【文章內容簡介】 EC）（CF:FA) 　　=（S△ADF：S△BDF）（S△BEF：S△CEF）（S△BCF：S△BAF） 　　=（S△ADF：S△BDF）（S△BDF：S△CDF）（S△CDF：S△ADF） 　　=1 　　此外，用定比分點定義該定理可使其容易理解和記憶： 　　在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三點共線的充要條件是λμν=1。　 　　第一角元形式的梅涅勞斯定理 如圖：若E，F(xiàn)，D三點共線，則 　　(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1 　　即圖中的藍角正弦值之積等于紅角正弦值之積 　　該形式的梅涅勞斯定理也很實用 　　第二角元形式的梅涅勞斯定理 　　在平面上任取一點O，且EDF共線，則（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不與點A、B、C重合) 記憶　　ABC為三個頂點，DEF為三個分點 　　(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 　　（頂到分/分到頂）*（頂到分/分到頂）*（頂到分/分到頂）=1 　　空間感好的人可以這么記：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1 　　 實際應用　　為了說明問題，并給大家一個深刻印象，我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個旅游景點，各景點之間有公路相連。我們乘直升機飛到這些景點的上空，然后選擇其中的任意一個景點降落。我們換乘汽車沿公路去每一個景點游玩，最后回到出發(fā)點，直升機就停在那里等待我們回去。 　　我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點。只“路過”而不停留觀賞的景點，不能算是“游歷”。 　　例如直升機降落在A點，我們從A點出發(fā)，“游歷”了其它五個字母所代表的景點后，最終還要回到出發(fā)點A。 　　另外還有一個要求，就是同一直線上的三個景點，必須連續(xù)游過之后，才能變更到其它直線上的景點。 　　從A點出發(fā)的旅游方案共有四種，下面逐一說明： 　　方案 ① ——從A經過B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后經過B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后從E經過C（不停留）回到出發(fā)點A。 　　按照這個方案，可以寫出關系式： 　?。ˋF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。 　　現(xiàn)在，您知道應該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。 　　從A點出發(fā)的旅游方案還有： 　　方案 ② ——可以簡記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫出以下公式： 　?。ˋB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。從A出發(fā)還可以向“C”方向走，于是有： 　　方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可寫出公式： 　?。ˋC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 從A出發(fā)還有最后一個方案： 　　方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此寫出公式： 　　（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。 　　我們的直升機還可以選擇在B、C、D、E、F任一點降落，因此就有了圖中的另外一些公式。 　　值得注意的是，有些公式中包含了四項因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項。當直升機降落在B點時，就會有四項因式。而在C點和F點，既會有三項的公式，也會有四項的公式。公式為四項時，有的景點會游覽了兩次。 　　不知道梅涅勞斯當年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個典型的公式給我們看看。 　　還可以從逆時針來看，從第一個頂點到逆時針的第一個交點比上到下一個頂點的距離，以此類推，可得到三個比例，它們的乘積為1. 　　現(xiàn)在是否可以說，我們對梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些復雜的相除相乘的關系式，不會再寫錯或是記不住吧。西姆松定理 西姆松定理圖示西姆松定理是一個幾何定理。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。 　　 西姆松定理說明　　相關的結果有： 　?。?）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點為線段PH的中點，且這點在九點圓上。 　?。?）兩點的西姆松線的交角等于該兩點的圓周角。 　?。?）若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關。 　?。?）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。 證明　　證明一： △ABC外接圓上有點P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分別連DE、DF. 　　易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的補角） 且∠PDE=∠PCE 　?、?而∠ACP+∠PCE=180176。 　?、?∴∠FDP+∠PDE=180176。 　?、?即F、D、E共線. 反之，當F、D、E共線時，由④→②→③→①可見A、B、P、C共圓. 　　證明二： 如圖，若L、M、N三點共線，連結BP，CP，則因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和 M、P、L、C分別四點共圓，有 　　∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM. 　　故A、B、P、C四點共圓。 　　若A、B、P、C四點共圓，則∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點共圓，有 　　∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM. 　　故L、M、N三點共線。 相關性質的證明　　連AH延長線交圓于G, 　　連PG交西姆松線與R,BC于Q 　　如圖連其他相關線段 　　AH⊥BC,PF⊥BC==AG//PF==∠1=∠2