各種圓定理總結(jié)-文庫吧
2025-06-01 07:43 本頁面
【正文】 邊乘積不小于另外一組對(duì)邊的乘積，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。 簡(jiǎn)單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(ab)(cd)+(ad)(bc)=(ac)(bd)，兩邊取模， 得不等式ACBD≤|(ab)(cd)|+|(bc)(ad)|=ABCD+BCAD 注意： (ab)(cd)與(ad)(bc)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。 。 歐拉定理：在一條線段上AD上，順次標(biāo)有B、C兩點(diǎn)，則ADBC+ABCD=ACBD塞瓦定理簡(jiǎn)介 塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家。塞瓦定理載于塞瓦于1678年發(fā)表的《直線論》一書，也有書中說塞瓦定理是塞瓦重新發(fā)現(xiàn)。 具體內(nèi)容 塞瓦定理 在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O， 直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 證法簡(jiǎn)介 ?。á瘢┍绢}可利用梅涅勞斯定理證明： ∵△ADC被直線BOE所截， ∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 而由△ABD被直線COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② ?、?47。①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （Ⅱ）也可以利用面積關(guān)系證明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABDS△BOD)/(S△ACDS△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ?、邰堍莸肂D/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn): 設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F， 根據(jù)塞瓦定理逆定理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。 可用塞瓦定理證明的其他定理。 三角形三條中線交于一點(diǎn)（重心）:如圖5 D , E分別為BC , AC 中點(diǎn) 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1 且因?yàn)锳F=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三條中線交于一點(diǎn) 此外，可用定比分點(diǎn)來定義塞瓦定理： 在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點(diǎn)的充要條件是λμν=1。（注意與梅涅勞斯定理相區(qū)分，那里是λμν=1） 塞瓦定理推論 △ABD內(nèi)任意一點(diǎn)，AE、BE、DE分別交對(duì)邊于C、G、F，則(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 因?yàn)?BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以 (BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K為未知參數(shù)）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數(shù)）又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1 所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1 AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是： (sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 由正弦定理及三角形面積公式易證 ，對(duì)于圓周上順次6點(diǎn)A,B,C,D,E,F，直線AD,BE,CF交于一點(diǎn)的充分必要條件是： (AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1 由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長(zhǎng)與所對(duì)圓周角關(guān)系易證。 設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據(jù)塞瓦定理逆定 理，因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn)。梅涅勞斯定理 梅涅勞斯定理證明梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡(jiǎn)稱梅氏定理）是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。 或：設(shè)X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)= 證明一： 過點(diǎn)A作AG∥BC交DF的延長(zhǎng)線于G, 則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=(AG/BD)(BD/DC)(DC/AG)=1 證明二： 過點(diǎn)C作CP∥DF交AB于P，則BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF 所以有AF/FBBD/DCCE/EA=AF/FBFB/PFPF/AF=1 它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在△ABC的邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線上，且滿足(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。 梅涅勞斯(Menelaus)定理證明三： 過ABC三點(diǎn)向三邊引垂線AA39。BB39。CC39。， 所以AD：DB=AA39。：BB39。，BE：EC=BB39。：CC39。，CF：FA=CC39。：AA39。 所以(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1 證明四： 連接BF。 （AD：DB）（BE：
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