相器的輸出當輸入信號的相位發(fā)生階躍變化時，鑒相器的輸出響應曲線如圖39所示。相位誤差響應如圖310所示。圖39鑒相器輸出響應圖310相位誤差響應由第二章可知鑒相器的數(shù)學模型是一個增益為的增益模塊。當輸入信號的相位發(fā)生階躍時，即存在相位誤差時，從圖38可知，隨著時間的增大，先增大后減小最后趨于0，也就是鎖相環(huán)鎖定。圖310為相位誤差響應，變化與一致，為鑒相器的輸入。由公式可知，當出現(xiàn)相位差時，引起變化。 低通濾波器的輸出低通濾波器的輸出如圖311所示。圖311 低通濾波器輸出從圖311可知，低通濾波器的輸出增加，即為壓控振蕩器的輸入。幅值隨著時間先增大后減小，并趨于穩(wěn)定。 壓控振蕩器的輸出壓控振蕩器的輸出如圖312所示。圖312 壓控振蕩器輸出響應從圖312可看出當輸入信號發(fā)生階躍變化時，環(huán)路濾波器的輸出逐漸升高，從而導致壓控振蕩器