十大高中平面幾何幾何定理匯總及證明(編輯修改稿)
2025-07-13 22:44 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 6。，同時(shí)∠MAD+∠MDA=90176?！唷螰MD=∠FDM∴MF=DF，即F是AD中點(diǎn)逆定理：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則一邊中點(diǎn)與對(duì)角線交點(diǎn)的連線垂直于對(duì)邊。證明：∵M(jìn)A⊥MD，F(xiàn)是AD中點(diǎn)∴AF=MF∴∠CAD=∠AMF∵∠CAD=∠CBD，∠AMF=∠CME∴∠CBD=∠CME∵∠CME+∠BME=∠BMC=90176?！唷螩BD+∠BME=90176?！郋F⊥BC 11. 托勒密定理圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矩形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和)．圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：ACBD=ABCD+ADBC．證明：過C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，ACBP=ADBC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，ACDP=ABCD ②。① +②得 AC(BP+DP)=ABCD+ADBC．即ACBD=ABCD+ADBC．12. 梅涅勞斯定理當(dāng)直線交三邊所在直線于點(diǎn)時(shí)。證明：過點(diǎn)C作CP∥DF交AB于P，則兩式相乘得梅涅勞斯逆定理：若有三點(diǎn)F、D、E分別在邊三角形的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線上，且滿足AF/FBBD/DCCE/EA=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。證明：先假設(shè)E、F、D三點(diǎn)不共線，直線DE與AB交于P。由梅涅勞斯定理的定理證明（如利用平行線分線段成比例的證明方法）得：(AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1?！?(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1?！?AP/PB=AF/FB ；∴ (AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB ；∴ AB/PB=AB/FB ；∴ PB=FB；即P與F重合。∴ D、E、F三點(diǎn)共線。13. 塞瓦定理在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長(zhǎng)AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則 (BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1。∵△ADC被直線BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①∵△ABD被直線COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②② /①約分得：(DB/CD)(CE/EA)(AF/FB)=114. 圓冪定理相交弦定理：如圖Ⅰ，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點(diǎn)P，連接AD、BC，由于∠B與∠D同為弧AC所對(duì)的圓周角，因此由圓周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以。所以有：，即：。割線定理：如圖Ⅱ，連接AD、BC?？芍螧=∠D，又因?yàn)椤螾為公共角，所以有，同上證得。切割線定理：如圖Ⅲ，連接AC、AD。∠PAC為切線PA與弦AC組成的弦切角，因此有∠PBC=∠D，又因?yàn)椤螾為公共角，所以有，易證圖Ⅳ，PA、PC均為切線，則∠PAO=∠PCO=90176。，在直角三角形中：OC=OA=R，PO為公共邊，因此所以PA=PC，所以綜上可知，是普遍成立的。弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù)。點(diǎn)對(duì)圓的冪P點(diǎn)對(duì)圓O的冪定義為點(diǎn)P在圓O內(nèi)→P對(duì)圓O的冪為負(fù)數(shù)；點(diǎn)P在圓O外→P對(duì)圓O的冪為正數(shù)；點(diǎn)P在圓O上→P對(duì)圓O的冪為0。三角形五心：內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)外心：三角形三條邊的垂直平分線（中垂線）的相交點(diǎn)重心：三角形三邊中線的交點(diǎn)垂心：三角形的三條高線的交點(diǎn)旁心：三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長(zhǎng)線相切的圓）的圓心九點(diǎn)圓心：三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)〔連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn)〕九點(diǎn)共圓的圓心
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