十大高中平面幾何幾何定理匯總及證明(存儲(chǔ)版)
【正文】 軸交于一點(diǎn)。在AK及延長(zhǎng)線上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的內(nèi)部，J在△ABC的外部。三邊中點(diǎn)分別為L(zhǎng)，M，N，內(nèi)切圓與三邊的切點(diǎn)分別是P，Q，R，三邊上的垂足分別為D，E，F(xiàn)。=LSLT故有 LP178。=LULD而2LP=(BL+LP)(CLLP)=BPCP=BRCQ=(BR+AR)(CQ+AQ)=ABAC=ABAV=BV即 LP=BV然而LK是△CBV的中位線于是 LK=BV因之 LP=LK故 LK178。OH2=R24Rr39。+β)∴AF:AE=[4sinβsinγsin(60176。CED(AEFαγ)=180176?！?∠AFB=∠ADC=60176?！?X、P、Y、O四點(diǎn)共圓；Y、M、Z、O四點(diǎn)共圓；Z、N、X、O四點(diǎn)共圓；∴ ∠N=∠M=∠P=60176。；∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC=120176。在△ABC的各邊上向外各作等邊△ABF，等邊△ACD，等邊△BCE。+，∠CED=60176。γ)]/[1/2(√3cosγsinγ)]= 2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）= 4sinβsinγsin（60176。旁切圓的情形是類似的。）連接CV，與AU交于點(diǎn)K，則K是VC的中點(diǎn)。這就是說，S，T，D，U共圓。又∵KB=KI=KJ∴I和I39。∵∠IBJ+∠ICJ=180176。也就是：P到A的切線距離=P到C的切線距離。平面上任意三個(gè)圓，若這三個(gè)圓圓心不共線，則三條根軸相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行。在直角三角形中：OC=OA=R，PO為公共邊，因此相交于點(diǎn)P，連接AD、BC，由于∠B與∠D同為弧AC所對(duì)的圓周角，因此由圓周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以。證明：過點(diǎn)C作CP∥DF交AB于P，則兩式相乘得梅涅勞斯逆定理：若有三點(diǎn)F、D、E分別在邊三角形的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線上，且滿足AF/FBBD/DCCE/EA=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。DP=AB∴∠CBD+∠BME=90176?！摺蟄MC+∠UMA=180度∴∠UNA+∠UMA=180度，這正說明四邊形ANUM是一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，而該圓必是，U必在上。完全四線形定理如果ABCDEF是完全四線形，那么三角形的外接圓交于一點(diǎn) O，稱為密克點(diǎn)。因PL⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AB，有B、L、P、N和P、M、C、L四點(diǎn)共圓，有∠NBP = ∠NLP= ∠MCP= ∠MLP.故L、M、N三點(diǎn)共線。證明：設(shè)∠1=∠BAD，∠2=∠CAD由分角定理，S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)→ (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC ()S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)→ (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB ()()式+()式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD 5. 帕普斯定理直線l1上依次有點(diǎn)A,B,C，直線l2上依次有點(diǎn)D,E,F，設(shè)AE,BD交于G，AF,DC交于I，BF,EC交于H，則G,I,H共線。A，顯然BC39。= 2r=R（r為外接圓半徑，R為直徑）證明：現(xiàn)將△ABC，做其外接圓，設(shè)圓心為O。證明：分如下四種情況，分別作三角形高，由相似三角形可證S△PAB=(S△PAMS△PMB)=(S△PAM/S△PMB1)S△PMB=(AM/BM1)S△PMB(等高底共線，面積比=底長(zhǎng)比）同理，S△QAB=(AM/BM1)S△QMB所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共線，面
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